LE PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES ET LA STATIQUE DE LAGRANGE

Que Ton traite les attractions et les répulsions réciproques des points matériels comme des réalités irréductibles à la figure et au mouvement; qu'on les considère, au contraire, comme les effets de mouvements, cachés encore à nos investigations ; il n'en reste pas moins que le physicien peut et doit invoquer dans ses raisonnements, non seulement des figures et des mouvements explicites, mais encore des forces^ actuellement hétérogènes aux notions de la Géométrie et de la Cinématique. Par là, les mots : Expliquer un phénomène physique prennent un sens tout différent de celui que leur attribuaient les philosophes cartésiens ou atomistes; l'explication qui s'arrête à la force ^ prise comme élément réellement ou provisoirement simple, a de l'analogie avec l'explication scolastique par les qualités et les vertus occultes.

Selon Nevs^ton comme selon Leibniz, ce qui doit distinguer essentiellement la Physique nouvelle

de la Physique de l'École, c'est la généralité de ses principes; elle ne doit plus rendre compte de chaque phénomène en créant à son occasion une cause spéciale et nouvelle; elle doit débrouiller tout le détail des faits observés dans la nature corporelle en invoquant un nombre minimum de principes aussi amples que possible.

Certes, la Physique dont Newton a tracé le plan et posé les bases, dont Boscovich a analysé la complète structure, est déjà admirable parla simplicité et l'ampleur de ses principes; cependant, à côté de Thypothèse fondamentale qu'il y a dans le monde : temps, étendue, masse et force, cette Physique n'admet-elle pas d'autres suppositions que l'on pourrait éliminer? Au lieu de réduire la matière à un ensemble de points inétendus et isolés les uns des autres, ne pourrait-on y concevoir des corps étendus, variables de figure, capables de se toucher? Au lieu de regarder toutes les forces comme des attractions et des répulsions réciproques, fonctions de la seule distance qui sépare les points qu'elles sollicitent, ne pourrait-on leur laisser une entière indétermination, en accouplant seulement à chaque action une réaction égale et directement opposée? N'amènerait-on pas ainsi les principes de la Mécanique au plus haut degré de généralité qui se puisse concevoir?

A cette construction de la Mécanique rationnelle, les plus grands géomètres du xviii^ siècle contribuent; Daniel Bernoulli, d'Alembert, Euler, pour ne citer que les plus illustres, attachent leur nom à quelque partie de l'édifice ; mais à Lagrange on doit son complet achèvement.

« Lagrange, a dit Fourier *, était né pour inventer et pour agrandir toutes les sciences de calcul. Dans quelque condition que la fortune Teût placé, ou pâtre ou prince, il aurait été grand géomètre; il le serait devenu nécessairement et sans effort... »

« Le trait dislinctif de son génie consiste dans Tunité et la grandeur des vues. Il s'attachait en tout à une pensée simple, juste et très élevée. Son principal ouvrage, la Mécanique analytique^ pourrait être nommé la Mécanique philosophique, car il ramène toutes les lois de l'équilibre et du mouvement à un seul principe; et, ce qui n'est pas moins admirable, il les soumet à une seule méthode de calcul dont il est lui-même l'inventeur. »

La première partie de la Mécanique analytique est consacrée à la Statique; elle débute par ces mots :

« On entend, en général, par force on puissance la cause, quelle qu'elle soit, qui imprime ou tend à imprimer du mouvement au corps auquel on la suppose appliquée, et c'est aussi par la quantité du mouvement imprimé, ou prêt à imprimer, que la force ou puissance doit s'exprimer. Dans l'état d'équilibre, la force n'a pas d'effet actuel; elle ne produit qu'une simple tendance au mouvement; mais on doit toujours la mesurer par l'effet qu'elle produirait si elle n'était pas arrêtée. »

En marge de l'exemplaire de la Mécanique analytique qui avait guidé ses méditations, Saint- Venant écrit ces mots : « Ainsi, l'auteur de la Méca-

1. Eloge historique de M. le marquis de Laplace, prononcé dans la séance publique de rAcadémie Royale des Sciences, le 15 juin 1829, par M. le baron Fourier.

nique analytique ne met pas en doute l'existence des forces ou de causes spéciales de chaque mouvement. » En effet, le passage que nous venons de citer reproduit les idées, et presque les termes, de certains fragments de Leibniz; comme Leibniz, Lagrange regarde la notion de force comme une des notions premières de la Mécanique ; s'il invoque le mouvement, ce tfest pas pour expliquer la force, c'est seulement pour faire correspondre à cette idée, transcendante à la Géométrie, un symbole numérique capable de figurer dans les formules.

