CHAPITRE V

Principe cjénôtique des formes régulières

Rapport des formes régulières avec les formes sphériques

Le développement de l'espace par expansion centralisée se réalise par les formes sphériques, formes dans lesquelles l'intensité d'étendue autour d'un point central est égpie en tous sens. Le point central dont les diverses puissances sont les sphères de tous les ordres dimensionnels est donc équilibré et sans orientation. La ligne, l'intensité d'expansion est la même dans toutes.

En P® dimension la forme sphérique consiste dans la ligne bipolarisée et centrée : un diamètre. Dans une ligne l'intensité d'expansion est la même pour toutes les directions, directions qui se réduisent à deux. Cette ligne doit se concevoir comme un cycle fermé, parcouru par une oscillation d'aller et retour entre les deux extrémités. [\^

^En 2^ dimension,c'estle cercle : le nombre des directions linéaires devient infini, mais le diamètre primitif crée seulement de jx régions du plan. En poursuivant, on trouvera toujours un nombre infini d'orientations pour les

éléments d'ordre {n — 1) et deux seulement pour les éléments d ordre n.

Le nombre 2 apparaît donc toujours comme racine des divisions sphériques. Son rôle est encore plus manifeste dans le nombre n.

En efïetf=^-^^Y=y2+v/YTFt**** indéfiniment, et encore

« = limite 2"" V 2 — y/ 2 -}- y/ 2-\-[^2^Çf^. ind éfiniment.

Or, n est le coefiicient qui exprime l'équidistance au centre de tous les points d'une périphérie, autrement dit la rotation pure. Il indique une infinité d'orientations réalisées, avec une intensité infiniment petite, l'évanouissement des éléments rectilinéaires distincts et discontinus dans l'homogénéité et la continuité sphérique.

A l'opposé de l'expansion centralisée se trouve l'expansion orientée caractérisée par les éléments rectilinéaires. Ceux-ci OQt pour essence l'unicité et l'invariabilité de direction ; leur combinaison amène une pluralité finie de directions et une discontinuité marquée par les angles; et les angles, en même temps, ramènent indirectement à la centralisation sphérique.

L'hétérogénéité absolue entre la génération sphérique et la génération rectilinéaire ne cesse que dans l'infini. La recherche de leur commune mesure est le problème de la quadrature du cercle, problème désespérément cherché pendant des siècles. Il y a trente ans, on a enfin démontré l'impossibilité de la quadrature du cercle. Non

seulement le rapport de la circonférence au rayon est incommensurable comme l'est celui du côté du carré à sa diagonale, mais encore il n'est pas réalisable par la règle et le compas. Autrement dit, le nombre n n'est la racine d'aucune équation de degré quelconque à coefficients rationnels (réels ou imaginaires). Le nombre tt est transcendant, ainsi que le nombre e, auquel il se rattache étroitement. L'impossibilité d'une solution numérique ou graphique avait été déjà mise en lumière par la formule donnée par Wroaski, formule qui a l'avantage d'indiquer que la solution de la quadrature s'obtient dans l'infini (1). Nous étudierons ailleurs cette importante question, qui ne peut être traitée incidemment.

Laissant donc de côté cette réunion suprême dans l'infini, qui constitue la parité coronale du système spatial, édifié sur le jeu combiné des deux principes élémentaires et absolument hétérogènes, translation et rotation, nous trouvons, dans le fini, une relation qui, sans unifier les deux principes, les combine en les maintenant distincts : cette relation est réalisée par les formes régulières.

Les formes régulières représentent, à travers tous les ordres dimensionnels,l'adaptation réciproque de ces deux principes, et répondent au concours final du système spatial. Le concours final d'un système est caractérisé par l'intervention d'une influence téléologique où se manifeste l 'ingérence d 'u n principe étranger au système , et qui apporte une détermination et une finalité au sein du

(i) Formule delà quadature du cercle d'après Wrouski :

4 oo

développement indéfini et arbitraire dont les éléments sont susceptibles. Ici, ce principe étranger aux éléments géométriques, c'est le Nombre avec les qualités étroitement liées à son essence.

