CHAPITRE IV

Les NomlDres dans les formes

régulières des quatre

premières dimensions

Le dodécaèdre et l'icosaèdre, par leur origine dans la moyenne raison et leur lien avec l'individualisation sont les prototypes de la finalité définie ; ils montrent la tendance de l'être à chercher la réalisation la plus parfaite de sa propre nature ; ils dévoilent dans le quaternaire cosmique la neutralisation qui résout l'antinomie des Principes universels avec la Réalisation individuelle.

Les polyèdres et les formes régulières, mieux que toutes autres, manifestent en mode spatial la combinaison de ^universel et de l'individuel. Ils ont une homogénéité due à l'égalité des éléments, cette homogénéité n'est que relative et composée par des éléments distincts hiérarchisés, subdivisés.

La relation de ces formes avec les intervalles musicaux ccnfijme encore le caractère de finalité et de limitation manifestée par les suites de l'icosaèdre et du dodécaèdre,— En effet, 12, 30, 20 sont les rapports vibratoires de l'accord parfait majeur dans son ordre génétique, la

quinte étant inférieure à la tierce. C'est uti mU soli . — 120, 720, 1200, 600 (soit 1, 6, 10, 5) ; c'est encore l'accord parfait majeur avec doublement de la tierce et refoulement de la tonique à l'octave iîiférieure. C'est wf, sol mii mit, position plus ouverte qu'en 3« dimension mais présentant un mouvement de retour de la tierce vers la tonique. Les séries tétraédrique, hexaédrique, octaédrique (dans les premières dimensions) ne font que présenter des rapports de quinte ; la tierce n'y apparaît pas. Or les quintes empêchsnt toute fixation de tonalité et tendent vers une progression indéfinie. La tierce, au contraire, établit immédiatement une tonalité et un mode ; elle caractérise un type défini.

Le Quaternaire et rindivîdualisation

Les formules relatives à la 3» dimension convergent autour du quaternaire. Le terme moyen (arêtes) y est manifesté par la relation directe de 3 et de 5 sous forme de produit et en même temps sou3 forme de différence ; 4 n'y apparaît pas ; mais il est la moyenne arithmétique de la différence (3 — 5) (qui est précisément égale à la racine de 4) et le centre autour duquel gravite cette construction.

La structure des termes extrêmes (sommets et faces) donne encore 4 comme facteur commun, et le montre constitué au moyen du 3 et du 5 provenant du produit des racines des équations de la moyenne raison. Cette double convergence du ternaire et du quinaire vers le quaternaire est du plus haut intérêt, et ainsi l'icosaèdre et le dodécaèdre apparaissent comme des pantacles d'une loi profonde et hautement métaphj'^sique.

Le 4 obtenu par (5 — 1) répond à la synthèse des deux solutions réelles de la moyenne et extrême raison. Or, nous l'avons vu, l'expression métaphysique de cet algorithme est V équivalence synthétique - et pleinement unifiée de la différenciation spéciale à un individu. La solution par défaut exprime un élagage de tout ce qui excède la portion de l'être susceptible d'unification parfaite et typique ; la solution par excès exprime l'accession du complément nécessaire pour que l'être réahse pleinement le type intégral dont il n'est qu'un fragment. Le quaternaire apparaît donc p.insi comme la résultante de ces deux tendances élimina trices de l'accident dans la substance.

Or le nombre 5 et la lettre hébraïque] | {hé), qui lui correspond, ont été considérés par les anciens comme le nombre et la lettre de la Vie.

Ce caractère ressort de l'influence du nombre 5 au scia du quaternaire dimensionnel, de la polarisation spatiale ; l'accession d'une 5® unité détermine une orienta^tion choisie, l'iiîdividualisation, la direction définie, au sein de l'universalité ordonnée et fixée par le quaternaire. C'est la vie au milieu des 4 éléments.

Les formations cristallines, qui correspondent aux distributions de la matière dans un milieu stable,peuvent toutes être ramenées à des altérations de la forme cubique ou à des troncatures de la forme octaédrique, fermes typiques du quaternaire dimensionnel basé sur les contrastes maximum simultanés. Au contraire, la forme tétraédrique, qui ne se rencontre que dans des cas d'hémiédrie, et les formes dodécaédriques et icosaédriques ne sont qu'approchées. Par contre, ainsi que 1'?^ remarqué M.deL8ppartnt,la symétrie quinaire, qui fait

complètement défaut aux cristaux, est très abondante chez les végétaux et chez les animaux.

Constatons en outre le voisinage de l'expression y/T(v/ 5 — l) = 2,72393 et du nombre transcendant e = 2,71828, qui exprime, ainsi que nous le verrons, le principe du développement de la vie. 5 représente particulièrement la vie réalisée dans l'univers par l'individualisation. : ['iîr^K^ Individualiser, c'est particulariser, et toute particularisation introduit toujours quelque peu l'accidentel. Le type pur n'est qu'un idéal, jamais réalisé par ] 'individuel. L'algorithme de moyenne et extrême raison tend à rétablir l'équilibre et à conserver le type idéal à travers l'expansion individuelle. Il donne la formule mathématique d'un principe qui domine toute l'évolution des espèces organiques et inorganiques, principe dont la loi approchée et relative des proportions définies en chimie est un cas particulier, principe en vertu duquel les variations spécifiques des animaux et des végétaux sont limitées, et qui, sans contredire en rien l'origine commune des espèces et leur plasticité originaire tend à différencier des espèces séparées, et à les fixer, assigne des limites aux écarts morphologiques autour du type, restreint la fécondité des métis, établit la corrélation des organes et des fonctions, etc.

Or le développement de ce principe répond au nombre 4 dans le domaine où toutes les quantités sont réalisées,et où on a dépassé 1? région des virtualités, marquées par les racines et les nombres incommensura -

blés.

4 obtenu par (34-1) répond à la synthèse des denx solutions imaginaires de la moyenne et extrême raison. Ici, la quantité à partager est négative ; eUe n'est pas un carré véritable, mais le produit d'une somme par une difEérence. Son origine ne vient pas d'un principe d'existence potentialisé et que fait éclore son germe. Cette quantité est, au contraire, une résultante de neutralisation partielle, qui consiste à accroître l'élément commun (partie réeUe) de l'apport des deux éléments opposés (parties imaginaires conjuguées). Ceci nous révèle toute une catégorie d'existence qui doivent provenir, non plus d'un principe interne et prcpre de développement, mais de la neutralisation de tendances idéales, se réouisant et se projetant dans l'ordre réel pour s'y réaliser dans la mesure du possible. Les solutions imaginaires sont ainsi la représentation plus ou moins réduite de types idéaux dont la réalisation parfaite déborde les possibilités ouvertes par le champ d'existence considéré. Les individualités de ce champ ne sont alors que des abstractions d'un mode d'existence plus concret. A ce groupe se rattache peut-être nombre d'espèces minérales, organiques et psychiques.

