SUITE DE LA MESURE DES ANGLES

155S. Définition. — On appelle angle inscrit tout angle qui a son sommet en un point de la circonférence.

<t)0. Théorème. — Tout angle inscrit a paur mesure la moitié de l'arc compris entre ses côtés.

Dans la démonstration de co théorème nous distinguerons trois cas :

4 orra* : L'un des côtés do l'angle inscrit passe par lo centro do la circonférence.

ï« cas : Lo centre de la circonférence est situé entre les deux côtés de l'angle inscrit.

3e cas : Le centre do la circonférence se liouve en dehors do l'angle inscrit.

cas. Soit l'angle inscrit BAC «pl. ii. fig. 4) dont le coté AC passe par le centre O de !a ci. conférence. 11 faut prouver que cet ang!o a pour mesure la moitié do l'arc BC «rompes en'.e se- côtés, c'est-à-dire que l'angle BAC contient l'j.igtc àvo'.x autant de fois que la moitk' de l'arc BC contient un quadrant. Pour cela, menons le rayon BO Nous obtenons ainsi le triangle BAO, dans loque! les doux côtés AO et OB sont égaux comme rayons; d'un même cercle. Mai* quand un itianglo a tleui côtés égaux, il est isoscèle et les angles opposés aux côtés égaux sont égaux. Donc l'angle ABO, opposé au côté AO , égale l'angle BAO opposé au côté BO. Maintenant, considérons l'angle au centro BOC. Par rapport au trianglo BAO, cet angle au centre est co que l'on appelle un angle extérieur, puisqu'il est formé par un coté BO du trianglo et par le prolongement OC d'un autre côu;. Mais, nous avons vu que dans tout triangle , un angle extérieur est égal à la somme des deux angles intérieurs non adjacents. Donc l'anglo BOC égale la somme des deux angles BAO et ABO. On peut encore exprimer cela autrement. On peut dire que l'angle BOC égale deux fois l'angle BAO, puisque l'angle ABO peut être remplacé par son égal BAO. L'anglo BAO n'est pas autre que l'angle BAC. Ainsi l'angle BOC est le double do l'angle BAC. Par conséquent, l'angle BAC est la moitié du premier. Puisque l'angle BAC est la moitié de l'angle au centre BOC, il aura pour mesure la moitié de la mesure de l'angle BOC. L'angle BOC étant un angle au centre, il a pour mesure l'arc BC. Donc l'angle inscrit BAC aura pour mesure la moitié de ce même arc.

2« cas. — Soit l'anglo inscrit BAC (fig- V Q»» est toi quo le centre 0 s© trouve compris entre se*

tions nthé

^^insi ■r-«BC

deux côtés. Il faut prouver que cet angU encore pour mesure la moitié de l'are cela, menons le diamètre AOD. D'après I^3 cas de notre théorème, l'anglo BAD apoU> — ; d'après ce même premier cas, l'an^ï *

DC

pour mesure y. Donc l'angle formé pt* *~ nion de BAD et de DAC, c'est-à-dire l'an & aura pour mesure >y ~ . D'après la néo pour faire l'addition de plusieurs f~m ayant le même dénominateur, cette métrre* m

... no ♦ ne ne peut encore s écrire : — - — ou enfin -5 — —

l'angle BAC a pour mesure la moitié de 1 £ compris entre ses côtés.

3" cas. — Soit l'angle inscrit BAC — que le centro O de la circonférence se tr dehors de cet angle. Il faut prouver qu' i l pas moins pour mesure la moitié do l'arc pris entre ses côtés. Pour cela, menons, mètre AOD. D'après le premier cas du L\x ^

l'angle BAD a pour mesure ^ . D'après <

premier cas l'angle CAD a pour mesure ^ visible que l'angle BAC est égal à l'a*^^\^ diminué de l'angle CAD. Donc l'anglo pour mesure la différence dos quantité»

vent do mesure aux angles BAD et CAL>

séquence, l'angle BAC sera égal à -j

à-dire en effectuant la soustraction i

BO

137. Définition. On appelle angle ext^ angle qui a son sommet en dehors oV férence.

iW. Théorème. — Tout angle *rtê»-£^ .

mesure la moitié de la différence des deie^, pris entre ses côtés.

