MULTIPLICATION DES NOMBRES DECIMAUX

Avant d'oxposer la théorie de la multiplication des nombres décimaux, nous donnerons la définition générale de la multiplication. Voici cette définition :

La multiplication est une opération qui a pour but de traiter lo multiplicande pour avoir le produit comme on traiterait l'unité pour avoir le multiplicateur.

Celle définition convient à tous les cas possibles de la multiplication. Nous allons foire voir qu'elle convient en particulier à la multiplication des nombres entiers. Soit 5849 + 672. D'après la défi-

nilion précédente, pour avoir le produit, il faut traiter 5849 comme on a traité l'unité pour avoir 672. Or, comment a-t-on traité l'unité pour .-noir 672? On la ajoutée 672 fois à elle -même, donc 5s i9 doit être traité do même. Il faudra l'ajouter 67 i fois à lui-même; par conséquent, la définition générale conduit à la même addition <[uo la définition donnée pour la multiplication des nombres entiers.

Passons à la théorie de la multiplication des nombres décimaux.

. Soit à multiplier 568,39 par 24,7. Avant tout, remarquons que 24,7 font 247 dixième?. Maintenant, d'après la définition générale de la multiplication, pour avoir le produit, il faut traiter le multiplicande comme on a traité l'unité pour avoir lu multiplicateur 247 dixièmes. Comment a-l-on traité l'unité pour avoir 247 dixièmes? On a fait deux choses: \° On a rendu l'unité 10 fois plus petite, ce quia donné un dixième, 2° on a ajouté ce dixième 247 fois à lui-même, ce qui a donné 247 dixième?. Traitons do même le multiplicande, et pour cela, voici ce que nous ferons : |J Nous rendrons lo multiplicande 10 fois plus petit, ce qui donnera 56,839, nombre qui a autant 'e chiffres décimaux qu'd y en a dans les deux facteurs ensemble; 2° Nous ajouterons ce premier résultat 247 fois à lui-môme, ce qui reviendra a faire une addition dans laquelle le nombre 56,839 sera écrit 247 fois. Figurons ici cette addition : à côté figurons-en une autre dans laquelle le même nombre sera écrit 247 fois mais sans virgule:

Première addilio». Deuxième •drflliwn.

Il est évident que les deux totaux de nos deux additions seront composés des mêmes chiffres et dans le même ordre. La seule différence entre eux sera celle-ci ; dans le total de la première addition, il y aura une virgulo après le troisième chiffre de droite ; dans celui de la deuxième, il n'y en aura pas. Cette différence étant bien remarqué, il sera facile de trouver le total do la première addition quand on connaîtra celui do la deuxième; mais nous savons trouver le total de la deuxième addition. Cela revient à multiplier lo nombre entier 56839 par lo nombre entier 247, chose que l'on sait faire. Ce total une fois obtenu, on y mettra une virgule après le troisième chiffre de droite, et on aura le total de la première addition, qui sera le produit demandé.

De là on conclut la pratique suivante : supprimez les virgules dans les deux facteurs, multiplie/, l'un par l'autre les deux nombres entiers qui en

résulteront et sur la droite du produit séparez par une virgule autant de chiffres décimaux qu'il y en a dans les deux facteurs ensemble.

Exemple de la multiplication des nombres dèciman.r. — Soit 37,25 X R,9. On supprime la virgule du multiplicande, il devient 3725, puis celle du multiplicateur, qui devient 89. On multiplie ensemble les deux nombres entiers 3725 et 89, on a pour produit 331525. Sur la droite de coproduit on sépare par une virgule autant de chiffres décimaux qu'il yen a dans les deux facteurs ensemble, cVsl-a-dire trois, et le produit demandé est 331,525. Merlette et Hauvion aîné.

GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE

TtlÉOBÈMES RELATIFS AL'X PARALLÉLOGRAMMES

ET MX LOSANGES.

98. Dé finit ions. — On appelle quadrilatère une surface plane terminée par quatre lignes droites.

On apelte parallélogramme un quadrilatère dont les cotés oppesés sont parallèles deux à deux.

Dans un parallélogramme on appelle diagonale la ligne qui joint deux côtés opposés.

On appelle losange un parallélogramme ayant ses quatre côtés égaux.