Lagrange se préoccupe, tout d'abord, de poser les principes de la Statique, c'est-à-dire de fixer les circonstances dans lesquelles les forces appliquées à un système matériel le tiendront en équilibre.

Le problème statique était aisé dans la Physique newtonienne ; tout système se réduisant à des points libres, l'équilibre du système découlait de l'équilibre de chaque point; et chaque point se trouvait en équilibre lorsqu'il était sollicité par des forces dont la résultante était nulle ; ainsi, toute la Statique se tirait de la seule règle du parallélogramme des forces.

La question est autrement délicate lorsqu'on restitue aux corps leur étendue, leur figure, la possibilité de glisser ou de rouler les uns sur les autres, voire de se déformer.

Déjà, pour raisonner sur l'équilibre de semblables systèmes, au moins dans des cas très simples, Archimède avait posé le principe de l'équilibre du levier. La longue élaboration qui, au cours des temps modernes, a façonné la Mécanique, a trans-

formé peu à peu cette antique règle en un principe nouveau, infiniment plus général : le Principe des déplacements virtuels.

Pour retrouver la source du Principe des déplacements virtuels, il faut remonter jusqu'à la Renaissance, à Léonard de Vinci, à Guido Ubaldi; il se précise dans les écrits de Galilée, dont les raisonnements sont un commentaire de cette formule : « Le gain de puissance qu'assure un mécanisme entraîne une perte équivalente de vitesse »; de Descartes, qui part de cette proposition : « La mesme force qui peut lever un poids de 100 livres à la hauteur de deux pieds, en peut lever un de 200 livres à la hauteur d'un pied » ; de Toricelli, de Pascal, qui admettent ce principe : « Jamais un corps ne se meut par son poids sans que son centre de gravité descende ».

Quelque peu délaissé pendant que Huygens et Newton créaient la science du niouvement, le Principe des vitesses virtuelles, ou mieux des déplacements virtuels, fut repris sous une forme plus complète et plus générale par Jean II Bernoulli, qui le communiqua en 1717 à Varignon; celui-ci, dans sa Nouvelle Mécanique^ en donna de nombreuses applications; mais il était réservé à Lagrange d'y découvrir une base assez large pour y asseoir la Mécanique tout entière ^

Les corps qui composent un système matériel ne peuvent pas éprouver n'importe quel changement de forme ou de position ; la nature qu'on leur attribue,

1. Lagrange : Mécanique analytique^ lr« partie, section II. (Nous citerons toujours cet ouvrage d'après la seconde édition, la dernière à laquelle Lagrange ait rais la main.)

qui sert à les dénommer, qui constitue proprement leur définition, exclut certains déplacements, certaines déformations qu'il serait contradictoire de leur attribuer. Un corps est-il un solide ? Sa place peut changer, mais sa figure et ses dimensions doivent demeurer invariables. Deux solides sontils en contact? Ils peuvent rouler et glisser l'un sur l'autre, mais sans se pénétrer ni se déformer. Un •fil flexible et inextensible peut dessiner toutes sortes de lignes, pourvu que sa longueur ne change pas. Un fluide incompressible peut occuper les espaces les plus diversement figurés, pourvu qu'ils aient tous le même volume. On nomme liaisons ces conditions restrictives qui découlent de la définition même d'un système mécanique, et équations de liaisons les égalités algébriques par lesquelles s'expriment ces conditions.

Si l'on ne veut pas contredire à la définition même d'un système, on ne peut imposer par la pensée aux corps qui le composent tous les déplacements imaginables, mais seulement ceux qui sont compatibles avec les liaisons ; ce sont ces déplacements que l'on nomme déplacements virtuels.