Les formes régulières répondent bien à l'adaptation réciproque de la rotation et de la translation. A l'unité de contour et à l'homogénéité des périphéries sphériques, elles substituent des multiplicités d'éléments hiérarchiquement distincts et répondant à chaque ordre dimensionnel (sommets, arêtes droites, plans, polyèdres, etc.), cela tout en conservant entre les éléments d'un même ordre l'équidistance à un centre unique. C'est le maximum d'hétérogénéité et de discontinuité conpatible avec l'intégrité du principe de rotation. D'autre part, dans ces figures, les intersections d'une pluralité d'éléments de translation distincts et diversement orientés sont telles^ que tous les éléments d'une même ordre sont égaux et également répartis sur la sphère, chacun conservant l'invariabilité de direction qui caractérise tout élément rectiligne. C'est le maximum d 'homogénéité et de continuité compatible avec l'intégrité du principe de translation.

[;^Les formes régulières ont donc pour essence de diviser l'homogénéité et la continuité des sphères à n dimension par des éléments rectilignes égaux dans chaque ordre dimensionnel. Or cette divisibilité possible par n'importe quel nombre d'éléments en 2® dimension se restreinte 5 espèces dans la 3«, à 6 dans la 4^, à 3 dans toutes les dimensions successives.

La centralisation autour d'un point est dono réfractaire à la division égale et indéfinie par les éléments reotilinéaires ; elle restreint la possibilité de multiplier les orientations d'étendue égales et finies et cette incompatibilité est décelée par la nature du nombre incommensurable «". Au delà de ces degrés restreints de division, la différenciation s'opère, les distinctions individuelles se multiplient, les types s'altèrent, les réductions de symétrie diminuent l'équilibre des objets et les inclinent au mouvement, et ainsi, le serpent qui enveloppe les sphères contraint les formes à sortir de l'état statique, et active la vie individuelle par les atteintes portées à l'équilibre des types.

Lois de limitation des formes régulières

Il existe, pour la possibilité des formes régulières d'un ordre dimensionnel donné, deux lois restrictives. La première, plus générale, opère la sélection entre les espèces de formes des dimensions {n — 1) susceptibles de donner des formes de la dimension n. M. Stringham ( 1) a formulé cette loi en un double principe : tout angle régulier a n

(1) V. Stringham : Regular figures in n dimensional Space (Journal 6î Mathematics, vol. III.) — V. aussi Maurice Boucher : Essai sur l'hyperespace, où se trouve exposée en détail la théorie de M. Stringham. Nous insistons ici sur les points de la théorie que M. Boucher a omis ou laissé dans l'ombre, nous référant à son ouvrage pour les parties qu'il a données dans tout leur développement.

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Fig. 3

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Apothèmes

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dimensions doit avoir, d'une part, pour enveloppes, d'autre part pour bases, des formes régulières appartenant à une des espèces existant dans la (w — P) dimension. Cela résulte de la définition même des formes régulières. On obtiendra ensuite une première sélection des formes possibles par les combinaisons 2 à 2 entre espèces de formes, une espèce étant prise pour enveloppe, l'autre pour base. Par exemple, un angle à 4 dimensions ayant pour face un tétraèdre aura forcément des arêtes se terminant soit à un trétraèdre, soit à l'un des quatre autres polyèdres. Cette loi donne, peur la 4^ dimension, une première élimination qui ne laisse subsister que 11 combinaisons ; pour la 5^ et, pour toutes les dimensions supérieures, il y a 12 combinaisons.

Cette loi n'a pas d'application dans la 3" dimension. En effet, comme il existe des polygones réguliers d'un nombre quelconque de côtés, la loi précitée permettrait de concevoir des angles polyèdres ayant pour faces ou pour bases n'importe quel polyèdre.

Pour déterminer les 5 polyèdres seuls possibles, on démontre d'abord l'équation d'Euler :

Arêtes -h 2 = Sommets + Faces, qui s'applique aux polyèdres réguliers ou irréguliers, et se démontre en juxtaposant plusieurs polygones convexes en réseau sans vide. Puis, chaque arête, étant commune à 2 faces et réunissant 2 sommets, on pose :

Arêtes + 2 = w Faces = m Sommets n étant le nombre d'arêtes circonscrivant une face, m le nombre d'arêtes rayonnant d'un sommet.

De ces équations, on tire celle-ci :

^ , ., ( du rayonnement d'un sommet (w)

Somme — Produit x , , . . . , . [

d e la circonscription d une face {n)

Fig. 4.