99. Théorème. — Deux droites parallèle» romprûes entre deux autres droites parallèles sont égale*.

Soient les deux droites parallèles AC et BD (planche 10, fig. 1) comprises entre les deux autres droites parallèles AB et CD. Il faut prouver que les deux droites AC et BD sont égales. Pour cela joignons par une ligne droite le point B au point C. Les deux triangles ABC et DBC sont égaux. En effet, ils ont le côté BC commun ; les angles ABC et BCD sont égaux comme alternes-internes formés par les parallèles AB et CDet la sécante BC. Les angles ACBel DBC sont égaux comme alternesinternes formés par les parallèles AC et BD et la sécante BC. Par conséquent les deux triangles ABC et DBC sont égaux comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux. Mais dans des triangles égaux à des angles égaux sont opposés des côtés égaux. Donc le côté AC opposé à l'angle ABC égale le côte BD opposé à l'angle DCB, lequel égale l'angle ABC. Ou prouverait de mémo que les droites AB et CD sont aussi égales. Par conséquent, deux droites parallèles comprises entre doux outres droites parallèles sont égales. C. Q. F. D.

100. Corollaire. — Les cotés opposés d'un parallélogramme sont égaux.

En effet, ces cotés opposés sont doux droites pa-

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rallèlcs comprises entre deux autres droites parallèles.

101. Théorème. — Le» diagonale* d'un parallélogramme se coupenCen leur milieu.

Soit le parallélogramme ABCD (fig. t). Il faut prouver que les diagonales AC et BD de ce parallélogramme se coupent en leur milieu, c'est-à-dire que le point E est à la fois le milieu de AC et de BD Tour cela considérons les deux triangles ABE ÇlCDE. Ils sont égaux. En effet, le côté AB égale le coté CD comme côtés opposés dans un même parallélogramme. Les angles EBA et EDC sont égaux comme alternes-internes formés par les parallèles AB et CD et la sécante BD. De même les angles EAB et ECD sont égaux comme alternes-internes formés par les parallèles AB et DC et la sécante AC. Les deux triangles ABE et CDE sont donc égaux comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux. Mais dans des ti iangles égaux à des angles égaux sont opposés des coies égaux ; donc le côté AE opposé à l'angle ABE est égal au côté CE opposé à l'angle CDE, lequel égale l'angle ABE. Par conséquent, le point E est le milieu de la diagonale AC. Le côte BE opposé à l'angle BAE égale le côté DE opposé à l'angle DCE; lequel egalo l'angle BAE. Donc, le point E est le milieu de la diagonale BD. Le point E est donc le milieu des deux diagonales AC et BD du parallélogramme ABCD.

Donc les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.

102. Théorème. — Les diagonales d'un lotange te coupent à angle droit.

Soit le losange ABCD (fig. 3). Il faut prouver que les deux diagonales AC et BI) de ce losange se coupent à angle droit, c'est-à-dire que chacun des quatre angles qui ont leur sommet au point E est droit. En effet, les deux diagonales AC et BD, d'après le théorème précédent, se coupent en leur milieu : par conséquent la droite AE égale la droite EC. Les deux triangles A DE et CDE sont égaux; ils ont le côlé DE commun; le côlé AD égale le côté CD par supposition, et nous venons de voir que le côte AE égale le côté CE. Les deux triangles ADE et CDE sont donc égaux comme ayant leurs trois côtés égaux chacun à chacun. Mais dans des triangles égaux à des côtés égaux sont opposés des angles égaux. Donc, l'angle AED opposé au côté AD égale l'angle CED opposé au côté DC. Mais ces deux angles sont adjacents et, de plus, leurs côtés extérieurs étant en ligne droite, leur somme vaut deux angles droits; donc, puisqu'ils sont égaux, chacun d'eux vaut la moitié de celle somme, c'est-à-diro un angle droit. On prouvera de la même manière que les deux angles

AEBet CEB sont droits; donc, tous les angles qui ont leur sommet enE sont droits; donc les diagonales d'un losange se coupent à angle droit.

103. Théorème. — Deus droites égales comprimes entre deux autres droites égales sont parallèles entre elles.

Soient les deux droites AB et CD (fig. 4) égales entre elles et comprises entre les deux droites AC et BD qui sont aussi égales entre elles. Il but prouver que les deux droites AB et CD sont parallèles. Pour le prouver, joignons le point A au point D. Les deux triangles ABD et ACD sont égaux ; en effet, ils ont le côlé AD commun ; le côté AB égale le côté DC par supposition ; le côté AC égale le côté BD pour la même raison. Les doux triangles ABD et ACD sont égaux comme ayant leurs trois côtés égaux chacun à chacun. Mais dans des triangles égaux à des côtés égaux sont opposés des angles égaux ; donc, l'angle BAD opposé au côté BD égale l'angle CDA opposé au côté AC, lequel égale le côté BD. Mais les angles BAD et CDA sont des angles alternes-internes formés par les droites AB et CD et la sécante AD. Par conséquent, les deux droites AB et CD sont parallèles. On démontrerait d'une manière analogue que les droites AC et BD sont également parallèles.