Imposons au système que nous voulons étudier un déplacement infiniment petit; le point d'application de chacune des forces qui sollicitent le système décrit un chemin infiniment petit, que l'on peut traiter comme rectiligne ; prenons la composante de la force suivant ce chemin infiniment petit et multiplions la grandeur de la composante par la longueur du chemin ; le produit obtenu sera le travail de la force dans le déplacement infini-

ment petit que nous considérons ; si le déplacement est virtuel, le travail sera un travail virtueL

Nous sommes maintenant en mesure d'énoncer le principe fondamental de la Statique : Pour qu'un ensemble de forces tienne en équilibre un système matériel, il faut et il suffit que tout déplacement virtuel infiniment petit imposé au système fasse prendre la valeur zéro à la somme des travaux virtuels des forces.

Autour de ce principe, que d'idées neuves et fécondes viennent se grouper, en la première partie de la Mécanique analytique! Il en est que Lagrange expose en quelques lignes, mais dont la portée s'affirmera chaque jour davantage.

Il est clair que le travail virtuel d'un ensemble de forces, appliquées à un système qui subit un déplacement donné, change simplement de signe si Ton renverse le sens de toutes les forces, sans changer ni la grandeur, ni le point d'application de chacune d'elles. Dès lors, imaginons deux ensembles de forces, différents l'un de l'autre, mais qui, appliqués successivement à un même système matériel, produiraient, en tout déplacement virtuel, le même travail. Appliquons-les simultanément, après avoir renversé le sens des forces en l'un d'eux. Tout déplacement virtuel engendrera maintenant un travail nul, en sorte que le système sera en équilibre. Ainsi, l'un quelconque de nos deux ensembles est équilibré par l'autre, quand on a renversé le sens des forces en ce dernier. En d'autres termes, nos deux ensembles de forces sont exactement équivalents pour le système matériel étudié; on peut les substituer l'un à l'autre sans

rien changer aux propriétés mécaniques de ce système.

Il importe donc peu de connaître par le détail chacune des forces appliquées aux divers corps d'un système, son point d'application, sa grandeur, sa direction ; pourvu que les renseignements donnés sur l'ensemble des forces permettent de déterminer le travail effectué dans un déplacement virtuel quelconque, on en sait assez; toute donnée supplémentaire serait superflue; des renseignements de forme différente, mais qui conduisent à la même expression du travail virtuel, s'identifient aux yeux du mécanicien*.

C'est ainsi qu'aux diverses forces appliquées à un corps solide, on pourra substituer un certain ensemble de deux forces, ou bien une force et un couple, ou bien encore d'autres combinaisons de forces; toutes ces combinaisons, qui semblent distinctes au géomètre, fournissent le même travail en un déplacement virtuel du corps solide ; le mécanicien ne les distingue donc pas les unes des autres.

Il suit de là que le mécanicien ne pourra, en étudiant l'équilibre et le mouvement d'un solide, décider si le groupe de forces auquel ce solide est eflectivement soumis est l'une ou Tautre de ces combinaisons; la question n'aura pour lui aucun sens ; le géomètre pensera qu'il subsiste une indétermination dans la solution du problème, mais non pas le mécanicien, s'il a tant soit peu médité

1. Lagranoe : Mécanique analytique, 2^ édition, l^e partie, section II, n^ 14.

les principes de la science qu'il cultive; il verra clairement qu'à tout ensemble de forces susceptible de produire les mouvements qu'on observe en un système, on en peut substituer une infinité d'autres qui produiraient les mêmes mouvements. Pour définir dans toute sa généralité le déplacement virtuel infiniment petit d'un système mécanique, il n'est pas nécessaire, dans la plupart des cas, de se donner la grandeur et la direction du chemin parcouru par chacun des points matériels; il suffit de se donner les valeurs de certaines quantités infiniment petites convenablement choisies; les propositions qui fixent la nature du système permettront, lorsqu'on connaîtra ces valeurs, de déterminer le chemin parcouru par tel point que l'on voudra.

