THÉORÈMES RELATIFS A LA SOMME DES ANOL&S D'UN POLYGONE

104 Définition. On appelle polygone une surface plane terminée par des lignes droites.

On appelle polygone convexe celui dont une ligne droite ne peut pas couper le contour en plus de deux points. Le polygone ABCDEF (fig. 5) est un polygone ennrexe.

105. Théorème. — La tomme det angles d'un polygone convexe est égale a autant de fois deux angles droits que le polygone a de côtés moins deux.

Soit le polygone convexe ABCDE (fig. 6). Il faut prouver que la somme des angles du polygone ABCDE est égale à autant de fois deux angles droits qu'il y a d'unités dans le nombre représentant la somme des côtés du polygone diminuée de deux unités. Pour cela, joignons par des lignes droites lo point A aux points C et D. Ces droites AC et AD partagent la surface du polygone en un nombre de triangles qui égale le nombre des côtés du polygone diminué de deux unités, c'est-àdire 3, puisque ce nombre dos côtés du polygone est égal à 5. Mais la somme des angles d'un triangle esl égale à deux droits; par conséquent la somme des angles du polygone est égale à autant

L'BMCÏCLOPÉDIE DBS ÉCOLES

de fois deux droits qu'il y a de triangles dans le polygone donné. Or, le nombre dos triangles est égal au nombre des côtes du polygone diminue de deux. Donc, la somme des angles d'un polygone convexe est égale à autant de fois deux droits que le polygone a de côtés moins deux.

<06. Théorème. — Si l'on prolonge dans m» t*im* teUt tous les oôté* d'un polygone convexe, la somme de tout let onglet extérieur/ vaut quatre angles droits.

Soit le polygone convexe ABCDE (fi. 7). n faut prouver que et l'on prolonge dans un même sens tous les côtés de ce polygone, la somme des angles extérieurs vaut quatre droits. En effet, à chaque sommet du polygone, il y a deux angles, l'un qui appartient an polygone et l'autre qui est un angle extérieur à ce polygone; la somme de ces deux angles vaux deux droits, donc la somme des angles du polygone et des angles extérieurs vaut autant de fois deux droits que ce polygone a de côtés. Par conséquent, le polygone donné ayant cinq côtés, la somme de ses angles ét des angles extérieurs vaudra dix droits. Mais d'après le théorème précédent, la somme des angles du polygone ABCDE vaut autant de fois deux droits qu'il a de cotés moins deux, c'est-à-dire trois fois deux droits ou en tout six droits. La somme des angles extérieurs vaut donc la somme des angles du polygone et des angles extérieurs, c'est-à-dire dix angles droits, diminuée de la 9omme des angles du polygone, somme qui est égale à six droits. Donc la somme des angles extérieurs vaut quatre droits.

Hauvion ainé.

PHYSIQUE