Il est parfaitement possible que la difficulté de tirer au clair la genèse des espèces, et les désaccords sur cette question tiennent à l'impossibilité d'assigner une même genèse à toutes les espèces : les unes provenant des énergies propres de notre sphère terrestre, dont elles manifestent le développement normal, les autres résultant d'un conflit et d'une combinaison de forces qui viennent d'ailleurs. On se trouve en présence de deux modes de réalisation différents, l'un par développement d'une force intérieure, l'autre par neutralisation de

forces extérieures ; et il semble que bien des controverses scientifiques s'éclairciraient,si, au lieu de vouloir ramener la production des choses exclusivement à l'un ou à l'autre de ces principes,on admettait leur coexistence. Il doit y avoir en outre certains êtres qui sont le fruit de la combinaison de ces deux principes, et il est probable que la majorité des types très différenciés et très complexes rentre dans cette catégorie Cela expliquerait en partie les difficultés qu'on éprouve à établir les origines et à donner des définitions rationnelles. Les solutions imaginaires de la moyenne raison sont en même temps les racines cubiques imaginaires de l'unité ; et par là se manifeste la concordance du monde des idées avec la ternaire. La racine imagninaire de 3 apparaît dans ces formules comme exprimant la source du mode universel. Les solutions imaginaires de la moyenne et extrême raison semblent donc exprimer les cas où un type donné n'est pas complètement réalisable en modes individuels dans la sphère d'existence considérée, mais fournit seulement des applications particulières et symboliques d'un principe universel.

Le partage en moyenne et extrême raison donne encore une concordance des plus remarquables. Cherchons deux nombres tels que leur produit, leur différence,la différence de leurs carrés (ou,ce qui revient au même, le produit de leur somme par leur différence), soient trois quantités égales. Ces deux nombres sont les deux parties de l'unité, divisée en moyenne et extrême raison (solutions réelles). En effet, soit x et y, ces 2 nom-

bres. Il faut que leurs valeura satisfassent aux égalités suivantes :

xy = x — y = x^ — y* = {x -{-y) {x — y).

Divisons par a; — y l'équation x — y = {x +y){x — y), on obtient (x 4- y) = 1, d'où y = \ — x.

Substituant cette valeur dans l'équation x — y = xy^ on a X — 1 i- X =x (1 — x), d'où 2 x — 1 =x — a;* et

x^ -\- X — 1 = 0, ce qui est l'équation de la moyenne raison.

Ainsi, ce partage remaïquable, opéré au sein de

l'individu, crée l'égalité de valeur entre trois relations

très importantes qu'offrent deux quantités. N'est-ce

pas là le signe de l'épuration et de l'équilibre le plus

parfait sous lequel puisse se. présenter un être soumis

,,, . , , ,.,, —1 +v/5 3 + >^T a 1 empire de la quantité, x = =^-^ — y = — =^

Le résultat commun aux 3 opérations est — 2 + y/ 5, Cherchons maintenant les nombres satisfaisant aux

mêmes concordances, sauf la substitution de la somme

à la différence (1), de telle sorte que l'on ait a; y = x -\- y

Les solutions sont les mêmes, sauf les changements de

signe et la substitution de a: à y. On a alors y = {x — 1) et

l'équation a:* — 3 a; + 1 = 0, d'où a;=— H" y - — 1

= ~ — jet?/ = -^ — Le résultat commun aux

3 opérations est alors 2 + V^ 5.

(1) Ce problème intéressant est traité par de Montferrier. (Encyclopédie mathématique, T. II.)

Ainsi, ces deux problèmes donnent pour solutions les deux parties de l'unité divisée en moyenne et extrême

raison. La quantité ^ = 2(sin. 9° -|- cos. 9°)

(corde et apothème de l'angle inscrit du pentagone

étoile ; la quantité --î^ — = 2 (sin. 27° — cos. 27°)

(corde et apothème du 14 angle inscrit du pentagone convexe).

Le second problème substitue une relation de somme à une relation de différence, et il se résout encore par la moyenne et extrême raison en renversant simplement le rôle des termes. La réunion de ces deux problèmes montre la connexion de la moyenne raison avec la libration d'un nombre entre les deux nombres entiers voisins. Cette double libration intervient dans toute la genèse des formes des suites icosaédriques et dodécaédriques. Nous en étudierons tout à l'heure l'essence.

Remarquons auparavant les quantités ( y' — )•

~ — 1 représentant le segment complémentaire de l'extrême raison. Le produit des numérateurs donne 3* — 5 = 4. et découvre une nouvelle genèse du quaternaire.il est obtenu ici comme résidu de l'extraction du principe de vie individualisée, tirée de l'épanouissement des Principes (3^= 9) exprimé par le Chœur des anges. La nature quaternaire et l'individualité dont l'homme est le prototype apparaissent ainsi comme les deux parties complémentaires incluses dans l'épanouissement céleste du ternaire. Le Chœur angélique semble

se révêler comme la réunion de la nature et de la vie, entrelacés mais non fondus ensemble.

L'expression 3* — 5 = (3 + /y) (3 — V^T) montre comment s'opère cette extraction du quaternaire. Les 2 facteurs représentent le germe de l'individualité \/~5 , se liant (+) et se séparant ( — ) des principes, le premier exprimant la tendance à l'objectivité, le second la tendance à la subjectivité. Le quaternaire résulte ici de la sjmtlièse de ces deux librations, et se manifeste comme un résidu dans le monde archétype, irradié du ternaire dont on a extrait l'individualité.

Cette relation trouve dans la géométrie une représentation très suggestive. Divisons un carré en 9 petits carrés égaux. Enlevons les 4 carrés des angles (fig. 1) ' une croix grecque reste constituée avec 5 carrés juxtaposés par le côté. Enlevons encore le carré central (jfig. 2):

ce sont à leur tour les 5 carrés enlevés qui donnent une croix grecque, mais ici l'orientation est inclinée à 45°, et les carrés s'opposent par les sommets. Ces deux formes de la croix se rencontrent dans l'art de toutes les époques. On voit les symboles profonds cachés sous ces

figures enfantines et les différences de conditions auxquelles doivent répondre ces deux croix : l'une, droite, pleine de cohésion, ayant 12 angles dent 4 rentrants, l'autre, à direction oblique, reliée seu]ement par les axes et présentant 20 angles dont 8 rentrants.

Le processus complémentaire de l'opération 3 — 5 consisterait dans l'extraction du quaternaire, soit 3' — 4 = 5, qui peut s'écrire 3' — 2' = (3 + 2) (3 — 2) = 5x1=5. Ici, l'individualité et l'unité sont mises en évidence comme les deux pôles opposés entre lesquels oscille le ternaire.

La contre-partie de ces opérations donne 3^ + 2^ = 13, et fait apparaître le nombre qui, dans le Tarot, exprime la mort ou plutôt la transmigration, et l'émancipation du cycle duodénaire. Ici, 13 apparaît comme le quaternaire juxtaposé extérieurement au monde archétype et s'y accolant comme un appendice. Cette opération implique des racines imaginaires.

Il en serait de même pour l'opération 3' -1- 5 = 14 par (3 + y/ — 5) (3 — y/— 5) et amenant le double septénaire.

La Décade

La série des facteurs qui permet d'obtenir les sommets des formes à 3 et 4 dimensions manifeste une loi évidente. Mais il faut découvrir comment elle se développe.