Supposons, par exemple, que le système étudié soit un corps solide ; un théorème bien connu nous enseigne que l'on pourra toujours conduire ce solide d'une position arbitrairement donnée à une autre position également arbitraire par la méthode suivante : Trois droites rectangulaires, issues d'un même point, étant choisies une fois pour toutes, on imprimera successivement au solide une rotation convenable autour de chacune de ces trois droites, puis une translation convenable dans la direction de chacune de ces trois droites. La connaissance des trois rotations et des trois translations déterminera la trajectoire suivie par un point quelconque du solide; elle fixera complètement le déplacement virtuel.

Imaginons que tout déplacement virtuel infiniment petit d'un certain système soit ainsi pleine-

ment conau lorsqu'on se donne les variations infiniment petites Sa, S|3, ... éprouvées par certaines grandeurs, plus ou moins nombreuses, a, |3, ... ; ces grandeurs sont les variables indépendantes qui définissent le système.

L'expression du travail virtuel des forces appliquées au système prendra la forme* : A8a +B§p + ...

Pour connaître tous les effets des forces qui agissent sur le système, il est nécessaire et suffisant de connaître l'expression de leur travail virtuel; et, pour connaître cette expression, il est nécessaire et suffisant de connaître le^ grandeurs A, B, ... Ainsi, la connaissance de ces grandeurs est ce qui importe véritablement au mécanicien, et non point celle des forces au moyen desquelles elles sont censées formées. On peut, à ces grandeurs, donner le nom de forces généralisées*,

La nature d'une force généralisée A dépend de la nature de la variable a à laquelle elle se rapporte, car le produit A5a doit toujours représenter un travail. Si a et, partant. Sa sont des longueurs, A est une force proprement dite ; mais, si a et Sa sont des angles, A sera une grandeur de même espèce que le moment dun couple^ si a et Sa sont des surfaces, A sera une tension superficielle; si a et Sa sont des volumes, A sera homogène à une pression.

Lorsque le travail virtuel des forces appliquées à un système a été mis sous la forme

I.Lagrange : Mécanique analytique, 2® édition, 1"^® partie, section IL, n»» 12 et 13.

2. Laoranoe : Mécanique analytique, 2« édition, 1^® partie, section II, n» 9.

32 L'ÉVOLUTION DE LA MÉOftNIQUE

ASa-|-B^Î^ + ---ï OÙ les forces généralisées A, B, ... obéissent à des lois connues, les conditions d'équilibre du système s'obtiennent immédiatement sous la forme la plus générale et la plus simple; elles doivent annuler chacune des quantités A, B, ...

Les analystes savent qu'en général une expression telle que A5a -|- BSp + •••» où A, B, ... dépendent de a, |3, ... n'est pas la diminution d'une grandeur qui soit entièrement connue lorsqu'on connaît les valeurs de a, |3, ... Mais cette proposition, généralement fausse, devient exacte dans certains cas particuliers; le travail accompli dans un déplacement virtuel quelconque est alors la diminution subie, en ce déplacement, par une certaine grandeur qui, pour chaque état du système, prend une valeur déterminée*. A cette grandeur, Lagrange n'a point donné de nom particulier ; on la nomme aujourd'hui le potentiel des forces qui agissent sur le système.

L'existence d'un potentiel des forces qui agissent sur un système apparaît au mathématicien comme une propriété exceptionnelle; mais, si Ton suppose qu'un système est soumis seulement aux actions réciproques des points matériels ou des éléments de volume qui le composent; si l'on admet, avec Newton, que l'action réciproque de deux éléments est une attraction ou une répulsion ; que la grandeur de cette action s'obtient en multipliant par les masses des deux éléments une fonction de leur mutuelle distance; il se trouve que l'ensemble des

1. Lagrange : Mécanique analytique^ 2® édition, l^e partie, section III, n» 21.

LE PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES o5

forces admet un potentiel; Tétude d'un système qui admet un potentiel comprend donc, comme cas particulier, Tétude d'un système isolé dans l'espace et constitué comme le veut la Physique newtonienne. Si nous nous bornons à l'étude des systèmes dont les actions intérieures admettent un potentiel, il semblera au géomètre que nous nous cantonnons en un problème infiniment particulier; cependant, ce problème surpassera infiniment, en ampleur et en généralité, le problème posé par Newton et ses disciples.