Soit l'anglo extérieur DAE (fig- 4), qc* ^ entre ses deux côtés les deux arcs ^"^tYi prend

faut prouver qu'il a pour mesuro la rr*^ . *^«- DC. II différence de ces deux arcs. Pour cela ^ m du la

droite DC. Il en résulte un triang\e D^v^ *^^«ions la quel l'angle extérieur DGE est égal ^ «J«ns Iodes deux angles intérieure non agacer* v^ ** sonimo séquence on peut écrire *• * *an con-

DAC-h A£>C = DÇiE.

Si nous retranchons des deux mcrnV>x-ç> égalité une môme quantité ADq^ j| en ~» do cette nouvelle égalité suivant© : °&ultcra la

DAC — pCE ~~ ADG Ainsi, l'angle DAC ou, ce qu-x chose, l'angle proposé 1>A*®*1 J« môme

des deux angles DCE.«* ^ V. ^"'^«co

* «ur tout ^ circon-

mesure la différence des quantités qui servent de mesure a ces derniers. Mais DCE el AI)C sont des angles inscrits. L'un a pour mesure-^ ; l'auiro a pour mesure B,G-. Donc l'angle DAE, qui égale leur différence, aura pour mesure -5 -3- ou,

en affectuanl la soustraction indiquée, — ^— '# C Q. F. D.

459. Définition. — On appelle angle intérieur tout angle qui a son sommet en un point quelconque de l'intérieur d'une circonférence.

4G0. Théorème. — Tout awjle intérieur a jtoiir mesure la moitié de la somme des ans comprit entre ses côtés et leurs prolongements.

Soil l'angle intérieur BAC [fig. 5). Il faut prouver qu'il à pour mesure * Pour cela menons la droite BD; il en résulte un triangle BDA dans lequel l'angle extérieur BAC est égal à la somme des deux intérieurs BDA et DBA. Cela étant la mesure de l'angle BAC sera égale à la somme d-?s arcs qui mesurent respectivement les angles BDA et DBA. L'angle BDA, ou ce qui est la mémo chose, l'angle

BDC a pour mesure ~. L'anglo DBA ou DDE a

pour mesure Donc l'angle BAC qui est équivalent a la somme des dtmx derniers angles aura pour mo8ure c'est-à-dire îïifîï.

ICI. Définition. — On appelle segment de cercle tout espace compris entre un arc de circonférence et sa corde. Ainsi, la surface comprise entre la corde AB (iig. fi) et l'arc AMB correspondant à celle corde est un segment de cercle.

46S. Théorème. — Tous les angles inscrits dans un même segment de cercle sont égaux. — Il faut prouver que les angles ACB, AMB, ADB, etc. (fig. 6), que l'on pourrait inscrire dans le segment de cercle AMB, sont égaux entre eux. En effet, ils ont tous la même mesure, qui est la moitié de l'arc ANB correspondant à la corde AB.

46$. Théorème. — Tout angle inscrit dans une demi-circonférence est un awjle droit. — Soit l'angle ACB (fig. 7'i, inscrit dans In demi-circonférence A.MB. H faut prouver que cet angle est un angle droit. Eh effet, l'angle ACB étant un angle inscrit, il aura pour mesure la moitié de l'arc ANB compris entre &es côtés. Mais l'arc ANB vaut une demi-circonférence. Donc l'angle ACB aura pour mesure la moitié d'une demi-circonférence, c'est-à-dire le quart d'une circonférence ou un quadrant. Mais nous avons vu que le quadrant est la mesure de l'angle droit. Donc l'angle ACB est droit cl l'on en pourrait dire autant de tout uutre angle inscrit dans la demi- circonférence AMB.

464. Théorime. — Tout angle formé par une tangente et une corde a pour mesure la moitié de Varc correspondant à la corde. — Soit l'angle ABC (fig. 8), formé par la tangente BC et la corde AB. Il faut prouver qu'il aura pour mesure la moitié de l'arc AMB correspondant à celte corde. Pour cela, menons le diamètre BOD ; la tangente BC sera perpendiculaire à l'extrémité de ce diamètre et, par conséquent, l'angle DBC sera Un angle droit* et aura pour mesure la moitié de la demicirconférence DMB. L'aDgle DBA étant un angle inscrit aura podx mesure ~~ . Mais il ost évident lue l'angle ABC est la différence des deux angles DBC et DBA. Donc il aura pour mesure là différence des deux quantités qui mesurent respectivement ces derniers. Celte différence est 211 on, en effectuant, Donc l'angle

ABC, formé par la tangente BC et la corde AB, a pour mesure la moitié do l'arc correspondant à cette corde.