Le nombre 10 sous la forme 3^-1-1 est le produit des facteurs(3 + V' — ^)> ^^^ ®^^* ^^^ racines de l'équation x^ — 6 £c — 10 = 0. Dans cette équation, 6 représente (changé de signe) la somme des racines. Les deux nombres 6 et 10 répendent l'un à la section méri-

dienne, l'autre à la section équatoriale de l'icosaèdre. 6 est le 3e des nombres sommes ; 10 est le 3« des nombres triangulaires, et l'on voit le rapport de ce nombre avec une genèse tétraédrique.

La quantité complexe (3 + V^ — ^^ ®^^ ^^^ ^^ contre-partie de celle qui nous a donné le facteur 4 pour la 3e dimension au moyen des racines imaginaires (1 + \/ — 3) de l'équation de la moyenne raison. On passe de l'expression (1 + V^ — ^) ^ l'expression (3+ y/ — 1) sn échangeant les valeurs numériques de leurs 2 éléments. L'expression (1 + S/ — ^) indiquait un élément réel ajouté à trois éléments imaginaires ; ici, c'est trois éléments réels combinés à un élément imaginaire. Comme le terme réel doit répondre à un élément appartenant à une certaine dimension et le terme imaginaire à une autre dimension, chacune des racines (3 + y/ — 1) exprime une rotation à angle droit par rapport à la face triangulaire de l'icosaèdre ; elle indique un tétraèdre dont le 4^ sommet est dans la 4^ dimension. Le double signe du radical (+ y — 1) montre que ce processus se réalise des deux côtés de la 3^ dimension, comme dans la série octaédrique.

10 apparaît ici comme un renversement de 4 par échange à la fois de la partie imaginaire avec la partie réelle de la V^ puissance avec la puissa.nce Y-y (racine carrée). L'expression (1 + \/ — ^^ révèle une unité à r8>cines multiples plongeant dans le virtuel : l'expression (3 + y/ — 1), une triplicité réelle à racine virtuelle unique.

La contre-partie manifestée par ces expressions paraît indiquer que l'algorithme est ainsi complètement épuisé, et leur application aux formes réguhères expli-

quer que la suite de l'icosaèdre est close avec le 600péroïde. La forme à 4 dimensions apparaît ici comme un épanouissement ; celle à 3 dimensions comme une condensation, et toutes deux se font équilibre, comme les deux temps d'une vibration. C'est peut-être la cristallisation géométrique de la relation qui existe entre les corps et les forces physiques : les corps atomiques correspondent aux phases condensatrices ; les forces : lumière, électricité, chaleur, son, etc., aux phases expansives des vibrations profondes de la vie du kosmos .

Le processus qui fournit les 4 et 10 par (3 -f-1). (3^+1) pourrait s'envisager, non plus comme contre-partie de deux expressions radicales, mais comme termes d'une série qui donnerait les sommets de la suite icosaédrique. On aurait alors :

Le terme suivant pourrait être (3'H-l)=28 = 4x 7 donnant pour la 5® dimension 3.360 sommets. Mais ce nombre n'est plus égal à la somme des puissances consécutives de 3. Pour obtenir la continuation de cette loi, il faut dans les nouveaux facteurs faire croître les exposants de 3 suivant les puissances de 2. Alors, pour la 5e dimension, ce sera le facteur (3*+ 1) et non (3' -|- 1) qui fera suite à (3 + 1). Cela donne 9.840 sommets avec 3 (3+ 1 (3*+l (3*+l) = 120 + 82 =

Or, le nombre 82 est le produit des racines de l'équation x' — 2 x 3'a;+(3*+l) =0 racines qui sont (S'-t-v/^L)

n est fort probable que cette série illimitée correspond à des manifestations géométriques dans les dimensions supérieures à la 4^, qui consistent sans doute en distributions de points régulièrement espacés, mais cessant d'être équidistants des formes sphériques correspondant à leur ordre dimensionnel.

Le 120-édroïde procède aussi du quaternaire ; il hérite de 4 dans 12 et 20; pour les sommets, le nouveau facteur intervenant est 10. Nous voilà donc conduit à la relation, jugée si importante par les pythagoriciens, entre la tétrade et la décade. Or nous avons obtenu ce nombre 10 en renversant les radicaux et les imaginaires, par la transformation de (l+ y/ — §) en (3 -f- y/ — i).

Dans la l'« formule, l'unité est réelle, manifeste, c'est l'individualisation effective ; elle s'adjoint ou s'oppose le ternaire des principes sous forme de potentialité virtuelle, irréalisée, non éclose, en germe. Dans la 2% la réalisation est triple, l'unité est virtuelle : c'est le renversement de la réalisation transportée de l'individuel à l'universel qui se trouve réalisé exphcitement. On entrevoit quels mystères profonds transpercent à travers les hiéroglyphes inconscients que nous en traçons par les formules mathématiques. On pressent là certaines lumières cachées, relativement à la Trinité des personnes divines et à l'Unité de substance et d'essence; et il est très curieux de voir que c'est par la combinaison de

la somme par la différence de ces deux polarités interverties que l'on obtient dans un cas le quaternaire, dans l'autre, la décade, qui est considérée dans l'ésotérisme comme la plénitude de l'être dont l'état quaternaire représente la réalisation élémentaire.

Cette genèse du nombre 10 est plus soudaine, plus directe que celle qui procède par addition des 4 premiers nombres. Ce dernier procédé paraît être l'imitation imparfaite par la superposition et l'agglomération matérielle d'une projection immédiate et spirituelle. Ce serait au mode de retournement des racines et de la caractéristique imaginaire que se rattacherait plutôt la formation des 120 sommets du 120-édroïde. Cela expliquerait l'achèvement du processus avec les 120 sommets du 600-édroïde et dans la 4^ dimension, tandis qu'en considérant 10 comme la somme des 4 premiers nombres, on pourrait continuer.

Trente, et la libration individuelle

La formation des 600 sommets du 120 édroïde par 20 X 30, soit par (5" — 5) (5* + 5) est la continuation du processus (5 — y/ 5 ) (5 + y' 5 ) = 20, qui est celui des pentagones inscrits, et qui se rattache à la moyenne raison réciproque. Le facteur 30 proviendra alors de l'introduction de la caractéristique imaginaire appliquée à l'un des deux termes des parenthèses, mais plus vraisemblablement au radical. En effet, les expressions (5 y/ — 1 ib y/ ^ ) ^® peuvent s'obtenir sans faire appel à une intervention étrangère à l'algorithme, car si 5 et y/ 5 ont même origine, la racine réelle de 5 ne

psut donner un ce.vvé imaginaire. Il est donc plus normal d'aitecter la caractéristique imaginaire au terme de puissance inférieure. On aura alors les expressions (o + 'y/ — 5 ), qui sont les racines de l'équation x^ — 10 .-c + 30 = 0.

