On a facilement

le moment du second membre étant celui de l'élément AJ défini parles points et de l'élément Aj défini parlestropes, parce qu'on prend i(A;, a'); on aurait une formule semblable avec hi et ï|i,.

Cette formule donne une propriété du moment de deux éléments de référence dont l'un esl délini par des points et l'autre par des Iropes; les deux formules du n° 7 sont relatives à deux , éléments définis tous deux par des points ou tous deux par des tropes. L'élimination de Ti.r ferait retrouver les premières formules. du n" 6.

yGoosle

9. Derniers éléments métriques. — Dans un Lclraèdro, on pnuL étudier ce gui se passe autour d'un sommet ou d'une arête, dans une face ou sur une aréle, autour d'im sommet dans une face. Dans un polytrope, on peut étudier ce qui a lieu autour d'un élément Aa qui sera kf, dans un élément AP qui sera A", les deux suites F et H n'ayant pas d'indice commun. On posera

Un élément A^tp passant par Aa et situé dans AP sera A'^{, et od aura P + Q ^= N ; les I et les J variant, on a un système comparable à un polytrope.

Le moment réduit Aes> deux éléments A[", A°J qui ont Ap inscrit commun, A" circonscrit commun, sera la quantité '1"^'" clélinie par les relations équivalentes (n° 6)

{— I)''''FI''FJT1F1,FJ = "PfFiJ, ( — i)^''S]]j2l[l'^"^''" = S|i ShJ[,

tous les indices étant dans l'ordre naturel. On peut placer d'abord les F ou les H. Quand on cbange l'ordre des deux éléments, le moment réduit est multiplié par ( — i)''". Pour un seul indice /, onao'/^ I et la formule de gauche se simplifie; de même, etc. On remarquera les deux cas suivants :

1° S'il n'y a pas d'indice/, c'est-à-dire si les deux éléments n"ont pas d'élément inscrit commun et sont seulement dans un élément circonscrit commun, on a un moment non réduit, défini par la relation

(,)l,J5iajTjlj =<rjj,

qui est entièrement comparable à une relation du n" 7; l'autre relation donnée plus haut avec des S reste la même : on l'obtient par les premières formules du n" 6.

2° S'il n'y a pas d'indice /i, c'est-à-dire si les deux éléments n'ont pas d'élément circonscrit commun et sont seulement autour d'un élément inscrit commun, on a

que l'on transformerait par les premières formules du n" (>. Si l'on cchanee let J dans la dernière formule et si l'o

suppose

yGoosle

dans [es deux formules un seul indice i, on a ( l)f,L-i a^^r,ix-i ^ œl, (-■)'.i.-'Sl-,-V''-'-2l,

la notation L — i indiquant les indices L autres que i. Pour deux indices L, on a sur un rayon ou autour d'un axe

en sorte que le moment de deux points ou de deux tropes de référence est leur o- ou leur S dans lequel on met les indices dans l'ordre où l'on prend les deux points, tandis qu'ils sont supposés ici dans l'ordre naturel.

S'il n'y a ni indice/, ni indice A, on a tjÎ^;^ ^^ Vr et l'on met seulement les indices du second élément.

On doit remarquer que les moments sont des moments d'éléments dirigés, autour d'éléments dirigés Ap, dans des éléments dirigés A".

On a supposé les indices des a toujours rangés dans l'ordre naturel; on aurait uiUj-iiij ^a-y, si l'on mettait dans le dernier a-, d'abord les indices I puis les indices J dans le même ordre qne dans les deux premiers (n" 108); on l'a dit plus haut dans le cas d'un seul indice i'el d'un seul indice/.

On pourrait démontrer ici le théorème des quatre éléments (nM28).

Nous observons ici qu'on peut considérer :

i" La Géométrie générale, donnant lieu à des moments d'éléments associahles ; il n'y a alors ni F ni H. Le polytrope a des points et des tropes.

2" La Géométrie autour d'un élément Ap, ou dans un élément A", donnant lieu à des moments non réduits. Le polytrope a des tropes ou des points.

3" La Géométrie autour d'nn élément A,,, dans un élément A", donnant lieu à des moments réduits.