CD **" DE

les proportions (4) M (î) ayant on rapport commun, il en résulte que les trois rapports distincte qu' elles renferment sont égaux entre eut et que, par conséquent, on peut écrire :

AH — HK -ÏIL. Yoilà une suite do AC CD DE rapports égaux; mais ort sait que, dans toute suite de rapports égaux, la somme des antécédente est à la somme des conséquents comme un antécédent quelconque est à son conséquent. Donc, on

AR + HK + KB AH pourra écrire : AC + cp+DE = "Je*-

Mais l'inspection do la figure montre que le numérateur du promicr rapport de la dernière proportion n'est pas autre chose que AB et que son dénominateur est égal à AE. Donc cette propor-

. AB AH tion pourra encore » écrire : |r =* -j^- (3).

Maintenant, considérons la suite de rapports

égaux

—g*-, et appliquons lui le

même théorème que nous venons d'appliquer à la

première suite.

m-v iw

il viendra :

M-f- N t^P " En vertu dto l'énoncé d» problème, le noméra-

leur do premier rapport de cette proportion est égal 4 AB, et son dénominateur vaut AE ; donc AB X

on peut écrire : = (i). Si nous com-

parons entre elles les deux proportions ( 3 ) et (4), nous voyons qu'elles ont trois termes respectivement égaux; donc leurs deux troisièmes termes sont forcement égaux, et l'on aura AH — X. Par un raisonnement absolument semblable, on prouverait que HK = Y et que KB = Z; par conséquent, la ligue AB se trouve partagée en trois parties respectivement proportionnelles aux droites M, X et P.

4Ht. Di'fittition. — Trouver uno tjuitlrièmti />»<>- .portionneUe à trois droites données A, B, cl C (fig. i), c'est trouver une quatrième droite x telle que le quotient de A par B soit égal au quotient de C par x cl que I on ail par conséquent :

<SS. Problème. — Trourer une ffuairièmc pro~ portwuttrlte aux tivis droite* données A, B, C («Y*. V-

D'après la définition, trouver une quatrième propoitioiintîHe aux trois droites A, B, C, c'e?t trouver une nouvelle droite x telle que l'on ait A C

(I). Pour cela , on trace un angle

quelconque 0; à partir do son sommet, on porte une longueur OD égale à la ligne A; puis ou passo à l'autro côté do l'angle, et, à partir du point O, on porle sur ce côté uno longueur OK égale à B ; enfin, rovenant au premier coté, on y porle, à la suite de OD, la longueur DF égale à C. On tire la droite DE, et, par le poinl P, on mène FK parallèle à cette droite : la longueur EK. prise sur le côté OK, est la quatrième proportionnelle demandée. En effet, les deux parallèles DE et FK coupent les côtés de l'angle 0 en parties proportionnelles, et, par conséquent, on a :