Les expressions de la forme (5 -j- y 5 ),(5' -j^ 5), etc. expriment la somme et la différence d'une quantité avec sa racine. Elles traduisent l'oscillation entre une individualisé et sa racine carrée, entre un degré d'être et le degré immédie.tement inférieur qui lui a servi de garnie. Elles manifestent la tendance d'un être à s'?.djoindre son germe ou à l'extraire de soi pour s'en alléger. Ces expressions peuvent être mises sous la forme y/ 5 (y/ 5 + l), 5 (5 -£ 1), . etc. Cela met en évidence le germe et indique l'opération avant son accomplissement. L'expression a.pparaît alors comme l'opération (par nombre entier) la plus voisine de l'élé- . vation au carré, C'est la moyenne proportionnelle entre deux quantités voisines. Si donc on considère les nombres entiers (ce qu'ils sont en ejïet) comme les points d'arrêts naturels sur lesquels une évolution tend à se reposer, on voit que les produits de deux nombres consécutif s représentent encore les combinaisons de facteurs différents les plus voisines de la graduation. Et comme, pour un produit constant, la somme des facteurs est minimum quand les facteurs sont égaux, le cas envisagé ici représente le résultat le plus approché de la graduation avec le minimum de quantité employée. On voit encore que le. graduation, par rapport à la sommation (pour les nombres plus grands que l'unité), substitue de l'énergie cpératoire à l'intensité des matériaux employés.

Ainsi, les produits de deux nombres voisins répondent à une finalité du même genre que la moyenne et extrême raison. La moyenne et extrême raison représente la moyenne géométrique tirée du sein de l'être lui-même. Ici, la moyenne géométrique est tirée de la relation de l'être avec ce qui lui tient de plus près, son germe. On voit de plus que les quantités de la forme a^ ^a représentent une moitié (non comme quantité,mais comme composition d'éléments) de l'équation c^ -{^ clx — x'^ de la moyenne et extrême raison,équation qui manifeste la symétrie la plus pure entre deux quantités formant une équation du second degré.

Les quantités de la forme a + s/ a sont ainsi comme l'un des deux brasdu levier,dont l'équation de la moyenne et extrême raison traduit l'équilibre. Or, comme la moyenne et extrême raison, dans sa forme réelle, est liée à y/5, il n'est pas étonnant que ce soit à propos du nombre 5 que nous trouvions développé l'algorithme de la forme a + sj a (ou plus généralement ) (a'" + a").

Le produit des deux formes (a* -f- \/ a ) (a* — \/ a ) = a' — a figure dans la suite dodécaédrique des sommets. De cette combinaison sortent les nombres 20 et 30 qui représentent les oscillations minimum par excès et par défaut autour du carré de 5, quand ce nombre est regardé comme unité indivisible. Or c'est bien là le caractère de l'individualité, qui s'unifie le plus qu'elle peut en s'élevant. — La combinaison des deux librations par excès et par défaut montre donc l'oscillation minimum produite par l'être autour de sa finalité réprésentée par son élévation au carré. C'est la différenciation minimum imposée par le

nouveau milieu dans lequel il pénètre. Ici, il n'oscille plus entre ses deux moyennes raisons, qui représentent les deux type entre lesquels tout individu est suspendu. C'est entre son germe et lui-même que se produit la libration. Le germe figure dans l'expression positive comme le cordon ombilical auquel l'individu est supendu ; dans l'expression négative, comme l'ombilic cicatrisé laissant une dépression au sein de l'individu.— Ce symbolisme ne doit pas être limité au corps organique ; il doit s'étendre à toutes les enceintes individuelles relatives aux fonctions psychiques, ethaiques, individuelles, et, en particulier, à toute la sensibilité, qui fonctionne tantôt passivement en soumettant l'individu à l'empreinte des agents extérieurs, tantôt activement comme l'apport dynamique qui étend l'empire de l'individu sur le monde extérieur.

Mais les mathématiques révèlent encore une loi métaphysique en montrant que le produit des deux oscillations autour du type, exprimées par (a-|-\/ a )(« — V ^ ) donne un produit moindre que l'élévation pure et simple au carré. C'est l'application du théorème démontrant que le produit de plusieurs quantités à somme constante est maximum quand elles sont égales.

Pour obtenir des quantités de la forme (5 + yô). (5* -h 5), etc., il faut faire appel aux racines imaginaires. De plus, comme les quantités de la forme (5* — 5), (5' — 5') résultent des produits (5 + y/ 5) (5 — V^~5), (5* -h 5) (5* — 5), le facteur positif, celui de la libration additive à l'individu, a pour

provenance des racines imaginaires; et c'est par les racines imaginaires que la moyenne et extrême raison a formé le quaternaire au moyen des racines de 3. — Donc,lalibration de l'individu en dehors de lui-même, (celle par laquelle il s'ajoute à son germe), met en lumière, comme on pouvait s'y attendre, l'ingérence de forces n'émanapit pas de l'individu, mais puisées au dehors. Là se manifeste la condensation, dans le réel, des virtualités, et pour ainsi dire des désirs, qui ont provoqué la génération.

Ici est écrit ce principe que, pour effectuer l'évolution qui donne accès sur un plan supérieur, l'individu ne peut pas se contenter de ses forces propres, mais qu'il doit se rattacher à ses progéniteurs et se servir de leur aide. L'oubli de cette loi est cause de l'échec des révolutions, toutes amenées par une aspiration normale et raisonnable, mais viciées par leur rupture avec les éléments traditionnels et par la présomption à tirer des seules ressources des individus les énergies nécessaires pour réaliser les fins de l'humanité. C'est encore l'oubli de cette loi qui jette les explications évolutionnistes da,ns d'inextricables difficultés, en leur faisant rejeter l'élément involutif indispensable pour équilibrer l'évolution et la rendre effective. C'est ce facteur idéal, virtuel, irréel par rapport au plan physique, mais existant et agissant, qui rend efficace la finalité impliquée dans toute évolution pour l'orienter, finalité à laquelle les transformistes refusent toute existence,bien qu'ils l'invoquent sans cesse d'une manière plus ou moins détournée pour expliquer la sélection et le progrès.

Ce complément dont l'origine est exprimée mathématiquement par les quantités imaginaires est l'idéal

conçu inévitablement, par réaction du retranchement imposé à l'individu dans son adaptation à des condition données. Par le seul fait que l'être tel qu'il est n'est pas complet, et qu'il sent, d'une manière plus ou moins consciente, une aspiration vers un état défini qui doit le saturer, on ne peut refuser l'existence effective à ce complément dans un autre milieu.

Si les types n'avaient d'existence que dans les réalisations individuelles définies par les circonstances, le désir, l'aspiration, le besoin d'un autre état serait inconcevable; les êtres seraient parfaits tels qu'ils sont, et le mal serait une notion inintelligible. D'autre part, si le type pur capable de satisfaire pleinement les individualités n'existait pas en soi, et si, nulle part n'existait le complément des" individualités plus ou moins tronquées, comment s'expliquer l'orientation du désir, l'instinct et l'afiinité ? Il y aurait des changements perpétuels s'annulant sans cesse et de perpétuels et stériles recommencements : c'est là le chaos. Expliquer le progrès de l'évolution par des hasards heureux, ps,r les rencontres excaptionnelles et purement fortuites des conditions convenables, c'est simplement reculer la difficulté ; car il faut expliquer alors pourquoi certains concours de circonstances jouissent du privilège d'amener le progrès. On reporte la sélection dans le milieu pour l'expliquer dans les individus, mais le problème reste le même. Il est insoluble si l'on rejette toute finaHté ; et cette finahté n'est possible que si la fin préexiste,en quelque manière, à son accomplissement par l'être qui doit y parvenir.

