Coordonnées polaires. — Par ajialogîe avec les coordon

CRANDEUfi DES FIGCURS. Il5

nées pokires, planes el dans l'espace, on peut rapporter les figures de l'hyperespace à une figure de référence comprenant un point M,, un rayon Ma passant par le point, etc., iin axe M„ï et un Irope M„| passant par l'axe; les coordonnées polaires d'un point M sont : le moment M, M, le moment réduit du rayon M^ avec le rayon M, M, le moment rédnil de l'élément Mj avec l'élément M^M, etc. On aurait, de même, les coordonnées polaires d'un trope m; ce sont, en renversant l'ordre des éléments de référence, le moment M' m, le moment réduit de l'axe M^ avec l'axe M- m, etc.

168. Paramètres de déplacement des figures. — Pour fixer la position d'une figure, on peut fixer la position de la figure de référence à laquelle elle est rapportée. En coordonnées polaires ponctuelles, on a donc à fixer un point, un rayon passant par ce point, etc. ; en coordonnées polaires tangeniielles, on a à fixer un trope, un axe de ce trope, etc.; on reconnaît ainsi que le nombre des paramètres de déplacement d'une figure est

comme on l'a dit déjà.

On peut remarquer que la figure de référence des coordonnées polaires n'a aucun paramètre de grandeur, mais seulement des paramètres de déplacement.

169. Équationnelles remarquables. — Pour certaines classes de figures, le nombre des paramètres de déplacement est moindre.

En Géométrie ordinaire, l'équation d'une surface en coordonnées polaires est /"(p, 0, w) = o; le nombre des paramètres de déplacement est 3 + 2 + i , pour fixer le point, l'axe, le plan de référence. Si les coordonnées p et 9 entrent seules dans l'équation, on a une surface de révolution : le nombre des paramètres de déplacement est trois, pour fixer le point el l'axe de référence; et en effet, pour une surface de révolution, on a à fixer un point de l'axe et l'axe, et le paramètre de déplacement autour de l'axe fait défaut. Si la coordonnée p entre seule dans l'équation, on a un système de sphères concentriques : le nombre des paramètres de déplacement est trois, pour fixer le point de référence; el en effet, pour un système de spbères concentriques, on a à fixer le

cenlre coinniuii, et les |)avamèlres de dépîacemeiiL aulour d'un point font défaut. [Je ferai, à ce sujet, la remarque suivante ; en Géométrie analytique à deux dimensions, lorsqu'on écrit qu'une conique du genre ellipse a ses axes égaux, si l'on exige que ia conique soit réelle, on a une condition qui se décompose en deux, et la conique est un cercle dépendant de trois paramètres; cela lient à ce que le cercle n'a que deux paramètres de déplacement dans le plan, le paramètre d'orientation faisant défaut. On aurait des faits analogues pour une quadrlque dont deux axes deviennent égaux, pour une quadriqiie dont les trois axes deviennent égaux.]

Considérons maintenant l'hjperespace. Si, dans l'équation d'une équalionnelle en coordonnées polaires ponctuelles, les cf coordonnées relatives aux éléments de référence M, ...M^ entrent seules, on a une équationnelle pour laquelle le nombre des paramètres de déplacement est (n — 1) + ... + /), ces paramètres déterminant la figure de référence; les paramètres de déplacement autour d'un élément M^ font défaut, leur norabre est ^'^ ~ , et le nombre des paramètres de déplacement de la fig„,t, est n{n^p(p~y) L'élément M^ de référence {qin — 3) est lié à l'équationnelle considérée; en Géométrie ordinaire, c'est l'axe de la surface de révolution, ou le centre commun des sphères concentriques.

En appliquant des considérations analogues aux coordonnées polaires tangentielies, on aurait les mêmes éqaalionnelles particulières. Soit d'abord la Géométrie sphérique : la figure de référence pour les coordonnées polaires ponctuelles étant formée du point A et du grand cercle b passent en A, prenons pour les coordonnées polaires tangentielies une figure de référence composée du grand cercle a dont le pôle est A, et du point B qui est le pôle de b ; soient p et 9 les coordonnées ponctuelles d'un point M, et soient A et S les coordonnées tangentielies d'un grand cercle m : ^ est l'angle du grand cercle m avec le grand cercle a, S est l'arc du grand cercle a compris entre le point B et le point oii ce grand cercle est rencontré par le grand cercle m; l'équation p =; const. représente un petit cercle de pôle A, et l'équation langentielle de ce petit cercle est '\ =^ const ; en sorte que, dans ce cas, les équations ponctuelles p = const. et les équations tangen-

Lielles '^ ^= const. représentent les mômes courbes. Dans l'iiyperespace, réquatioDoelle considérée en coordonnées polaires ponctuelles étant rapportée aux éléments M) . . . MJ, on la rapportera en coordonnées polaires tangentielles à des éléments M' . . . M' dont le dernier sera l'élément polaire de M^ par rapport à l'équationnelle directrice ; les paramètres de déplacement dans l'élément M J feront défaut. (Pour les surfaces de révolution dans l'espace réel, UP est l'axe, M^ est la droite à l'Infini dans les plans des parallèles.)

