ADDITION DES NOM OBUS ENTIERS

Définitions. — L'addition est une opération fui a pour but de trouver un nombre qui, à lui seul, contienne autant d'unités qu'il y en a dans plusieurs nombres donnés.

Le résultat de celte opération s'appelle somme ou Mal.

Manière d'indiquer l'addition. — Pour indiquer </«c plusieurs nombres doivent être ajoutés ensomblo. on Je* écrit a la suite les uns des autres sur uno même ligne horizontale, et l'on met entre eux le signe -f« qui veut dire plus. Par exemple si l'on veut ajouter ensemble les nombres : 4, 5, 428, 424, 54 S, on écrira:

4+5+lî8+ «1+342

Axiomes. — 4° On peut ajouter ensemble des quantités de même nature. â° On ne peut pas ajouter ensemblo dea quantités de naturo différente.

Régie pour r addition des nombres entiers.

Pour additionner plusieurs nombres entiers on les écrit les uns sous les autres, de manière que les unités de même ordre se trouvent dans uno môme colonne verticale. Puis, commençant par la droite, on ajoute ensemble toutes les unités qui se trouvent dans chacune des colonnes verticales. — Quand la somme d'une colonne ne surpasse pas 9,

on écrit celle somme telle qu'on la trouve. Dans

les colonnes dont la somme surpasse neuf, on écrit seulement les plus faibles unités et l'on reporto celles de l'ordre immédiatement supérieur à la colonne suivante. Cela s'appelle retenir. Quand on arrive à la dernière colonne, on en pose la somme telle qu'on la trouve et l'opération est terminée.

Théorie de l'addition.

Il est évident qu'en opérant comme ou vient de le dire on a réuni ensemble toutes les unités des nombres à additionner, toutes les dizaines, toutes les centaines, etc., et que par conséquent on a atteint le but que l'on se propose en faisant une addition.

Exemple : Soit à additionner : 349, 695, 543, 986. On place ces nombres les uns au-dessous des autres, de manière que les unités de mémo ordre se trouvent dans une mémo colonne verticale, et on tire un Irait horizontal. On a de la sorte :

Puis, commençant par la première colonne de droite, on ajoute ensemble toutes les unités simples qui la composent : 9 et 5 font 14 et 3 font 17 et 6 font 23. Ce nombre 23 se compose de trois unités simples et de deux dizaines. On pose lu chiffre 3 sous la colonne des unité* et l'on reporte les 2 dizaines à la colonne suivante. De là, on passe à la colonne des dizaines. On dit : 2 dizaines retenues à la colonne des unités et 4 font 6 et 9 font 45 et 4 font 19 et 8 font 27. Ce nombre se compose de 7 dizaines et do î centaines, on pose les 7 dizaines sous la colonne des dizaines et l'on reporte les 2 centaines a la colonne suivante.

Enfin, on ajoute ensemble les unités que contient la colonne des centaines. On dit : 9 centaines provenant de la colonne des dizaines et 3 font 8, et 6 font 41 et 5 font 46 cl 9 font 25. Ici, comme les unités que l'on vient d'additionner forment la dernière colonne, on pose la somme 15 de ces unités, telle qu'on l'a trouvée et l'on a pour total de l'addition le nombre 2573.

Mebi.ktte et Hauvion aîné.

GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE

DES PERPENDICULAIRES KT DES onUQCKS.

51. Définitions. — Nous avons déjà vu qu'u perpendiculaire est une droite qw en ronconlre

une autre en faisant avec elle deux angles adjacents égaux.

On appelle oblique une droite qui en rencontre une autre en faisant avec elle deux angles adjacents inégaux.

5î. Théorème. — Par un point pris en dehors d'une droite, on ne peut mener qu'une seule fterpendieulaire à cette droite.

Nous avons vu dans un problème précédent que d'un point pris en dehors d une droile, on peut mener une perpendiculaire à cette droile. Il nous reste donc à prouver que d'un point pris en dehors d'une droile, on ne peut mener qu'une seule perpendiculaire à cette droite. Soit donc un point 0 (Pl. 5, fig. 1), pris en dehors de la droile AD. Il faut prouver que de ce point on ne |»eul mener qu'une seule droite OC perpendiculaire sur AD. En effet, supposons que l'on puisse en mener une autre, OE par exemple, et voyons ce qui en résulterait.