L'effet mécanique d'un ensemble de forces dépend uniquement de l'expression de leur travail virtuel; lorsque les forces admettent un potentiel, le travail qu'elles accomplissent en une modification virtuelle quelconque peut se calculer, pourvu que l'on connaisse la valeur du potentiel en chacun des états du système; cette connaissance remplace alors et rend inutile la connaissance des forces ou des forces généralisées. Ainsi, pour fixer entièrement les propriétés mécaniques intrinsèques d'un ensemble de corps, il n'est plus nécessaire de détailler ni les forces qui s'exercent à l'intérieur de cet ensemble, ni les forces généralisées auxquelles elles équivalent; il suffit d'indiquer comment le potentiel interne varie avec l'état du système.

Poussons plus loin : Nous pouvons, si nous le voulons, ne considérer en Mécanique que des groupes de corps entièrement isolés dans Tespace; il nous suffît, pour cela, de comprendre en un seul ensemble et le système particulier que nous voulons étudier, et les corps dont l'influence sur

ce système ne nous paraît pas négligeable. Alors nous n'aurons plus affaire qu'à des forcés mutuelles s'exerçant entre les divers corps d'un même système; ces forces intérieures sont supposées dépendre d'un potentiel, dont la connaissance rend inutile la connaissance des forces mêmes. Ainsi, la notion de force^ après s'être fondue dans une notion plus ample, celle de force généralisée^ perd, pour ainsi dire, son caractère premier et irréductible et apparaît comme une simple dérivation de la notion de potentiel^ telle est la conséquence naturelle des principes posés par Lagrange, conséquence qui s'accorde pleinement avec les vues profondes de Leibniz.

La fécondité de ces principes n'est pas encore épuisée. Ils vont nous fournir une notion nouvelle, dont le rôle sera considérable dans les débats touchant la Mécanique rationnelle, la notion de force de liaison^.

Considérons deux systèmes, que nous désignerons par les chiffres 1 et 2. L'état du système i, pris isolément, est fixé par les variables indépendantes a,, ^j, ...; le travail virtuel de toutes les forces qui le sollicitent est A^Sa^ -}- B^Sp^ -|- . . . L'état du système 2, pris isolément, est fixé par les variables indépendantes a^, p,, ...; le travail virtuel de toutes les forces qui le sollicitent est A.Sa. + B,8p.+ ...

Maintenant, sans rien changer aux forces qui sollicitent réellement les systèmes i et 2, juxtapo-

1. Lagrange: Mécanique analytique, 2« édition, l**® partie, section IV, § i.

sons ces systèmes de telle sorte que certains corps du premier système se trouvent au contact de certains corps du second système, et considérons la réunion de ces deux systèmes comme formant un système unique.

Chaque déplacement virtuel du système résultant imposera aux quantités a^, p,, ..., a,, p^, ..., des variations infiniment petites Sa^, S|3^, ..., Sa,, Spg, ... et aux forces agissantes un travail A.Sa^ 4- B,ap, + ... + A,5a, + B,Sp, + ....; mais, et c'est ici le point essentiel de ces considérations, on n'obtiendra pas toujours un déplacement virtuel du système résultant en combinant n'importe quel déplacement virtuel du système 1 avec n'importe quel déplacement virtuel du système 2; chacun de ces deux déplacements virtuels était concevable lorsque chacun des systèmes 1 et 2 existait seul; leur ensemble peut devenir inconcevable lorsque les systèmes i et 2 sont juxtaposés, parce qu'il aurait pour effet d'amener à la fois, en un même lieu de l'espace, certains corps du système i et certains corps du système 2. La juxtaposition des systèmes i et 2 impose donc aux déplacements de chacun d'eux de nouvelles restrictions, de nouvelles liaisons; ces liaisons ne laissent plus entièrement arbitraires les valeurs infiniment petites que l'on peut, en un déplacement virtuel, attribuer à Sa,, 5|3j, ..., Sa^, SPj,, ...; elles exigent que ces valeurs vérifient une ou plusieurs égalités dites équations de liaison.