170. On peut définir directement les équationnelles remarquables que l'on vient d'obtenir, et voir que! est le rôle des deux éléments M^M^.

Nous ferons d'abord quelques remarques sur les enveloppes en général. Nous admettrons la notion d'une équalionnelle comme lieu de points ou comme enveloppe de tropes ; le premier point de vue menant au trope tangent, le second point de vue menant au point de contact. Soit maintenant une équalionnelle variable dépendant de /c paramètres ; si l'on prend une position E de l'équationnelle, et /c positions infiniment voisines, les poiuts communs vérifient A+ i conditions : lorsque E varie, avec k paramètres, le lieu de ces points est «ne équationnelle qui est l'enveloppe de l'équationnelle mobile; ou bien, si l'on prend une position E de l'équationnelle, et k positions infiniment voisines, les tropes communs vérifient A: -)- i conditions, etc.

Cela posé, reprenons d'abord les équatioanclles du n° 88 : ce sont, pour la correspondance métrique, les cquationnelles du second degré circonscrites à l'équationnelle de l'infini; le trope des points de contact étant a, le point commun aux tropes de contact étant A, pôle de a par rapport à l'équationnelle directrice, onaff(AIVI)^ const., S(«m)= const.; il en résulte que ces équationnelles font partie de celles que l'on a considérées au n° 169, et correspondent au cas q := i : l'élément MJ est le point A, l'élément M^ est le trope a; elles jouent le rôle de la sphère en Géométrie ordinaire, et leurs paramètres de déplacement sont en nombre n ^ i ; les paramètres de déplacement autour du point A, ou dans le trope <7, font défaut. Nous donnerons à ces équationnelles le nom à' équationnelles cycliques; le point A

sera le centre, cL AM sera le rayon; A. csL le pôle du Irope a qui est le irope de contact avec l'équationnelle de l'infini. On doil observer que les points communs à deux équatiounelles cycliques S + a* = o, S + P" ^ o sont les points d'intersection de la première avec les deux iropes a itz ^ = o ; les points communs à trois équalionnelles cjcliques S-+-a^^=o, S + P^ :^ o, S-|-y':=o sont les points d'intersection de la première avec les quatre axes d'intersection des deux couples de tropes a±|3=:o, «±-[-=^0; les points communs à des équaiionnelles cycliques, en nombre ç, sont les points d'intersection de l'une d'entre elles avec des éléments M^^'i en nombre 2'"'. De même, les iropes tangents communs à des équaiionnelles cycliques, en nombrey, sont les tropes tangents à l'une d'elles menés par des éléments Mp,' en nombre

Considérons maintenant l'enveloppe d'une équationnellc cyclique dont le centre décrit un élément M^, et dont ie rayon est fonction de la position du centre; le trope de contact de cette équationnelle avec l'équationnelle de l'infini passe par un élément fixe M^ qui est l'élément polaire de MJ par rapport à l'équationnelle de l'infini. Cette équationnelle dépend de ^ ^ i paramètres, et pour prendre l'enveloppe on prend q positions infiniment voisines; les points communs, points de contact de l'équationnelle cyclique avec l'enveloppe, sont les points où un élément M^"', coupe l'une des équationnelles : en efiet, l'équationnelle mobile étant S H- a^ ^ o, avec q — 1 paramètres dans a, pour avoir l'enveloppe on élimine ces paramètres entre les q équations

en représenlanl par a',œ", ... les dérivées parlielles'de œ par rapport aux paramètres; on trouve ainsi comme enveloppe, outre l'équationnelle de l'infini S ^ o, le lieu des points S-t-œ^^io, a' ;= o, a" = o, . . . , qui sont les intersections de S -i- a^ = o avec un élément M^~', ; cet élément variable passe d'ailleurs par l'élément M^ par lequel passe constamment le trope a. De même, les tropes tangents communs aux q positions infiniment voisines

de l'équaiionnclle cyc]ir[Lie, tropes de coniact de l'équalionnelle cyclique avec l'enveloppe, sont les tropes tangents à l'une des équationnelles menés par un élément M^*J qui se ment dans l'élément M^ lien du centre A. Or les équationnelles ainsi obtenues comme enveloppes sont précisément celles que l'on a considérées au n" 169; c'est ainsi qu'une surface de révolution est l'enveloppe d'une sphère : les plans des parallèles passent par une drolle fixe rejetée à l'infini, et les sommets des cônes circonscrits à la surface le long de ces parallèles décrivent l'axe de la surface.

171, Remarque sur le plan de cet Ouvrage. — On pourrait commencer l'étude de l'IIyperespace par l'étude de la correspondance métrique; on étudierait ensuite la corrélation. Pour éviter des calculs Ibrmant double emploi, j'ai abordé immédiatement l'étude de la corrélation ; et je pense que la raison essentielle de la possibilité de cette étude immédiate consiste en ce fait que le rapport anharmonique de quatre points sur un rayon, ou de quatre tropes passant par un axe, conserve la même expression, quelle que soit la corrélation dans laquelle on l'évalue; il y a là un élément fondamental er, pour ainsi dire, inattaquable.