Prolongeons la droite OC d'une quantité égale à elle-même, jusqu'en D. Joignons le point D au point E. Les deux triangles COE et CDE qui résultent des constructions précédentes sont égaux : car ils ont le côté CE commun, le côté CO égale le côté CD puisque l'on a prolongé la ligno OC d'une quantité égale à elle-même. Les deux angles OCE et ECD sont égaux comme droit». Par conséquent le» deux triangles considérés sont <>gaux

comme ayant un angle égal compris entre deux cotés égaux. Mais dans des triangles égaux à des côtés égaux sont opposés des angles égaux, donc l'angle OEC opposé au côté OC égale l'angle CED, opposé au côté CD, lequel égale CO. Mais par supposition l'angle CEO est droit, donc l'angle CED est aussi droit; donc la somme des deux angles CEO et CED vaut deux droits; cl puisque ces deux angles sont adjacents, leurs côtés extérieurs OE et ED devraient ne former qu'une seule et même ligne droite. Mais la ligne OCD est également droite; car CD est le prolongement de OC. Alors du point 0 au point D il y aurait deux lignes droites, c'est-à-dire deux plus courts chemins, ce quiestimpossible.il est donc également impossible, que l'angle CEO soit droit et par suite que OE soit perpendiculaire sur AB. Ce que l'on vient de dire de la droite OE se dirait de toute autre droile partant du point 0; donc d'un point pris en dehors d'une droite, on ne peut mener qu'une seule perpendiculaire à celle dioile.

B3. — Théorème. — Une perpendiculaire est plus courte qu'une oblique.

Soient AB (fig. 2} une droite quelconque, CD une perpendiculaire sur cette droile, cl CE une oblique. Il faut prouver que la perpendiculaire CD

est plus courte que l'oblique CE Pour cela, prolongeons la droite CD d'une quantité égale à ellemême, jusqu'en F. Joignons le point E au point F par une ligne droile. Les deux triangles CDE et DEF sont égaux. En effet, ils ont le côté DE commun ; par construction le côté CD égale le côté DF ; les angles CDE ( t EDF sont égaux comme droits. Par conséquent, les deux triangles CDE et EDF sont égaux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun. Mai* dans des triangles égaux à des angles égaux sont opposés des côtés égaux ;donc le côté CE opposé à l'angle CDE égale le côlé EF opposé à l'angle EDF, lequel égale l'angle CDE. Maintenant considérons le triangle total CFE. Le côté CF est plus petit que la somme des deux autres côtés CE et EF; par suite la moitié de CF sera plus petite que la moitié de CE+EF; mais la moitié de CF c'est CD et la moitié de CE+EF c'est CE; donc alors CD est plus petit que CE; d'où il suit qu'une perpendiculaire est plus courte qu'une oblique.

54. Théorème. — Quand deux obliques sont également éloignées du pied de la perpendiculaire, elles sont égales.

Soient AB [fig. 3), une perpendiculaire à ladroilo MN; AC et AD, doux obliques également éloignera

du pied de celle perpendiculaire, c'est-à-dire, telles que les points C et D, sont également éloignes du point B, pied de la perpendiculaire AB. Il faut prouver que les deux droites AC et AD sont égales En effet, les deux triangles ABC et ABD sont égaux : ils ont le côté AB commun, les côtés CBet BD égaux par supposition et les angles ABC et ABD égaux comme droits; les deux triangles ABC et ABD sont donc égaux, comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun. Mais dans des triangles égaux, à des angles égaux sont opposés des côtés égaux ; donc le côlé AC, opposé à l'angle ABC, égale le côlé AD opposé à l'angle ABD.

55. Thèorème.-Soitle triangle ABC; si l'on prend un point 0 dans l'intérieur de et triangle, et si l'on joint le point C au point 0 et le point A au point 0, je dis qu'on aura AO+OC plus petit que AB+BC.

(tig- *•)

Pour le prouver par le point 0, menons une droite quelconque, DE par exemple. Considérons le triangle BDE; dans ce triangle, le côlé DE est plus petit que la somme des deux autres, on a donc :