X3)+(5X^+(BX3)+>'5X3)-(BX*)+(8X*)+(»X

Le premier membre de celte dernière égalité se compose de (5 x 3) ajouté quatre fois à lui-même. Or, d'après la définition de la multiplication, ajouter un nombre 4 fois à lui même, c'est multiplier ce nombre par i ; donc le premier membre de la dernière égalité peut s'écrire 6x 3X4. Le second membre est composé de (5X4) ajouté 3 fois à lui-même ; par conséquent, d'après la définition de la multiplication, il pourra s'écrire 5X4X3. On aura donc l'égalité :

On a ici deux produits égaux composés des mêmes facteurs, et qui ne différent entre eux qu'en ce que, dans le second produit, l'on a changé la place des deux derniers facteurs. Donc alors, quand un produit est composé de trois facteurs, il est permis, avant de l'effectuer, de changer la place de ses deux derniers facteurs.

3° Dans un produit de plus de trot» facteurs, on peut changer tordre de$ deux derniers facteurs.

Soit le produit 6X7X9X8X5, composé de plus de trois facteurs. Il fout prouver que, sans altérer la valeur de ce produit, on peut changer l'ordre de ses deux derniers facteurs. Pour le démontrer effectuons le produit 6X7X9. On aura pour résultat 378, et le produit donné pourra s'écrire : 378X8X5. Ce nouveau produit est compose" de trois facteurs ; donc, d'après le cas précédent, on peut changer l'ordre des deux derniers facteurs, n viendra :

Remplaçons maintenant 378 par l'expression équivalente 6X7X9, et l'on aura :

4° Dans un produit quelconque, on peut changer

Tordre de deut facteurs consécutifs.

Soit le produit 6X7X9X5X8X4, composé d'un nombre quelconque de facteurs. Il faut prouver que l'on peut changer l'ordre de deux facteurs consécutifs, 9 et 5 par exemple. En effet, d'après le cas prédédent, on a :

Évidemment on a aussi :

Si nous multiplions ces deux égalités membres à membres, il en résultera l'égalité suivante :

On a donc deux produits égaux, composés des mêmes facteurs, et qui ne diffèrent entre eux qu'en ce que l'ordre des deux facteurs consécutifs 9 et 5 a été changé dam le second produit; donc, dans un produit composé d'un nombre quelconque de facteurs, on peut changer l'ordre de deux facteurs consécutifs.

5o Enfin dans un produit, on peut changer d'une manière quelconque l'ordre des facteurs.

Soit 6X7X3X6X 4. Il faut prouver que, sans altérer la valeur de ce produit, on peut changer d'une manière quelconque l'ordre de ses facteurs. Pour cela, supposons qu'on veuille metttre au premier rang le facteur 5, au second le facteur 4, au troisième le facteur 6, au quatrième le facteur 7 et au dernier rang le facteur 3. Puisque l'on peut changer l'ordre de deux facteurs consécutifs, on pourra mettre le 5 à la place du 3, ce qui fera avancer le facteur 5 d'un rang vers la gauche. On aura ainsi l'expression 6X7X5X3X4. En continuant à appliquer plusieurs fois de suite le même théorème au facteur 5, on l'amènera au premier rang et l'on aura 5X6X7X3X4, expression équivalente à la proposée.

Maintenant, comme on peut changer l'ordre des deux derniers facteurs d'un produit, on pourra mettre le 4 à la place du 3 et réciproquement, ce qui fournira l'expression 5X6X7X4X3 toujours équivalente à la proposée. Appliquant plusieurs fois de suite à celte dernière quantité le ihéorèine qui dit que dans un produit on peut changer la place de deux facteurs consécutifs, on mettra successivement le 4 à la place des freteurs 7 et 6, et l'on aura, en définitive, 5X4X6X7X3. Ce dernier produit est, d'après les théorèmes déjà démontrés, équivalent au produit donné, et les facteurs y sonl disposés dans l'ordre exigé.