Hauvion aîné.

PHYSIQUE

SUITE DE i/lIVDROSTATIQl'E.

Principe d'Archimèdo

Toute la théorie dos corps plongés ou flottants dans un liquide repose sur une proposition connue en physique, sous le nom tlo principe d' Archimide. Elle a été ainsi appelée parce qu'elle fut découverte par ce célèbre géomètre de l'antiquité. En voici l'énoncé : Tout corps plongé dans un liquide perd une partie de son poids égale au poids du volume de liquide déplacé. Nous démontrerons ce théorème de deux manières, par le raisonnement et par l'expérience.

lo Soit une masse liquide ABCD (fig. 9) en équilibre dans un vase. Concevons que l'on isole par la pensée un certain nombre de molécules prises au sein du liquide et constituant une masso M. Imaginons, de plus, que l'on vienne tout à coup à sulidilier celte masse M, c'est-à-dire à attacher sos molécules les unes aux autres, de telle façon que leur dislance respective ne puisse plus ni augmenter ni diminuer. Il est évident que par celte opération, on n'aura troublé en rien l'équilibre. En effet, on n'a fait que s'opposer au mouvement do molécules liquides déjà en repos. Or, empêcher qu'un mouvement ne se produise dans une masse quelconque, ce n'est pas troubler le repos de celle masse. Il y aura donc encore équilibré dans te ftou-

vel état do choses comme dans l'ancien. Maintcnanl, en vert» do théorèmes précédemment démontrés, chaque «Moment de la masse M solidifier, éprouvera une pression représentée par une force dirigée perpendiculairement à la surface de cei élément. Celle force, d'après la rèirlc du parallélogramme des forces, pourra être décomposée en deux autres, l'une horizontale, l'autre verticale. Ce i[tie nous venons de dire relativement à la pression exercée sur un seul élément de surface de la masse M, peut s'appliquer à tous les autres. De sorte que, en définitive, on peut considérer la masse M comme soumise ù deux séries de forces qui sont, les unes horizontales, les autres vcrlicaies. Toule.- les forces horizontales se détruisent entre elles ; car s'il n'en était pas ainsi, si ces fbreos. horizontales avaient une résultante dillérorito de zéro, on verrait la masse il obéira l'impulsion de cette résultante ot se mouvoir au sein du liquide, soit en avant, soit en arrière, suit à droite, suit à gauche. Mais aucun dç ces mouvements n'est passible, attendu que nous avons commencé par démontrer que, la solidification de la masse M ne trouble en rien l'équilibre. Par conséquent, nous sommes obligés de conclure (pie toutes les forces horizontales sollicitant les molécules solidifiée» s'entre-délrui-ent. Restent main tenant les forces verticales. Je dis qu'elles ont uno résultante é.»:ile au poids de la musse M et agissant en sens contraire de ce poids. Ce. qui prouve cette assertion, c'est que la masse M ne tombe pas au fond du liquide, tlle ne manquerait pas de le faire si la résultante des forces verticales » pissait dans le même sens que la pesanteur, ou bien encore, si celte mémo résultante, dirigée en sens inverse de la pesanteur, lui était inférieure en intensité. Comme rien de semblable ne se produit puisqu'il y a équilibre, on en conclut quo l'effet "rie la pesanteur est annihilé par l'action qu'exerce sur la masse M la résultante de toutes les forces vortirales qui sollicitent cette masse. Cette résultante est co que l'on nomme la poussée du lu/utile. Maintenant, figurons-nous qui! l'on sùb.-litue à la masse M un corps solido de densité quelconque, niais ayant absolument la même forme et le même volume que celle nias.se. Il n'y a pas de raison pour que la poussée du Jiquido ne s'exerce pas sur ce corps comme elle s'exerçait tout à l'heure sur la masse 31. Ainsi, le corps solide sera poussé, soulevé de bas en haut avec une force égale en intensité au poids du liquide dont il est venu occuper la pince. Dès lorsv la pesanteur ne produira pas sur ce corps tout l'effet qu'elle aurait produit si el!e y avait été: seule appliquée, et le |K>ids du corps s<> trouvera diminué d'une quantité précisément égale au poids du liquide qu'il déplace.

