III

Il semble que l’origine de la théorie des nombres est à trouver, soit dans l’habitude de représenter les choses et en particulier les nombres par des points pla-

23) ARISTOTE à remarqué plus d’une fois la tendance des Pythagoriciens à faire sortir leur physique de leur morale. Cf. De coelo, II 13 293 a 25-30; Met., I, 5 986 a 3-22 (Cf. HæïDrL, p. 387). Voir dans SiMpzicius, Phys., 181, 10; 173, 11; PLur. De Isis et Osiris, 48.

24) Fr. 6: «… Aucun des êtres existants que nous connaäissons ne pourrait naître, si l'essence des choses dont est composé le monde n’était composée d’éléments déterminants et d'éléments indéterminés. Et puisque ces principes fondamentaux ne sont ni semblables ni de même nature, il ne serait jamais possible d'organiser le monde, si l'harmonie n’était intervenue d’une manière quelconque. Les choses semblables et de même nature n'ont nul besoin de. l'harmonie, mais les choses différentes qui n’ont ni même nature ni même fonction sont nécessairement rattachées par cette harmonie pour pouvoir constituer le monde. »

cés symétriquement #), de telle façon que ces nombres sont apparus comme une délimitation %), c’est - à - dire une définition 27), soit dans l’explication du principe de l'harmonie par les rapports numériques entre les longueurs des cordes de la lyre #8). Ainsi les nombres sont des moyens de définir, non seulement les choses en ellesmêmes, mais leurs rapports, de telle sorte que les propriétés des premiers correspondent à celles des secondes. On comprend alors comment le dualisme du déterminant et de l’indéterminé est de même ordre que celui du pair et de l’impair #). Ainsi de l'indéfini amorphe des Ioniens, on en est arrivé à l’illimité quantitatif. L’infini, ce dans quoi les choses se forment, peut donc se concevoir comme l’indéfiniment divisible ou comme une multiplicité croissante, de même que les choses sont les

25) Les Pythagoriciens en arriveront en effet à distinguer les nombres carrés, surfaces dans lesquelles H4 longueur est ‘égale à la largeur, les nombres hétéromèques ou rectangulaires, surfaces dans lesquelles les deux dimensions sont différentes. De même le point était défini par l’unité, la ligne par le nombre 2, la surface et le triangle par 3, le carré et le volume par 4. Cf. ARISTOTE, Met, VI 11 1036 b 12 (REY rapporte ceci à unie con« ception archaïque du pythagorisme, p. 394).

26) ARISTOTE, Met, XIV, 3, 1090 b 5; De anima, 1 ‘2 404 b 18, etc. Voir ZELLER, p. 512.

27) Cf. GoMPERZ, p. 115; RoBIN, p. 70-71.

28) L’octave était définie par deux cordes dans le rapport 2/1, la quarte par le rapport 4/3 et la quinte par le rapport 3/2. Plus tard on complètera cette théorie en remarquant que deux iotes séparées par un ton sont dans le rapport 9/8, -que l’oétave équivaut au produit de la quarte par la quinte 4/3x 3/2, soit 12/6 ou 2/1, que le dièse lui-même équivaut à un rapport du même genre: le quotient de la quarte par le produit de deux tons: 4/3: (9/8)2, soit (4X 64): (3xX81) ou 256/243. Du reste les cordes du tétrachorde étaient en effet établies d’après ces rapports puisqu’elles correspondaient respectivement aux nombres 12 (l’hypate), 9 (la mèse), 8 (la trite) et 6 (la nète). De là sortira Ja théorie de la moyenne harmonique: la différence entre 12 et. 8 d’une part, entre 8 et 6 d’autre part sont toutes les deux le quotient de 12 et de 6 par le même nombre 3 (cf. ARCHYTAs, AT: 2 (D.V.. 35 B 2). Voir ZELLER, p. 510, n. 4; REY, p. 294.

29): C. ARISTOTE, Met., I 5 986: a 17; Phys., III 4: 203 a 19...