L'algorithme de 1?. moyenne et extrême raison nous montre l'individu se créant deux pôles, l'un d'intériorisation, l'autre d'extériorisation, qui tous deux expriment les conditions les plus pures de son type.

L'algorithme des produits d'un nombre avec les deux nombres voisins indique une iudépendance moins grande, une adaptation avec le voisinage, la formation de deux zones, l'une en dedans, l'autre en dehors des limites de l'être et ayant pour bornes les arrêts normaux marqués par les nombres entiers voisins.

Les librations positives proviennent forcément de facteurs ayant, l'un des éléments imaginaires, l'autre réels des éléments. L'imaginaire affectée au terme de plus basse puissance, exprimerait la relation entre un germe virtuel et une éclosion réelle. Affectée au terme de plus haute puissance, elle indiquera une relation entre un germe réel et une éclosion virtuelle. Mais, en ce cas, la caractéristique imaginaire ne peut provenir que d'un coefficient d'origine indépendante, et par là s'affirme la nécessité d'une inspiration pour toute production idéale par la nature, et l'impossibilité de passer par le seul développement physique à la genèse de l'idée.

Le processus de ces expressions imaginaires est forcément limité, car la caractéristique imaginaire doit disparaître avec le carré de \/ — 5. Par conséquent, le facteur (5* + 5) sera le terme le plus élevé de la série, et cela correspond au produit (5* — 5) (5*+ 5) =5* — 5 = 600, nombre des sommets du 120-édroïde.

Faut-il inférer de là qu'il existe seulement 4 degrés hiérarchiques possibles dans les conditions d'existence individuelle et centralisatrice dont les formes réguUères

donnent le schéma abstr&it ? Ce schéma est vraisemblablement la manifestation élémentaire des possibilités ouvertes à la vie physique, puisqu'il correspond aux propriétés de l'espace qui figurent parmi les conditions fondamentales de cette vie. Ces 4 degrés répondent peut-être aux 4 règnes : minéral, végétal, animal et hominal,

On peut former 30 sans recourir immédiatement à des racines imaginaires de 5 en le construisant par (5 -j- 1).A lors, c'est 6 qui apparaît comme formé par une quantité imaginaire qui peut être y/ — i, laissant 5 demeurer réel. Cette forme répond assez à la distribution des sommets de l'icosaèdre formant deux pyramides à base pentagonale. A ce titre, il formerait la contrepartie de 20 formé par 5 (5 — 1), c'est-à-dire au moyen des racines de la moyenne et extrême raison.

Les facteurs {5 -{- 1), (5 — 1) manifesteraient alors la libration opéiée entre l'individu et l'unité immédiatement voisine. Or, cet algorithme va se hmiter immédia temejit du côté positif. On peut avoir (5* — 1) = 24, mais non (5* -f- 1) = 26, car la caractéristique imaginaire, ayant disparu avec le carré de y/ — 1 ,ne peut plus reparaître dans les puissances paires de cette quantité. Le nombre (5* -\- l) = 2Q n'a aucune application dans îa genèse d,es formes légulières. Par contre, c'est le nombre qu3 la kabbale assigne au Tétragramme, mais elle le forme alors par 10 + '5 -|- 6 + 5, Notons cependant que la forme (5* -|- 1) = 26 est pour le 5 l'analogue de (3* + 1) = 10 pour le 3 : il exprime peut-être,par rapport au principe de vie individuelle souveraine, la manifestation absolue et complète.

Vingt-quatre et l'Harmonie

La formation des 600 sommets du 120-édroïde par 24 X 5,soit par 5* (5* — l),est la continuation du processus 5 (5 — 1), qui est celui des moyennes raisons en fonction d'une unité intermédiaire, et qui procède de décagones inscrits. Le facteur 24 = (5* — 1) peut so concevoir suivant la loi précédemment observée comme produit de la somme par la différence (5 + 1), soit 4x6. Cette expression donne les racines de l'équation y' — 10 2/ + 24 ^ 0, équation remarquable par le lien qui existe entre ses coefficients : 10, somme des racines est la somme des 4 premiers nombres ; 24, produit des racines, est le produit des 4 premiers nombres.

Cette équation ne donne pas une moyenne raison, mais quelque chose qui en est parent. On n'y extrait pas le ca.rré parfait d'une individualité; on extrait le carré du lien existant entre la sommation et la reproduction des 4 premiers nombres, et le quaternaire apparaît ici, non comme le résultat, mais comme le substratum de l'opération. Ici, la sommation et la reproduction des mêmes 4 premiers nombres jouent respectivement les rôles que jouaient la première et la 2^ puissance de 2 dans la moyenne raison.

Oî- la sommation, c'est l'agrégatioa, la juxtaposition ; la reproduction, c'est la combinaison, la génération par sexualité, etc. et l'on conçoit que ce dernier mode représente un degré hiérarchique plus élevé que le premier. L'algorithme reproduction est en effet une sommation perfectionnée, simplifiée : il substitue un

acte différencié et qualifié unique à une répétition d'r.ctes ideatiques. Et de même, la génération sexuelle est une abréviation de la reproduction par bourgeonxiement.

L'ensemble des deux facteurs 24 = (5' — 1), et 10 = (3^ + 1), qui interviennent en 4^ dimension, montre, p?,r rapport aux secondes puissances de 5 et de 3, une libration divergente, tandis que les deux facteurs

4 =(5 — 1),4 =(3-[-l) qui interviennent en 3« dimension, faisaient converger le 5 et le 3. La 4« dimeasion représente ainsi une libration en sens inverse de celle opérée en 3^ dimension.En 3^ dimension, le quaternaire p.ppara.ît comme le point de concours du ternaire et de quinaire, comme l'union des principes universels avec la détermination individuelle au moyen de l'équilibre kosmique. En 4^ dimension, le ca.rré de 3 et le carré de

5 s'éloignent l'uîi de l'autre, et leur libra,tion jusqu'à l'unité voisine réalise le quaternaire sous le mode nouveau que nous venons de voir.Ce n'est plus le quaternaire élémentaire du nombre 4, mais la synthèse hiérarchique des 4 degrés, d'une part superposés en sommation, d'autre part combinés en graduation. Ici, l'identification entre le 3 et le 5 s'opère encore,non plus dans le résultat, mais dans la norme appliquée aux deux seuls modes de génération de la quantité qui unissent des éléments hétérogènes. (La graduation demeure en dehors, comme opérant sur une base unique.)

Ainsi, les deux principes du ternaire et du quinaire parachèvent ici le cycle quaternaire en le réalisant

par expansion et divergence,etcià.ns son épaîiouissement le plus complet. Le facteur 10 x 24, multiplié d'une part par 3, de l'autre par 5, donne les éléments intermédiaires (arêtes, faces) des formes à 4 dimensions. Isolément, le 10 et le 24 interviennent chacun dans l'un des éléments extrêmes. 24 est, nous l'avons déjà vu, la synthèse de toutes les combinaisons de contrastes successifs et simultanés sous les formes 4 x 6 et 3 x 8, Le 24édroïdenous a donné ce nombre comme exprimant le summum du quaternaire par la 4^ factorielle ( t X 2 X 3x4). Dans le 120-édroïde, il forme les 600 sommets en se combinant à 5*, et donne la formule 5* (5* — 1), qui fait suite à 5(5 — 1) ; i] indique le renouvellement de la relation de la vie individuelle avec le quaternaire ; mais ici, l'individu est parvenu à un stade supérieur d'existence (son carré), et le quaternaire est pleinement épanoui dans son union avec la Beauté. On pourrait traduire ce symbole ainsi : la combinaison de l'individualité pleinement consciente et Tnaîtresse de toutes ses énergies avec le kosmos développant son harmonie complète. Science et Beauté se pénétrant et unies à leur tour à la plénitude de l'autonomie consciente.