172. Remarque sur le nombre des données ■;. — l'our l'étude de la coiTélation initiale, et pour l'élude de toute corrélation, les données sont les y <Jes points de référence 1,2, . . . ,' h considérés deux à deux : ce sont les quantités Yiî. Y^I' • ■ ■ > l'oi's ferons une remarque importante sur le nombre de ces données. Les formules de la corrélation générale sont

d'où il résulte qu'une corrélation dépend de 11- — 1 param en mettant à parties paramètres a\, o^, . . . , le nombre des

mètres peut s'é donuécs-'est^c

"^ X 2. Or, le nom daq„-on.

yGoosle

11 faul en conoliire, non pas que nos calculs se rapportent à une corriilaLion d'une espèce particulière, mais bien que les mêmes calculs se rapporLenl à dilTérentes corrélations; absolument comme les calculs de la Géométrie spbérique se rapportent à une sphère d'un rayon quelconque, lequel n'apparaît pas dans ces calculs. Et la raison est la même au fond dans les deux cas : en Géométrie spliérique, les arcs sont rapportés à une unité qui d'pend du rayon de la sphère, ei dans nos calculs les pseudodistances M JiL, les paramètres 9, et lesquiintîtés A parmi lesquelles sont les coordonnées du point et celles du trope, se rapporlenl à l'équationnelle duuble S; c'est là un Cuit essentiel, qu'on ne doit pas perdre de vue.

173. On peut entrer plus avant dans la queslion. D'une part, une corrélation peut être déterminée : i" par l'équationnelle

double S qui dépend seulement de (« — i)-\ ~ paramètres,

puisqu'elle ne dépend que des coefficients a\ et des sommes «J + a', ; a" par les paramètres B des ■■■-■-- rayons de référence, lesquels dépendent des diirérences «,j — «a,; d'aulre part, les formules que nous étudions ne dépendent que des données y,^, v^i, .,, ou encore elles ne dépendent que des 9 ci-dessus et des pseudo-dislances la, ... ou des rapports anharmoniques (i aûiJ') ... ; il en résulte que, les 8 étant donnés, toutes les équalionnelles S qui donnent les mêmes valeurs aux pseudo-distances 12, ... donnent lieu aux mêmes formules : elles dépendent de n — 1 paramètres arbitraires. Ainsi, pour une corrélation quelconque, on prendra un poiytrope de référence 1,2, ..., n et l'on se donnera les y de ses points considérés deux à deux; les

— ^ paramétres seront déterminés, ainsi que les — — ~

pseudo-dislances telles que la, ou encore les rapports anharmoniques correspondanls relatifs à l'équationnelle double S; on se donnera à volonté (n — 1) points sur les (n — 1) rayons issus d'un sommet de référence, on assujettira l'équationnelle S à passer par ces points, et l'on imag;inera qu'elle est alors déterminée de manière à donner aux —^ — ~ rapports anharmoniques dont il

vient Ll'êlre qiieslion les valeurs ([ii'ils doivenl avoir ; quels que soient les (/* — i) poinis pris sur les raj'ons, les calculs relalifs à la corrélation définie par l'équalionnelle S et par les paramètres 9 resteront les mêmes; on pourrait d'ailleurs, la quadrlqire S étant choisie, au lie» de donner les quantités 0, donner sur chaque rajon le point conjugué de l'une des extrémités.

174. Nous ferons encore la remarque suivante : Un poljlrope dépend de n(n — i) paramètres; dans une corrélation donnée, il est entièrement défini par les pseudo-distances des sommets considérés deux à deux, et les paramètres 9 des rayons, ou encore par les y des sommets considérés deux à deux; ou peut le définir également par les pseudo-angles des tropcs considérés deux à deux, et les paramètres des axes, ou encore par le F des tropes considérés deux à deux; on peut enfin le définir par les pseudodistances des sommets et les pseudo-angles des laces. En parlicnlier, dans le cas de la Géométrie plane, un triangle peut être défini par ses pseudo-côtés et ses pseudo-angles; or, malgré cela, on a les relations

T(BC) 7(CA)^ i(Ali) ,

X(/jcj Xica) Xi^ab)'

cela tient à ee que les fonctions t et iJ dépendent des paramètres 8 et».

17S. Cas particulier. — Dans une correspondance par polaires réciproques, on pourrait prendre comme figures de référence un poljtrope autopolaire, les faces étant transformées des tropes. On aurait alors Yu = o, . . . , F'- ^=0, . - . , A' := A" = . . . ^= /*" = 1 ,

cos(MA|)^rr k' = ^i, cos{ /Ha') =^ K| ^ «1, et les formules avec des X et des u deviendraient des formules avec des X seuls :

yGoosle

LlBRAÎRIl- (lAUTHlER-VILLARS Eï FILS,

i.H'M riES finANDS-Al'GUSTIKS, 55, A PARIS-

(Cb.)- Professeur à l'École Centrale et au lycée Condorcet, Répétiteur b. l'École Polytechnique. - Cours de Géométrie descriptive, a vol. gi-and in-8; 1891.

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