LE PRINCIPE DE D'ALEMBERT ET LA DYNAMIQUE DE LAGRANGE

Les recherches de Galilée sur Taccéléralion dans la chute des corps pesants, de Huygens sur la force centrifuge dans le mouvement circulaire, ont con~ duit Newton à poser la loi du mouvement que prend un point matériel sous l'action d'une force, donnée d'une manière quelconque. Considérons, d'une part, la ligne qui représente cette force; d'autre part, une ligne dirigée comme l'accélération et égale au produit de celle-ci par la masse du point; en toutes circonstances, ces deux lignes ont même direction et même longueur.

Ce principe suffit à mettre complètement en équations le problème de la Dynamique si, conformément aux règles de la Philosophie newtonienne, on réduit tous les corps à des points matériels exerçant les uns sur les autres des attractions ou des répulsions. Il devient, au contraire, insuffisant si Ton veut, avec Lagrange, traiter des corps de dimensions finies, contigus les uns aux autres et

soumis à des liaisons variées. Il faut alors faire usage d'un Principe dont le précédent n'est qu'un cas extrêmement particulier.

L'invention de ce principe général, propre à mettre en équations tous les problèmes de la Dynamique, fut l'objet de longs et puissants efforts dont Lagrange nous a retracé l'histoire * ; ces efforts aboutirent à la découverte du principe de d'Alembert.

Nous avons considéré, il y a un instant, dans le mouvement d'un point matériel, la ligne qui est dirigée comme l'accélération et qui a pour mesure le produit de la masse par l'accélération ; nous avons vu que cette ligne était sans cesse confondue avec la force.

Sans changer la longueur ni la direction de cette ligne, renversons-en le sens; la nouvelle ligne pourra être censée représenter une force, que nous nommerons force d'inertie. Nous pourrons alors énoncer le principe fondamental de la Dynamique du point matériel en disant que la force qui agit réellement sur ce point est, à chaque instant, égale et directement opposée à la force d'inertie ; ou bien encore que la force réellement agissante et la force fictive d'inertie forment, à chaque instant, un ensemble de forces capables de maintenir le point matériel en équilibre.

Il suffît de généraliser ce dernier énoncé pour obtenir le Principe de d'Alembert.

Prenons un système mécanique quelconque, formé de points matériels ou de corps continus, et