Dans le 24-édroïde, 24 se manifestait comme la synthèse des contrastes simultanés et successifs groupés deux à deux. Les expressions (5 — 1) (5 -)- 1) équivalentes à l'un de ces groupements, celui par 4x6, expriment encore la combinaison des éléments (4) avec la beauté (6). Mais c'est en fonction de la détermination individuelle (5) qu'ici s'opère cette pénétration. Les facteurs (5 — 1), (5 -|- 1) marquent les deux librations de l'individu, qui se condense, d'une part»

sur la base physique par contraste maximum successif pour assurer son autonomie en lui-même et qui, d'autre part, s'étend dans l'éclosion esthétique pour l'affirmer au dehors. C'est l'union dans la vie individuelle de la simultanéité et de la sucession pa,r la Synthèse concrète. Noces merveilleuses du Kosmos et de la Beauté à travers la Vie !

Remontant à la constitution du facteur (5 + 1) = 6, comme nous l'avons fait pour (5 — 1 ) =4. Nous aurons (5 + 1 ) = (1 + \J — 5) (1 — y/' — 5) ou bien (\/5-fy/ — l) {\/ ^ — sj — 1). La première de ces formules est la contre-partie de celles qui donnent 4; la seconde offre des analogies avec celle qui nous a donné 10. Dans le premier cas, c'est l'unité réelle alliée aux racines imaginaires de l'individualité ; dans le 2^ cas, c'est la racine réeUe de l'individualité alliée à l'unité virtuelle. Dans les deux cas, c'est l'unité et la multiplicité mises en présence en fonction du principe d'individualisation. Et voilà l'expression géométrique de cette définition classique de la beauté :« L'unité dans la variété. »

La Beauté consiste, en effet, à manifester l'un par le multiple,à faire de la matière l'expression de l'Idée. Une quantité réelle est ici ajoutée ou retranchée à une quantité imaginaire ; c'est dire que la matière, pour exprimer l'idée, devra subir là des retranchements, là des adjonctions, les unes et les autres déterminées par l'idéal poursuivi.C'est la combinaison de l'acte additif et de l'acte soustractif. Et en effet, la beauté ne peut s'exprimer dans la matière qu'en respectant les lois de

la matière (1). Si donc la matière subit isolément soit des retranchements, soit des adjonctions, son équilibre passif est troublé ; elle devient un gouffre ténébreux tendant à s'emplir, ou un amas sans cohésion tendant à se désagréger. Donc, sans cesse, l'acte esthétique doit résoudre le problème du mal en combinant les retranchements et les adjonctions, et par là, l'être de la matière se trouve haussé à un degré supérieur d'existence.

Ici, les deux éléments en présence sont l'unité et la racine de 5 (principe d'individualité). La combinaison de leur somme avec leur différence, opérée exclusivement au sein de la réalité physique ( cas où les deux éléments sont réels) donne le quaternaire et exprime la base physique de toute vie individuelle ; la nature virtuelle ou idéale de l'un des deux éléments (cas où l'un d'eux est imaginaire) conduit la vie individuelle à l'harmonie esthétique.

La caractéristique imaginaire appliquée à l'unité exprime le pouvoir unificateur de la pensée mis en présence de la multiplicité matérielle qui fournit par sa division les germes d'individualité. L'individualité se constitue par l'adjonction d'un principe idéal unificateur qui se liera à ce germe, sans s'identifier avec lui, mais en s 'attelant à la matière tantôt pour réprimer ( — ), tantôt pour contenir (-f-) ses tendances. La combinaison de ces deux opérations: contenir et satisfaire, est ce qui établit dans toute individualité l'harmonie parfaite. C'est le Coagula, Solve, des alchimistes.

(i) Quand l'idée asservit la matière sans s'y adapter c'est le sublime ; quand elle s'efface pour exalter uniquement les propriétés de la matière c'est le joli, le précieux, le riche, l'habile, etc.

La caractéristique imaginaire appliquée au principe d'individualisa,tion montre l'unité globale et inexpressive de la matière, qui tend à se distribuer en individualités pour devenir la réalisa,tion de telles ou telles idées définies. Les germes d'individualisation ne sont pas ici des désirs d'être soi, mais des désirs de réaliser telle idée.

Tels sont les deux pôles de l'acte esthétique, répondant P.UX grandes écoles opposées de l'art. Dans l'une, l'idée s'adapte à la matière, et l'intelligence cherche à tirer de la matière les harmonies qui s'accordent le mieux avec son essence (Vénus Aphrodite) ; dans l'autre, la matière se met au service de l'idée, et l'intelligence s'en sert pour conférer l'existence individuelle aux idées. (La Lune-Isis.)

Le nombre de Beauté 6 se présente donc comme réalisable par diverses voies remarquables : la forme 2X3, dédoublement du ternaire ; la forme 3x2, ternaire appliqué au binaire ; la somme des 3 premiers nombres (1 + 2 + 3) et leur produit (1 x 2 x 3) ; enfin la forme (5 -(- 1) comme produit de deux racines imaginaires conjuguées. La Ka.bbale fait correspondre le nombre 6 à la lettre ] (vau), signe convertible exprimant la relation entre le passif et l'actif, leur lien. C'est une sorte de neutralisation par exaltation. C'est bien la Bep.uté qui unit le discontinu et le continu dans leurs développements universels [algorithme somme(l+2-f- 3) et factorielle (1 X2 x 3)J.

Les formations de 6 par 2 x 3 et par 3x2 sont plus primitives. Elles pénètrent jusqu'aux plus pro-

fondes essences et concilient, par la synthèse primordiale de l'unification absolue, l'opposition radicale et irréductible du binaire. — C'est l'étoile à 6 branches, si le ternaire est primitif et contemple son reflet, réalisant son désir et se limitant lui-même dans l'harmonie parfaite. Cela répond en musique à la division binaire de la mesure à 3 temps. — Au contraire, c'est l'hexagone convexe, si le binaire est primitif, si c'est la ligne qui est donnée. Alors, la multiplication par 3 ferme le cycle, et centralise par le contraste minimum. En musique, c'est la division ternaire de la mesure à 2 temps (mesure 6/8).

Le 6 réalisé par 5 -|- 1 participe des deux précédents.Il résout le contraste inharmonique créé par l'individualité, non plus comme le quaternaire, en tonifiant, en élaguant l'expansion de l'individu, mais au contraire en déliant les entraves et en calmant le trouble occasionné au sein de l'universel, par l'adaptation et par la réponse du milieu aux affinités. C'est bien encore là l'expression de la Beauté, mais non plus de la beauté purement objective, cristalline, basée sur les lois absolues des nombres et des formes (Venus-Uranie, Minerve), mais de la beauté attirante, apaisante, breuvage calmant l'angoisse et saturant dans la paix harmonieuse l'âpre convoitise (Hera).