On verrait de même que l'on pourrait disposer dans tout autre ordre les facteurs du produit donné sans en altérer la valeur. D'où l'on conclu) 9110 la valeur d'un produit re$te la mime, quelle que soit la place que Ton assigne à set facteurs.

Mbrlettb et Hauvion ainé.

GÉOMÊTRIK KLÉMENTAIRK

PROBLÈMES SUtt LES PARALLÈLES.

407. Problème. — Par un point pris en dehors d'une droite, mener une parallèle à cette droite.

Nous donnerons deux méthodes :

4o Soient une droite AB (planche H , flg. 4) et un po nt C pris en dehors de celte droite. On veut mener par ce point C une parallèle à AB. Pour cela, par le point C on mène une ligne droite quelconque, CD par exemple, qui coupe la droite donnée AB au point D. Puis au point C et sur la ligne CD on fait l'angle DCE égal à l'angln ADC. La droite CE, ainsi obtenue, est la parallèle demandée. En effet, les deux droites AB et CE font avec la troisième CD deui angles aliernes-inlernes égaux, puisque l'angle DCE égale l'angle ADC par contruction. Or, on sait que quand deux droites font avec une troisième des angles alternes-internes égaux, elles sont parallèles. Donc les droites AB et CD sont parallèles.

1° Soient une droite AB (fig. S.) et un point C, pris en dehors de AB et par lequel ou veut mener une parallèle à cette droite. Pour cela, on mène du point C une perpendiculaire CD à AB. Remarquons en passant que la droite CD étant perpendiculaire à AB, celle dernière l'est sur CD. Puis au point C et sur la droite CD menons une perpendiculaire, CE. Je dis que CE est la parallèledemandée. En effet, les deux droites AB et CE sont deux droites perpendiculaires à CD. Mais deux droites perpendiculaires à une troisième, sont parallèle? entre elles ; donc, les deux droites AB et CE sont parallèles.

On voit que cette construction n'est qu'un cas particulier de celle qui a été donnée dans la solution précédente.

408. Problème. - Par un point pris en dehors d'une droite, en mener une seconde qui fasse atee la première un angle donné.

îSoient une droite AB(fig. 3) et un point E pris en dehors de celtedroile.On veut par ce point E me-

angle donné D. Pour cela, en un point quelcon- |ue P de la droite AB. faisons un angle égal à l'angle donné D. Soit AFG cet angle. Puis par le po:ni E menons une parallèle à la droite FG. Je dis que celle parrallèle, EH, ort la droite demandée, c'est-à-dire que l'angle AHE est égal à l'angle donné D.Eneffct,los angles AFG et AHE sont égaux commo correspondants formés par les parallèles FG et HE et la sécante AB. MaU l'angle AFG égale l'angle D par construction ; donc, l'angle AHE, qui égale l'angle AFG, est égal à l'angle D.

Indépendamment de la solution que nous venons de donner, ce problème en a une seconde. En effet, au point F on peut faire sur AB deux angles égaux a l'angle D, les angles AFG et BFG' ; par conséquent du point E on pourra mener deux droites EH et EH' respectivement parallèles à FG et FG'.

409. Problème. — Inscrire dans un angle donné une droite égale et parallèle à une droite donnée.

Soient un angle ABC (6g. 4) et une droite DE. On veut placer entre les cèles de l'angle ABC une ligne égale el parallèle à la droite DE. Pour cela prolongeons la droite DE jusqu'à ce qu'elle rencontre le côté AB, le plus éloigné do son extrémité D. Soit M le point où a lieu cette rencontre. A partir du point M el sur ME, portons une longueur MF égale à la ligne DE; puis par le point F menons une parallèle a AB. Celte parallèle coupe le côloU C au point H. Par le point H, menons une parallèle HG à la droite ME.

Je dis que cette droite GH est la droite demandée. En effet, elle est parallèle à DE. Les droites MF el GH sont égales comme parallèles comprises entre parallèles. Mais MF égale DE; donc, puisque deux quantité* égales à une troisième sont égales entre elles, la droite GH est égale à DE.

Hauvion

CHIMIE