I -f(DB) -f(DC

et doux formules analogues; en ajoutant les liois forir -t{D, A)j(1!,C).y{DA,IïC)h-... + ... = o, On aurait une relation analogue pour qualrc iropes.

163. Les i principaux daas une correspondance P. — Lorsciue la corrélaLion esL une correspondance par polaires réciproques, les A principaux relatifs à deux éléments M^ M^ sont les raasima et les minima de la quantité i{M;A), M étant nn point de l'un des éléments et ^L un trope passant par l'autre; ou encore les masiina et les minima de o-(M3iL) ou de S(m|i). C'est ainsi que, en Géométrie ordinaire, le moment de deux droites est le produit de leur plus courte dislance par le sinus de l'angle maximum que font deux plans passant par ces deux droites. Ajoutons que, comme il s'agit ici de maximaei de minima relatifs à plusieurs variables indépendantes, ces mots doivent élre pris dans un sens particulier : la fonction z^z=f(^x,y) étant représentée par une surface en coordonnées cartésiennes, il y a maximum ou minimum pour 3 aux points où le plan tangent est parallèle au plan des xy, même lorsque, les courbures principales en ce point étant de sens contraires, le plan tangent traverse la surface; il y a alors maximum ou minimum pour 3 quand on chemine sur la surface le long d'une courbe non tangente à une asymptote de l'indicatrice du point.

En effet, si l'on se reporte au n" 102, on a

A{Mij) = A, /r'4(M, |j.')-l-/:,r i(M, [i')-!- ...

c ies relations

d'abord les coefficients /r,,

A, + (;-,cos(M,M,H-..

et des relations analogues en faisant varier ies eoeflicicnts A', Or, ces relations sont identiques à celles du n" 102, |)arce que les y et le r sont ici des cosinus.

16i. Correspondance métrique M. — En conservant une for-

lionnelle jiarLiciiiière, que nous appellerons Véguationnelle de l'infini, et appeler distance de deux points la quantité qui était dans le cas précédent la pseudo-distance, et angle de deux tropes la quantité qui était le pseudo-angle; la correspondance par polaires réciproques relative à cette équalionnelle est alors la correspondance métrique M. Pour prendre la distance d'un point M à un trope |Jl, on prend par exemple le pôle X du trope par rapport à l'équationnelle, le rayon Sfî^M rencontre le trope en un point 311., et l'on a la distance Mail.

Dans l'espace réel, en Géométrie non euclidienne, îl existe sur chaque droile ou rayon deux points à l'infini qui sont les points où la droile rencontre la sphère de l'infini, et il passe par chaque droite ou axe deux plans isotropes (de coordonnées infinies) qui sont les plans tangents à la sphère de l'infini menés par la droite. Si l'on mène par une droite un plan m et le plan perpendiculaire «', les plans m et les plans n! forment une involiition dont les plans doubles sont les plans isotropes de la droite, et l'on a le paramètre --; je laisse de côté le fait corrélatif, en faisant observer que la réalité des points à l'infini sur une droite, et l'imaginarité des plans isotropes passant par une droite, amènent une difl'érence physique entre les propriétés de la di-oile considérée comme rayon et celles de la droite considérée comme axe : en Géométrie sphérique, le rayon (grand cercle) et l'axe (système de deux points) sont entièrement comparables, et l'involution sur chaque grand cercle de deux points séparés par un quadrant a ses points doubles imaginaires, absolument comme l'involution autour de chaque point de deux grands cercles perpendiculaires a ses éléments doubles imaginaires.

"163. Figures égales. — Dans une corrélation C, lorsqu'on donne les y des points d'un polytrope considérés deux à deux, en tenant compte de l'ordre, on a n{n — i) quantités qui déterminent le poiylrope en position.

Relativement à la correspondance métrique, si l'on donne, pour un polytrope, les cosinus des dislances des sommets considérés deux à deux, on a seulement " ■ ^'^ ■ ~ .l- données, et nous dirons qu& le polytrope esl défini en grandeur : sa position dépend dr

- — paramètres; les cosinus des angles des faces considércSes

deux à deux sont connus et, d'une manière générale, routes les quantités considérées au Chapitre I pour le polytrope de référence sont déterminées. On peut définir un poljtrope en donnant les cosinus des angles des faces considérées deux à deux, comme on définit un triangle sphérique en donnant ses angles.

On peut donner les (n — i) arêtes issues d'un point, avec le poljtrope d'ordre n — i que forment ces arêtes ; le nombre de ces données est ■ ^"~ ''^"~ '' i + («!)— "■^"■~l) .- c'est ainsi qu'un

tétraèdre peut être donné par trois arêtes et le trièdre qu'elles forment; à cela se rattache la première formule du n" 152. On aurait des données corrélatives.

Cette remarque en amène une autre. Pour définir un tétraèdre, on peut donner trois arêtes issues d'un point et le trièdre de ces arêtes; or, ce trièdre lui-même est un poljtrope en Géométrie autour d'un point, el, pour le définir, on peut donner deux angles et le dièdre compris ; on peut donc définir un tétraèdre en donnant trois arêtes DC, DB, DÂ, deux angles (DC, DB) (DC, DA), et un dièdre (DGB, DCA). D'une manière générale, pour définir un poljtrope dans l'hjperespace, on peut donner (n — i) arêtes, {n — a) angles de rayons ajant un point commun, etc.; le nombre de ces données est -'"~ -li- On a pour un tétraèdre la formule

GV = nC.DB.DA X sin(UC,DB).si;i(DC, DA) x Bm(DGB, DCA),

et l'on aurait ime formule analogue pour un poljtrope. On pourrait prendre des données con-élatives.

166. Deux figures sont égales lorsque, rapportées à deux poljtropes égaux, elles ont mêmes coordonnées pour les points correspondants. Le nombre des paramètres de déplacement d'une figure

est On peut faire sur ces paramètres de déplacement des

remarques qui doivent être précédées de notions sur les coordonnées polaires.