10 et 6 ne figurent en 3^ dimension que pour donner, soit des moitiés de figures, soit des sections équatoriales ou méridiennes. Ils proviennent d'un dédoublement du 3 et du 5 dans la 3^ dimension et introduisent le double courant en sens inverse qui donne l'équilibre mobile et fait apparaître le principe du rythme, l'un dans les principes, l'autre dans l'indivi-

dualité. — Le dédoublement de 5, synthétisé en unité complexe par l'alternance rythmique, indique le moyen de réaliser la finalité de la vie, qui est l'équilibre au sein de l'individualité par réflexion de sa nature. C'est l'esthétique transportée de la sphère idéale et Imaginative dans la réahsation individuelle. C'est l'harmonie, non plus chp.ntée par les lois, les concepts et les formes, mais effectuée par les appétitions et les actions individuelles parvenues à leur fin.

Aussi, en 4^ dimension, 10 nous est apparu comme épanouissement des.principe8 comme (3*+l), comme la couronne du 9, 9 représentant les principes qui, chacun , rendent explicite leur triplicité essentielle. Le rapprochement de 6 et. de 10, au point de vue des sommes 6 = 1 + 2+3; 10 =1+2+3 + 4 indique le processus élémentaire de l'agrégation franchissant la triple enceinte des Principes pour l'auréoler de la sphère kosmique (1).

Dans les formules, le facteur 15 (= 1 + 2 + 3 + 4 +5) se montre aussi et étend encore l'agrégation jusqu'à la sphère individuelle. Sous le même rapport, 30 = (1 + 2' + 3* + 4') opère sur les carrés comme 10

(i) L'attribution de 3 à l'essence des Principes et de 4 au Kosmos est une donnée traditionnelle de l'ésoterisme. Néanmoins, l'esprit modfrne ne se contente plus d'assertions. Or, la démonstration de c^s dogmes traditionnels nous paraît établie par le schéma de k loi de Création qui constitue la formule résumés de la philosophie de Wronski. (Voir ce sujet parmi les œuvres de "Wronski, notamment : VAi)odectique et la Nomothétique. — Voir aussi l'appendice de notre ouvrage: la Synthèse Concrète, consacré à l'exposition du schéma de Wronski. — Voir aussi notre article: La Triade de la Réalité. (Revue de Philosophie, mars i9o6.)

sur les premières puisse.nces; il constitue l'élément intermédiaire en S^ dimension, indiquant ici la réflexion qui existe entre les foyers d'existence (sommets) et leur expansion (faces). En 4^ dimension, 30 opère dans un des termes extrêmes, 10 dans l'autre. 30 représente ainsi l'affirmation réfléchie et consciente du développement dont 10 exprime la production. C'est là ce qui disti.ngue entre eux le 120 et le 600-édioïde.

Douze, Huit, Vingt

Les aspects multiples du nombre 12 et ses manifestations géométriques dans les sommets de l'icosaèdre et dans les faces du dodécaèdre, ses relations avec le nombre 20,qui lui est conjugué dans ces polyèdres, et avec le nombre 30, qui corresponde l'élément intermédiaire, apporteront peut-être quelque jour l'explication des données traditioanelles de l'astrologie. La division du zodiaque et des maisons astrologiques en 12 régions distribuées par 3 et 4 groupes, et ces divisions correspondant, l'une aux harmonies (3 groupes de 4), l'autre aux pole.risations et aux obstacles (4 groupes do 3), enfin, la division par 2 ou par 6, soit par opposition, soit par contiguïté, tout cela mériterait d'être vérifié et perfectionné au moyen des mathématiques modernes. On est tenté aussi de comparer la relation entre le cercle zodiacal (qui correspond aux courants relatifs à la révolution annuelle de la terre), le cercle des maisons (qui correspond au mouvement diurne et au rapport de l'horizon avec l'équa-teur et l'écliptique), à la relation conjuguée qui existe entre l'icosaèdre et le dodécp.èdre.

i4| 1 2 par 3 X- 4, se rapporte plutôt aux causes efficientes ; par 2X6, plutôt aux finalités. Comme 3 X 4 ce sont les Principes qui se quaternisent, qui se revêtent de la nature, comme 4 X 3, c'est le Kosmos qui s'ordonne suivant les Principes. Comme 2x 6,c 'est la Beauté appliquée au binaire primitif, ou inversement comme 6 X' 2, la Beauté dualisée. — ^Mais 12 est encore remarquable comparé à 20 dans les relations de ces deux nombres avec 16 et avec 10. On a 12 (4* — 4 ) et 20 = ( 4* + 4 ) ; ils expriment la libration du quaternaire développé autour de sa source. Les relations

soit = = 4, sont d autres rela-

tions de l'équilibre quaternaire avec les principes universels et l'individualité.

12 = 10 + 2. Or 10 manifeste l'unification dans la plénitude du développement quaternaire. C'est un nombre de finalité. 12, en ajoutant 2. rompt la détermination qui parachève et rétablit la révolution cyclique due à la combinaison du ternaire et du quaternaire.

Dans 2 X 10 = 20, on passe de l'agrégat du binaire à son ingérence.

Dans le dodécaèdre, 20 considéré comme 2 X 10 correspond à deux zones prismatiques, l'une, allongée et étroite, donnant les deux faces extrêmes,l'autre, aplatie et large, donnant le décagone gauche. Une distribution quelque peu analogue est réalisée par les faces de l'icosaèdre : deux pyramides et une zone médiane. Ici c'est lÔ orienté suivant les pôles,combiné à 10 orienté suivant l'équateur. Cela semble schématiser l'antithèse du volume longitudinal et du volume périphérique, des courants méridiens et équatoriaux. 10 évoque une plénitude

mais toujours une orientation doublement polarisée,- 20 donne la plénitude complémentaire qui établit l'équilibre quaternaire. Dans l'icosaèdre et le dodécaèdre le groupement par 20 s'effectue avec alternance entre les hémisphères ; de même qu'à deux dimensions, le décagone était obtenu comme deux pentagones opposés

par les sommets.

Entre 12 et 20 (sommets dans la 3® dimension), il y a la distinction entre la sommation et la reproduction entre 120 et 600 (sommets en 4^ dimension), la distinction a lieu entre la reproduction et la graduation toujours appliquées au nombre 2. En effet, 120 — 6 X 10 Xy 2 ; 600 - e X" 10\ Le binaire n'agit plus comme dualité reproductrice ; il est incorporé au dénaire pour l'élever à sa 2^ puissance, 100, qui est en même temps la somme des 4 premiers cubes : (1 -f 2^ + 3^ -|- 4^) = 100. 120 peut aussi se concevoir comme (5^ — 5) = (5* — 5) (5 -[- 1) =20 X 6. Ceci rattache un élément extrême de la 4« dimension à l'élément extrême opposé dans la 3«. Les considérations précédentes nous dispensent de développer l'interprétation de cette forme. Elle offre un caractère d'asymétrie intermédiaire entre (5* — 5) et (5* — 5'). Ici, c'est le nombre esthétique appliqué au 20. — Enfin 20 est encore le 4^ triangulaire venant après 4 et 10.