2U Le principe d'Archiiùède, dont le raisonne-

ment démontre l'exactitude , peut encore t>tre prouvé au moyen d'un appareil désigné soi.s le nom de bnlmire hydrostatique. La Lalame hydrostatique n'i'st pas autre chose qu'une balance ordinaire qui a subi tes légères modifications suivantes : A la surface inférieure de l'un des plateaux A ■fi g. 10), est fixé un crochet qui supporte un petit evlindro creux IL lequel supporte lui-mémo un second cylindre plein C. attaché à sa partie infélieuro a l'aide d'un second crochet. Les dimensions de ce second cvlindre plein C «ont telles qu'il s'emboîte parfaitement dans la cavité quo piésente le cylindre B. Son volume est donc tout à fait égal à celui do celle cavité. Quand les deux c\ iindres ont été disposés au-dessous du plateau A, on met dans le plateau A' des poids suffisants pour leur faire équilibre. Puis, prenant un vase plein d'eau Y, on l'approche du rv liudre plein C, et on le soulève verticalement jusqu'à ce que ce cylindre C se trouve complètement immergé dans le liquide. Alors voici co que l'on remarque : l'équilibre n'existe plus; le fléau de la balance n'a plus uno position horizontale, il incline du côté du plateau A'. Le coté opposé a donc subi uno diminution do poids. Veut-on apprécier cette perte de pùds? Il suffit do verser de l'eau dans la cavité du cylindre H. A peine ce cvlindre en est-il rempli, qu'un voit le fléau reprendre la position horizontale et l'équilibre se t établir. Par conséquent, la perle de poids qu'avait éprouvée le côlé de la balance où est suspendu le plateau A, était précisément égale au poids d'un volume d'eau égal au volume du cylindre C. Mais il est bien évident qu'on ne peut attribuer cette perte de poids qu'à l'immersion de ce dernier cylindre. Par conséquent, on peut considérer comme démontré le principe d'Archimèdo qui dit que toutes les fois qu'un corps solide est plonyc dans un liquide, il subit, par suite de In pmttsée du liquide, une perte de poids égale un poids du liquide déj<lacc.

lleinarque. — Tout ce quo l'on vient de dire touchant la perte do poids qu'éprouve un solide plongé dans un liquide, peut se dire d'un corps immergé dans un gaz quelconque. Ainsi tous les corps pesés dans I air donnent un poids trop léger auquel il faut, pour avoir le véritable poids du corps, ajouter celui du volume d'air qu'il déplace.

Conséquences du principe d ArchintMe. — Lorsqu'un corps est plongé dans un liquide, il peut arriver trois ca?.

4<" eax. — A volume égal, le corps plongé est plus lourd que le liquide. Dans cette hypothèse, le poids du corpi remporte sur la poussée du fluide, et c e corps est précipité au fond du vas© avec une force égale à. leur différence.

2* (<«. — Le corps plongé a le même poids quc

le liquide déplacé. Alors lo poids du corps étant égal à la poussée du fluide, ce corps demeure en équilibre au milieu de la masse liquide. Tel est. par exemple, le cas de l'ambro et des résines en poudre qui se maintiennent suspendus au milieu de l'eau ordinaire ou légèrement salée.

:\< cas. — Le corps plongé pèse moins que le liquide déplacé. Dans ce cas, la poussée du fluide étant plus considérable que le poids du corps, on voit co dernier remonter verticalement et sortir en parlio de l'eau jusqu'à ce que la portion qui reste plongéo déplace un volume do liquide égal au poids du corps tout entier. On exprime ce fait en disant que le corps vient flotter à la surface du liquide. Ce pbénomène a liou pour le liège, le bois, la cire et uno foule d'autres corps. Il est évident, par ce qui précède, que le poids d'un corps flottant est égal au poids du liquide déplacé par la parlio immergée de ce corps. C'est là un principe qu'il ne faut pas perdre de vue, parce que nous en ferons bientôt d'importantes applications.

DKTEHM1XAT10N DES DENSITÉS RELATIVES DES cours SOLIDES ET liquides.