>^-^ R avons des^ cervies circcmscnU aux /âcest

1 i appr<X£ (?/âar

J^êyons des Spliêres ïnscrries T

' .o<^' i^èî^ jtet=-

te^ taJ^^oin TÉTRAÈDRE

H HEXAEDRE 0 OCTAEDRE D OODÉCAfOnS I ICOSAEDHE

= 4 X le quotient da rayonnement d'un sommet par le nombre total des faces F

D'autres théorèmes établissent certaines corrélations entre la nature des rayonnements et celle des circonscriptions pour les polyèdres convexes réguliers ou irréguliers (1),

La détermination des polyèdres réguliers est ainsi présentée comme un cas particulier de celle des polyèdres irréguliers. Elle possède la sûreté logique des démonstrations algébriques, mais elle masque le principe fondamental, qui provient de la nature de la sphère et du plan, principe qui est le contraste quaternaire simultané marqué par l'angle droit et caractéristique de l'espace euclidien.

Au contraire, ce principe est mis en évidence par la démonstration spéciale aux polyèdres réguliers, tirée de ce théorème: la somme des faces d'un angle polyèdre est inférieure à 4 droits. Et, comme tout angle polyèdre a au moins 3 faces, il est évident que les seuls polygones susceptibles de former des polyèdres sont ceux dont l'angle inscrit est inférieur au tiers du cercle soit à 120° ; ils donneront chacun autant de polyèdres qu'on pourra en grouper autour d'un sommet, sans atteindre 4 angles droits, le groupe étant de 3 au minimum. Les possibilités sont

(1) Voir Traité de Géométrie (ï. II, pp. io5 et suiv.)- Bouché et Comberousse.

alors 3, 4 ou 5 triangles, 3 carrés, 3 pentagones. La limite de 4 angles droits se trouverait exactement atteinte avec 4 carrés ou 3 hexagones. Ces groupements donnent des réseaux plans sans interstices.

Le principe sur lequel est fondée cette détermination a été étendu par M. Césaro (1) à tous les ordres de dimensions. Elle est pour la 4^ dimension de 8 trièdres trirectangles.

D'autre part, M. Césaro a généralisé également la démonstration qui conduit pour les polyèdres à la formule d'Euler, puis établissant, comme on le fait pour les polyèdres, certaines relations entre les nombres d'éléments constituant les rayonnements et les circonscriptions,il est parvenu,sans invoquer la loi de M. Stringha m, aux mêmes 11 cas de première élimination. Le principe du maximum des angles opère une deuxième élimination, qui ne laisse subsister comme possibles que 6 polyèdres et un réseau d'hexaèdres. M. Stringham aboutit au même résultat avec un procédé moins rigoureux peutêtre, et consistant dans cette remarque que les polyèdres formant la base d'un angle à 4 dimensions doivent s'inscrire dans une sphère à 3 dimensions de rayon inférieur à celui de la sphère à 4 dimensions dans lequel s'inscrit le polyédroïde.

Pour la 5^ dimension, ces deux auteurs aboutissent aux mêmes conclusions encore, mais chacun en suivant leurs procédés distincts. Après avoir trouvé par première élimination 30 combinaisons, M. Césaro tombe comme M.

(i) Forme poliedriche regolari et semi-regolariin tutti glispazi (i885), par Césaro.

Stringham à 1 2 cas, qui se réduisent aux 3 formes appartenant aux séries illimitées, et tous deux établissent que ces trois séries seules persistent dans les dimensions supérieures. Parmi les autres combinaisons, 3 viennent se confondre avec les précédentes, auxquelles elles sont identiques, 3 sont imaginaires, 3 enfin donnent des réseaux qui proviennent, d'après M. Césaro, du 24-édroïde, l'octaédroïde et de l'hexadécaédroïde. Enfin, M. Césaro établit qu'au delà de la 5® dimension, il n'existe plus qu'un seul réseau.

La 3® et la 5« dimension seules donnent donc 3 réseaux (qui, bien entendu, se réduisent à des figures à 2 et à 4 dimensions).