Une corrélation analogue à celle de (10 + 2) avec (10 X 2) se trouve aussi entre 4 + 2 et 4 x 2 pour l'octaèdre et l'hexaèdre. 8 et, 6 paraissent en fonction

de 4 jouer uq rôle analogue à 12 et 20 en fonction de 10. La Beauté en face de la base kosmique apparaît comme une addition, de même que le cycle complet (12) en fonction de l'accomplissement parfait (10). ^Le 8, comme 2 X 4 et le 20 comme 2 X 10 doivent avoir aussi quelque parenté. Le quaternaire dédoublé, établit au sein de la stabilité kosmique, une sorte de va et vient : 8 se retrouvera surtout dans les mouvements oscillatoires. Dans l'hexaèdre et l'octaèdre, il apparaît comme an retour de l'établissement quaternaire.

8 représente dans la théorie des contrastes de M. Ch. Henry, le contraste maximum simultané dans le cas où l'un des deux segments reste fixé à l'origine. Dans le plan, c'est l'angle à 45° évoqué par la division trice de l'angle droit. En effet, deux perpendiculaires opposent 4 directions.EUes évoquent comme complément des angles droits formés au centre,d'autres angles droits périphériques. Ces 4 carrés répondent à l'unité complexe 1 -f" sJ — 1; le module ou résultante, qui est la bissectrice de l'angle droit, se trouve évoqué spontanément, et la figuration de deux perpendiculaires entraîne immédiatement celle de deux autres qui les croisent à 45°. Mais là s'arrête la bipartition naturelle, car les angles de 45° font disparaître le caractère qui a provoqué cette bipartition,

8 présente la contre -partie de 10 par rapporta 3\0n a, en effet (3^ 4- 1) = 10 et (3^ — 1) = 8. Ainsi 8 et 10 représentent la libration-unité autour de 3*. Nous avons étudié précédemment ces librations -unités, maïs en fonction de^l'individualité caractérisée par 5. Iciy c'est en fonction des principes explicitement développés, chacun d'eux épanouissant le ternaire, soit

l'essence même de la principiation. C'est par ce point de vue qae s'explique le rapprochement, fréquent dans l'ésotérisme, de 8 avec 10 comme nombre de perfection. 8 représente pour ainsi dire cette perfection, fermée, à l'état d'incubation, non encore épanouie; et l'idée de 8 se trouve liée à celle de souffrance. Le caractère de perfection attribué à 8 s'explique encore en ce qu'il donne le ternaire de puissance par rapport à 2, car 8 = 2\

La construction de l'angle de 45°, qui correspond à la division d,u cycle par 8, montre ce nombre comme lié à y/ 2 , nombre de la brisure médiane, triton, intervalle dissonant, qu'il faut apprivoiser en le transformant en une consonance attractive, qui se résoudra sur la tierce et la tonique.

L'importance du nombre 8 est encore manifestée par la numération chinoise des Koua, qui paraît antérieure à la numération décimale, et qui représente un degré supérieur de numération binaire (1).

L3S nombres de la 4^ dimension

120 par 10 X 12 réunit dans la 4^ dimension la finalité déterminée et orientée et le cours du cycle universel

(i) Voir La Numération par huit par Aimé Mariage (dSSy), où l'auteur attribue les nombreuses anomalies dans les chronologies des anciens textes à la confusion opérée par les traducteurs entre des nombres exprimés, les uns en numération par 8 et d'autres en numération décimale. Il parvient en lisant certains nombres en numération par 8 à identifier beaucoup de mesures en apparence étrangères les unes aux autres.

qui doit également aAimer toutes les directions. C'est la synthèse du quaternaire par sommation et du quaternaire par combinaison. 120 par 24x5, soit (5* — 1) 5 répond, d'autre part, à l'échelon intermédiaire entre 5 (5—1) et 5'(5'— 1), et, à la suite de 3, de 6 et de 24, il est la 5^ factorielle. C'est la combinaison des divers degrés genésiques : dualité, principes, kosmos, jusqu'au 5«, celui de la vie individualisée. Et 600 représentera une intensification de ce développement en répétant le 5 comme norme directrice et indépendante, et non plus seulement comme terme final du produit. En effet, 600 =5 X (I X 2 X 3 X 4 X 5) = 5 X 120.

120,comme 6 x 20,apparaît comme nombre esthétique; il se rapproche encore de 6 par les connexions entre la sommation et la graduation. C'est un des nombres très rares qui aient ce caractère. 120 est en effet le 15® nombre somme et le 8« nombre triangulaire en même temps que la 5« factorieUe. (6 est 3® nombre somme et 3® factorieUe.)

Le développement des factorielles s'étend plus loin avec 720, qui, pour un des éléments intermédiaires en 4e dimension, donne (1 x2x3x4x5 x6.) Ici, c'est l'extension, jusqu'à la réalisation esthétique de la combinaison de tous les degrés hiérarchiques, 720 se présente encore comme 72 x 10, et 72, c'est 24 x 3, soit le ternaire appliquée au nombre de la plénitude quaternaire. C'est encore 3' — 3' = (3' + 3) (3'— 3), forme dont nous avons g,naly se les caractères.

720 présente en fonction des puissances de 3 et de 5 des formes intéressantes:

720 = (5+1) (5' — 5) =5(5+1) (5* — 1). Enfin 720 = (24 x 10) 3, et 1200 = (24 x 10) 5. Or, 24 X 10 : c'est, nous l'avons vu, la synthèse des deux quaternaires parfaits, l'un par combinaison, l'autre par agrégation. 720 combine cette synthèse au nombre des principes; 1200 la combine au nombre de l'individualité. D'autre part, 720 et 1200, en fonction de la 5« factorielle (120), sont entre eux comme 6 et 10, et cela peut se traduire ainsi : la combinaison des 5 premiers modes d'existence dans 720 sert d'élément à l'harmonie formelle, dans 1200 à la perfection accomplie. Les relations avec le senaire et le denaire sont ici distinctes et coexistantes. En 3« dimension, le nombre 30, qui constituait le terme intermédiaire, condensait en lui-même ces deux relations, et pouvait être considéré soit comme 3 x 10, Principes et Perfection, soit comme 6x6, Individualité et Beauté.

En définitive, la 3^ dimension paraît réaliser les synthèses, en contractant les éléments dans une unification plus ou moins obscure, répondant à ce domaine psychique où l'objectif et le subjectif s'entre-croisent d'une manière inextricable. Tout corps à 3 dimensions conserve quelque chose de caché ; la forme ne s'y manifeste qu'en voilant la structure, et la structure ne se montre que par la dissection.

Il semble au contraire que le monde à 4 dimensions réponde à un épanouissement et à une neutralisation équilibrée entre la tendance expansive et la tendance

■centralisatrice. L'objectif et le subjectif doivent s'y développer distinctement et face'à face, la forme et la structure y transparaître l'une à travers l'autre, coexister et se réfléchir. Idéation et Réalisation, Beauté et Perfection ne doivent pas, comme chez nous, se confondre ou se substituer l'une à l'autre, mais se répondre dans une double harmonie, l'une figurative, l'autre effectuée, formant deux liens distincts entre les deux pôles de l'individualité : le point et l'enveloppe.