Théorème. — Deux droites quelconques sont

Dans la démonstration de ce théorème, nous distinguerons deux cas.

1er cas. — On suppose que les droites ABet BC sont commensu.ables entre elles.

2c cas. — On suppose que ces mômes droites sont incommensurables.

<er ras. — Les droites AB et BC sont commensurables. Cela veut dire qu'il e»iste une unité de mesure contenue un nombre exact de fois dans A B et un autre nombre exact de fois dans BC. Soit m cette unité de mesure. Portons-la sur AB et sur BC autant de fois qu elle y est contenue, et admettons qu'elle soit comprise 3 fois dans AB et 5 fois dans BC. En la portant sur AB et sur BC le nombre de fois qu'elle se trouve contenue dans chacune de ces deux lignes, on obtient les points de division G, H, I, J, K, L. Par chacun de ces points menons des droiles parallèles à AD, BE et CF. Le système de toutes les parallèles que nous aurons obtenues par celte construction partagera la droile DF en parties toutes égales entre elles, d après un théorème précédent (471). Soit m' l'une de ces parties; m' sera évidemment contenue 3 fois dans DE et 5 fois dans EF. D'un autre côté, par supposition, la longueur m est contenue 3 fois dans AB et S fois dans BC. D'où l'on a :

nelles.

Soient les deux droites AC et DF (fig. 4) coupées par les trois parallèles AD, Biset CF. Il faut prouver que ces trois dernières droites coupent AC et DF en parties proportionnelles ; en d'autres termes, il faut prouver que l'on a :

AB DE