Par des procédés à peu près analogues, M. Stringham et M. Césaro construisent les 3 séries illimitées d'après les systèmes qui leur sont propres : déplacement parallèle dans la nouvelle dimension pour la série hexaédrique, axe perpendiculaire à la forme dans la nouvelle dimension, sur lequel on place un sommet pour la série tétraédrique, et deux sommets (un de chaque côté de la forme de base) pour la série octaédrique. De cette construction résultent les lois combinatoires dont M. Stringham a tiré les 3 formules binomales caractérisant un développement indéfini. Des mêmes procédés de construction, M. Stringham a déduit les formules donnant la longueur des arêtes a en fonction du rayon r^ de la sphère à n dimensions. Les voici :

Série tétraédrique a ~ r^ r~ — — car la

distance du centre d'une figure à l'un de ses sommets a

pour mesure j fois k distance d'un sommet au

au centre de l'élément opposé d'ordre—^

Série hexaédrique: (2 r,),= n al ou r, -^ autre-

y n ment dit le carré du diamètre de la sphère à n dimensions est égal à 7i fois le carré de l'arête.

Série octaédrique a = r,sj~2 puisque chaque arête est obtenue en ramenant l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les deux autres côtés sont deux rayons de la sphère an dimensions. Cette valeur v/~2 est constante à travers toutes les dimensions et persiste dans un espace ayant un nombre indéfini de dimensions.

Pour cette valeur infinie de n, l'arête devient nulle dans la série hexaédrique ; et dans k série tétraédrique eUe atteint comme valeur hmite s,' 2, valeur constante pour la série octaédrique. Ainsi, dans l'espace absolu le processus du contraste maximum successif (série tétraédrique) se résout dans celui du constraste maximum simultané (série octaédrique); tandis que le développement par translation ne peut plus rien engendrer 1 étendue étant épuisée. Cette évolution exprime clairement l'essence de l'espace: séparation et coexistence des différences, qui répond à la notion de contraste maximum simultané.

M. Jouffret (1) a construit les polyédroïdes des 3 séries illimitées et le 24-édroïdeen partant duquadrièdre

(i) V. Jouffret: Mélanges de géométrie à 4 dimensions.

droit résultant des 4 axes perpendiculaires. Ce quadrièdre a 4 arêtes, 6 faces, 4 trièdres et un tétraèdre pour couvercle. Il y a 16 quadrièdres droits autour d'un point.

Chose remarquable, il y a , en 4*"® dimension, deux degrés de perpendicularité et de parallélisme pour les plans. Deux plans absolument perpendiculaires, en 4« dimension, s'intersectent suivant un point ; c'est l'intersection de 4 espaces à 3 dimensions. Il n'y a qu'une seule droite du plan qui soit parallèle à un plan absolument parallèle au premier. — Dans le quadrièdre droit, les 6 plans se divisent en 3 couples; les plans d'un même couple sont entre eux absolument perpendiculaires; ils ne sont que simplement perpendiculaires avec les plans des autres couples. Pris 3 à 3, les demi-axes forment 4 trièdres rectangles.

Le quadrièdre droit et les bissectrices des axes fournissent 3 octaèdroïdes et 3 hexadécaédroïdes diversement situés,et la synthèse de ces polyédroïdes donne le 24-édroïde (ou icosatétraédroïde).Le longueurs des arêtes de ces divers polyédroïdes sont toutes exprimables par des nombres très simples en fonction d'une longueur unité prise sur les axes à partir du centre.L'arête des tétraèdres réguliers qui forment couvercles des quadrièdres = y/ 2 . Cette arête étant prise à son tour pour unité, il y a 96, droites de longueur =àrunité, qui sont les arêtes de l'octaédroïde et du 24-édroïde ; 72 droites = y/ 2 , arêtes de l'hexadécaédroïde (diagonale des octaèdres constitutifs du 24-édroïde) ; 96 droites = y/ 3 , diagonales des hexaèdres constitutifs de roctaédroïde;12droites =2 ou \J 4 , qui sont les grandes diagonales des octadréoïdes et du 24-édroïde.

M. Jouffret n'a pas parlé du 120 et du 600-édroïde ; M. Césaro révoque eji doute leur existence, regardant comme douteux le procédé de construction employé par M. Stringham, que voici : Il groupe aatour d'un polyèdre, pris pour base, des polyèdres de l'un quelconque des 5 types. Il amène ensuite en contact toutes les faces extérieures,grâce à la double hypothèse que les polyèdres sont élastiques, et que la 4e dimension permet ce rapprochement sans déformer les éléments à 3 dimensions. Les 3 cas où l'arête du polyèdre-enveloppe est plus longue que le rayon de la sphère inscrite au polyèdre de base donnent les 3 formes précitées.