Le souci de la généralité mathématique doit, dans cet écrit, céder le pas au désir de présenter les idées sous la forme la plus simple et la plus

saillante. Supposons donc que la réunion des systèmes i et 2 ait donné naissance à une seule équation de liaison :

âiSa^ + AiSpi + • • . + «aSaj + jbjSPj -f . . . = 0.

Pour trouver les conditions d'équilibre du système, nous devrons exprimer non pas que tout ensemble de valeurs attribué à 5a^, Sp^, ..., Sa^, 8|3j, ..., annule le travail virtuel, mais seulement que ce travail est nul toutes les fois que la condition de liaison est vérifiée. L'Algèbre nous enseigne alors que Ton peut trouver un certain facteur X, dépendant de Tétat des systèmes i et 2 et des forces qui les sollicitent, par lequel le problème précédent se ramène à celui-ci : Annuler, pour tout ensemble de valeurs de Sa,, 5/3^ ..., $«„ 58^, ..., la somme du travail virtuel et du premier membre de l'équation de liaison, ce dernier ayant été, au préalable, multiplié par X. Ainsi s'obtiendront les conditions d'équilibre de notre système complexe, qui seront les suivantes :

Ai + >ai = 0, B44-Xi)i = 0,

Aa + >ai = 0, B,4-)yja = 0,

Prenons les équations de la première ligne; ce sont celles que nous aurions immédiatement obtenues comme conditions d'équilibre du système i, si nous l'avions traité en faisant abstraction de la gêne que le contact du système 2 apporte à ses déplacements et en le supposant soumis non pas aux forces généralisées A,, B,, ..., mais aux forces généralisées A, -{-la^.B^-l-'kb^, ... Les équa-

lions de la seconde ligne nous suggèrent des remarques analogues touchant le système 2.

Dès lors, nous voyons qu'on peut obtenir les équations d'équilibre de chacun des deux systèmes par deux voies, distinctes en apparence, mais rigoureusement équivalentes.

Par une première voie, on regarde chacun des deux systèmes comme soumis aux forces qui le sollicitent en réalité, mais on tient compte des restrictions que leur mutuel contact impose aux déplacements virtuels de chacun d'eux.

Par une seconde voie, on traite chacun des deux systèmes comme s'il existait seul, mais à chacune des forces généralisées, telles que A^, auxquelles il est réellement soumis, on ajoute une force généralisée purement fictive Xa^; la forme de cette force de liaison dépend de la nature de la condition de liaison et de l'expression du facteur X, dit multiplicateur de Lag range.

On peut caractériser brièvement les rapports qui existent entre ces deux méthodes en disant que la première consiste à conserver les conditions de liaison en évitant d'introduire les forces de liaison, et que la seconde consiste à supprimer les conditions de liaison et à introduire les forces de liaison.

Pour mettre en lumière les fondements de la Statique de Lagrange, nous avons considéré un système dont l'état est entièrement fixé par un nombre plus ou moins grand, mais limité, de variables indépendantes; tous les systèmes ne peuvent être ainsi définis; il en est de continus, qui doivent être décomposés entre un nombre illi-

mité d'éléments infiniment petits, contigus les uns aux autres ; chacun de ces éléments dépend d'un nombre limité de variables. Parmi ces systèmes continus, les uns, comme les fils ou les verges élastiques, s'étirent suivant une seule dimension; d'autres, comme les membranes et les plaques, s'étalent selon deux dimensions; d'autres enfin, comme les fluides ou les solides élastiques, sont d'étendue finie en toutes dimensions. Les principes dont nous venons de marquer les principaux traits s'appliqueront à de tels systèmes sans qu'il soit besoin de les modifier très profondément*. Seulement l'expression du travail virtuel, au lieu d'être simplement une somme de termes, sera représentée par une intégrale simple, double ou triple; elle n'en sera pas moins soumise aux règles du calcul des variations.

Par là, les lois de l'équilibre des fils et des membranes flexibles* prennent une clarté et une généralité singulières; mais c'est surtout l'étude de l'équilibre des liquides qui prouve l'ampleur et la pénétration des méthodes de Lagrange.