Définition. — On appelle densité relative ou poids spécifique à'uo corps le poids d'un centimètre cube de ce corps.

Un centimètre cube d'eau pesant un gramme, on' peut encore diro quo la densité relative d'un corps est le nombre qui exprime combien de fois un centimètre cube de ce corps pèse plus qu'un centimètre cube d'eau.

Enûn, si l'on considère le volume d'un certnin corps cl un égal volume d'eau, il est bien évident quo In poids du premier volume contiendra celui du second autant de fois que le poids d'un centimètre cube du premier corps contient celui d'un centimètre cube d'eau. Il résulte de là que l'on peut encore dit e que lo itoids spécifique d'un corps v<t le nombre qui esprim? combien du fois U poids d u» certain volume de ce corps contint h poids d'un èynlcolaine d'eau. En d'autres termes, le poids spécifique d'un corps est lo rapport du poids d'un certain volume de ce corps à celui d'un volume d'eau équivalent.

Étant donné un corps d'un certain volume, on aura sa densité relative en divisant son poids par son volume; car on aura de la sorte le poids d'un centimètre cube du corps, lequel est identique au Dombre abstrait qui représente le poids spécifique.

Il résulte de là que lo poids spécillque de l'eau esl égal à l'unité, puisqu'un centimètre cube d'eau pèse un gramme. Il en résulte encore que si l'on représente par D la densité relative d'un corps, son volume par Y et son poids par P, on aura la for-

mule: D = — . Ainsi la densité d'un corps est

le quotient de son poids par son volume. On sait qu'en multipliant le quotient d'une division par le diviseur, on doit retrouver le dividende; donc on a P = V X D. On lire de là fes conséquences suivantes :

\° Quand deux corps ont la même densité, leurs poids sont proportionnels à leurs volumes. En effet, soient P lo poids d'un corps, Y son volume, D sa densité; soient P' le poids d'un autre corps, Y' son volume, et D sa densité, que nous représentons par la môme lettre, puisque, par hypothèse, elle a la même valeur. On aura respectivement pour ces deux corps :

P = Y X D P' = Y' X D En divisant ces deux égalités membre à membre, on obtient la suivante :

JP VXD P' V XD* En supprimant le facteur D commun aux deux termes du second rapport de cette proportion, il vient :

Ce qui vout dire que quand deux corps ont la mémo densité, lo poids du premier contient celui du second autant de fois que le volume du premier corps contient lo volume du second. On exprime cette vérité d'une manière abrégée en disant que le* \h>hU des 'eiu^ oru> V même tiens te sont proihji ■ < >nnet* n 'eurs coii.mt».

jo Quand deux corps hétérogènes ont le même poids, leurs volumes sont en raison inverse d* leurs densités. Soient Pie poids du premier de nos deux corps, Y son volume et D sa densité. Puisque le second corps a le même poids que le premier, nous représenterons encore co poids par P; de plus V désignera le volume du second corps et D' sa densité. L'application d'une formule précédemment établio donnera :

P = V X D et P = V' X D' Los quantités V x D et V' X D', toutes deux égales à P, sont égales entre elles, et l'on peut écrire :

V X D - V* X D" Mais quand le produit de deux nombres est égal à celui de deux autres, ces quatre nombres sont en proportion. Donc on aura :

Cela veut dire que le volume du premier corps contient celui du second autant de fois que la deosilé du second corps contient celle du premier. On énonce ce théorème d'une manière abrégée en di«

rant que quand deux corps hèlèrogènts ont le même poids, leurt volumes sont en raison inverse de leurs densités.

3° Quand deux corps ont des volumes égaux, leurs' densités sont proportionnelles à leurs poids. Pour Je démontrer, soient V le \olume de chacun des deux corps, P le poids du premier, D sa densitë, P' le poids du second, D' sa densité: On sait que l'on aura :

P = V X D P' = VXD' Ces deux égalités, divisées membre à membre, produisent celle-ci :

Par la suppression du facteur V commun aux deux termes de la fraction qui compose le second membre, il vient :

Donc, quand deux corps ont le même volume, le poids du premier contient le poids du second autant de fois que la densilé du premier contient la densité du second; ce que l'on exprime encore en disant que quand deux corps ont le même volume, leurs poids sont entre eux comme leurs

Mkrlkttb.

HISTOIRE NATURELLE