De cette construction, M. Stringham a tiré un moyen de calculer l'arête du 24-édroïde. Elle est égale au rayon de la sphère circonscrite à 4dimensions,ainsi que celle de l'octaédroïde (série hexaédrique). Cette propriété ne se rencontre pas en 3« dimension ; en 2« eUe appartient à l'hexagone. — M. Stringham établit encore que les arêtes du 120 et du 600-édroïde sont plus courtes que celles d'un dodécaèdre inscrit, car les dodécaèdres-enveloppes sont eux-mêmes inscrits dans des sphères dont les rayons sont plus courts que le rayon de la sphère circonscrite à 4 dimensions. Il s'ensuit que ces deux formes ont (comme le dodécaèdre en 3« dimension) une arête plus courte que le rayon de la sphère circonscrite à 4 dimensions.

M. Stringham obtient le nombre des sommets de ces diverses formes par voie d'addition et opère les réduc tions qui résultent des groupements effectués. De s es trois critériums, il tire ensuite le nombre des autres éléments. Mais il n'a établi, comme pour les séries ill imitées, ni principe géométrique, ni une formule général e dont on puisse déduire immédiatement le nombre de s

éléments. Les formules que nous avons exposées pour les suites du dodécaèdre et de l'icosaèdre,sans prétendre donner l'expression complète et définitive de leur loi génétique, nous révèlent, il me semble, le principe et le mode évolutif qui régit ces suites.

Ainsi que M. Stringham lui-même le fait observer, les conditions restrictives qui limitent le nombre des formes régulières possibles à travers les n dimensions sont relatives seulement au mode de génération par rayonnement autour d'un sommet. Or, bien qu'en 3^ dimension, tous les polyèdres satisfassent à ces conditions, ils peuvent être construits par des procédés étrangers au principe fondamental. Telle, la construction de l'hexaèdre et surtout du dodécaèdre, quand on part d'un réseau de faces , et non d 'un rayonnement autour d 'un sommet ,11 est donc fort possible que, dans les dimensions supérieures on puisse générer des formes régulières par des modes autres que le rayonnement autour d'un sommet. Or les formules obtenues pour les suites de l'icosaèdre et du dodécaèdre présentent, nous l'avons vu, certains caractères qui tendent à indiquer une limitation, et d'autres, au contraire,qui se prêtent à un développement indéfini. Ces réserves faites, les limitations établies par M. Stringham conservent toute leur valeur, eu égard aux procèdes génétiques qui nous sont connus.

Enfin, le feit que les trois séries du tétraèdre, de l'hexaèdre et de l'octaèdre se prolongent indéfiniment ne prouve pas la possibilité d'un nombre illimité de dimeasions, mais seulement que, cette dernière condition étant satisfaite, l'autre s'ensuit. En effet, établir une nouvelle dimension, c'est élever une perpendiculaire commune à l'uQiversalité d'un ordre spatial. Or, la série hexaé-

drique consiste à élever autant de perpendiculaires qu'il y a de sommets dans la dimension précédente. La série du tétraèdre pose un sommet nouveau sur l'axe nouveau ; la série octaédrique en place deux (un de chaque côté). Le prolongement indéfini de ces trois séries est ainsi une conséquence, et non une preuve, du développement indéfini des dimensions.

Causes des limitations des formes régulières

Malgré la rigueur des démonstrations (sauf peut-être pour le 120 et le 600-édroïde) par lesquelles on établit quelles sont les formes régulières possibles dans les n dimensions, l'esprit demeure étonné de ce changement brusque cT^,ns les conditions de la divisibilité de l'étendue subordonnée à la centralisation ponctuelle. L'enchaînement des propositions et les transformations de formules ressemblent à des réactions chimiques qui montrent par quelles étapes s'opèrent les combinaisons, sans renseigner sur l'essence des affinités qui les provoquent. Les preuves mathématiques apportent plus souvent l'affirmation certaine d'une nécessité qu'elles ne dévoilent le fondement essentiel de cette nécessité. Elles montrent la nécessité comme résultant d'un concours de circonstances restrictives de la possibilité ; mais l'esprit se demande encore comment le groupement des, circonstances aboutit à uno synthèse typique, évocatrice d'une essence causale et d'une finalité caractéristique. Il y a donc quelque chose à découvrir par delà le fait purement mathématique ; la source des lois qui commencent à agir sur la quantité, à partir d'un certain ordre ou d'un certain point.

IVIEÎSTUlFiEiS I3E:S