Sans doute, depuis le temps d'Archimède, l'Hydrostatique avait fait d'incontestables progrès. Galilée, Stevin et Pascal étaient parvenus, après bien des tâtonnements, à découvrir les lois exactes de l'équilibre des fluides pesants. Le problème de la figure des planètes avait contraint les géomètres de soumettre à leur analyse des corps fluides sollicités

1. Lagrange : Mécanique analytique^ 2« édition, l'» partie, section IV, § ii.

2. Lagrange : Mécanique analytique^ 2« édition, 1'^ partie, section V, chapitre m.

LE PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES o9

par d'autres forces que la simple pesanteur; aux essais de Huygens, de Newton, de Bouguer et de Mac Laurin, Clairaut avait substitué une méthode générale et rigoureuse; dans le petit Traité*, chefd'œuvre de clarté et d'élégance, quïl avait publié en 1743, il avait donné les formules générales de l'équilibre des Quides, établi les liens qui existent entre l'Hydrostatique et la théorie des différentielles totales, prouvé qu'un fluide ne peut pas être mis en équilibre par toutes sortes de forces, enfin découvert les propriétés essentielles des surfaces de niveau; en 1755, Euler avait retrouvé les résultats de Clairaut par un procédé différent; ce même procédé devait un jour permettre à Cauchy d'établir les lois dont dépend la pression au sein d'un corps quelconque.

Toutefois, malgré ces progrès constants, tout n'était pas clair et rigoureux dans la théorie de l'équilibre des fluides; la nature de la pression hydrostatique demeurait bien obscure; on admettait que cette pression existe, qu'elle est toujours normale à l'élément superficiel auquel elle se rapporte, que sa grandeur ne varie pas lorsque cet élément superficiel tourne autour d'un de ces points ; mais, de ces propositions, on n'avait aucune démonstration, de la pression mome, aucune définition précise.

Ces propositions, Lagrange les obtient toutes ensemble' par l'emploi de sa méthode générale ;

1. Clairaut : Théorie de la figure de la Terre j tirée des principes de VHydrostatique^ Paris, 1743.

2. Laorange : Mécanique analytique, 2^ édition, i^^ partie, section VII, § ii.

la pression hydrostatique s'introduit dans ses raisonnements Comme un de ces multiplicateurs qu'emploie le Calcul des variations pour se débarrasser des conditions de liaison ; la définition de cette pression se trouve, par là, intimement liée à la notion de force de liaison.

Insistons quelque peu sur cette définition, car elle a donné lieu à de graves débats dont nous parlerons plus loin.

Imaginons qu'une surface S partage un fluide en équilibre en deux parties A et B ; lorsque le fluide éprouve un déplacement virtuel, les deux parties A et B ne se compénètrent pas; ce déplacement ne saurait donc résulter de n'importe quel déplacement de la partie A, prise isolément, joint à n'importe quel déplacement de la partie B, prise isolément ; le contact de ces deux parties constitue pour chacune d'elles une liaison.

Gardons à la partie A sa forme et sa position ; supprimons la partie B, mais eh laissant inaltérées toutes les forces qui agissent réellement sur A; si, parmi ces forces, il en est qui émanent de B, imaginons qu'elles soient remplacées par d'autres forces exactement égales, mais issues de certains corps non contigus à A.

Débarrassé de l'obstacle que lui opposait le contact de la partie B, le fluide A, en général, ne se trouvera plus en équilibre; la méthode de Lagrange démontre qu'on le remettra en équilibre si l'on applique à chaque élément dS de la surface S une force normale à la surface S, pénétrant à l'intérieur de la région A, et de grandeur II c?S. Le facteur n demeure invariable si l'élément dS tourne

LE PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES fil

autour d'un de ses points ; il représente la pression hydrostatique en ce point.

Lors donc que les deux parties fluides A et B sont en contact, la pression hydrostatique n'agit réellement ni sur Tune, ni sur Tautre ; mais, si, par la pensée, on supprime l'une d'elles pour traiter l'autre comme si elle existait seule, on doit appliquer à celle-ci la pression hydrostatique, afin de remplacer l'obstacle que celle-là opposait à son mouvement.