LES LOIS MATHÉMATIQUES

Apres les lois logiques, ce sont les lois mathématiques qui apparaissent comme les plus générales. Il semble, au premier abord, qu'elles sont, elles aussi, parfaitement claires, et qu'il est superflu de poser la question de leur intelligibilité. N'est-ce pas à elles que s'est. adressé Descartes, quand il a cherché le type de l'évidence? Cependant, pour établir la valeur etTective des mathématiques, ce même Descartes a cru nécessaire de recourir à Timmutabilité et à la véracité divines. D'autre part, toute Técole empiriste met en doutela certitude propre des mathématiques. Et l'on peut dire que la distinction de la logique et des mathématiques est un fait de la vie commune ; à voir l'inaptitude mathématique de certains dialecticiens, d'ailleurs fort subtils, et réciproquement, il semble qu'il y ait là deux manières de raisonner très différentes l'une de l'autre. Ces considérations nous invitent à examiner la nature de la certitude mathématique.

Pour une école de philosophes, les mathématiques sont une simple application, une promotion particulière de la logique générale, ainsi que s'exprimait Leibnitz. S'il en est ainsi, la différence entre les lois mathématiques et les lois logiques n'est pas essentielle: celles-ci sont seulement plus générales que celles-là ; il n'y a rien dans les premières qui ne soit réductible

aux secondes. Pour d'autres, au contraire, conformément à la doctrine de FCant, ces deux espèces de lois sont irréductibles l'une à l'autre ; il y a, dans la liaison mathématique, quelque chose de plus que dans la liaison logique. Or, les spéculations des mathématiciens nous paraissent, en général, plus favorables à la seconde thèse qu'à la première.

Qu'y a-t-il de nouveau dans les mathématiques, comparées à la logique? D'une manière générale : l'intuition. Qu'est-ce donc qui caractérise l'intuition mathématique?

La logique, si l'on y prend garde, suppose un tout donné, un concept dont elle se propose l'analyse; elle admet, dans ce concept, des éléments juxtaposés, et ne détermine pas le lien qui les unit les uns aux autres. Les mathématiques, au contraire, font une œuvre essentiellement synthétique ; elles posent les rapports que la logique suppose; elles créent un lien entre les parties d'une multiplicité, elles marchent du simple au composé; elles engendrent elles-mêmes le composé, au lieu de le prendre comme donné. L'intuition mathématique est donc bien quelque chose de nouveau ; mais n'est-elle que cela?

Déjà dans la logique du concept, en tant qu'on la distingue de la logique véritablement pure, la notion du général vient embarrasser l'entendement, en quête de parfaite intelligibilité. En mathématiques, il y a plus. Les définitions fondamentales ne sont pas de simples propositions. En une définition mathématique sont souvent condensées une infinité de définitions. Par exemple, dans la numération, on prend l'unité pour point de départ; puis on forme les définitions suivantes: 2=i-^l,3=2^-l,4 = 3-^L etc.

ou, d'une manière générale, « -H 2 = « 4- 1) -h l , «-f- 3 = («5-f- 2) -i- 1, «4-4= (rt -t- 3) + 1. Après avoir formé ainsi les définitions des premiers nombres, on ajoute : etc. Qu'est-ce que cet etc.^ sinon l'idée d'une infinité de définitions analogues à celles qu'on a créées? Or, cette infinité, l'arithméticien la condense dans la formule suivante : 6? -h b= a -h (à — 1)+ 1, définition contenant en elle un nombre infini de définitions. []n tel concept est plus qu'une nouveauté, par rapport au concept purement logique : c'est déjà une déviation de la parfaite intelligibilité.

Il en est de même pour les démonstrations. Les mathématiques exigent, en maint endroit, un mode de raisonnement qui est autre que la déduction logii^ue. Il consiste à généraliser avec force démonstrative le résultat d'une démonstration particulière. C'est ce que Ton voit dès la théorie de l'addition, fondement des mathématiques entières. Soit à démontrer que a | 1 = 1 -I- <2. Je fais d'abord a = i et j'ai 1 -h 1 = t -\- 1, par identité. Ensuite, je prends un délour, et je dis : supposons que (a — i) + 1 = i -h (a — 1). Si cette supposition est admise, en ajoutant 1 à chacun des deux membres, nous avons (a — i)H- 1-hl = 1 + (a — 1) -\- i, ce qui, en retranchant les termes qui s'annulent, donne précisément « + 1 = 1 -+- «. Nous avons supposé {a — 1) -+- t = 1 + (« — 1). Mais appelons [a — i): a, et nous sommes ramenés au problème précédent. Nous pouvons donc poursuivre ainsi jusqu'à ce que nous revenions au cas où a = 1. On appelle ce mode de démonstration raisonnement par récurrence. C'est, on le voit, une démonstration qui contient un nombre de démonstrations aussi grand que l'on voudra, puisque a peut être supposé

aussi grand que l'on veut. On raisonne de même en un grand nombre de cas, par exemple pour démontrer que la somme de plusieurs nombres impairs consécutifs depuis 1 est égale au carré de leur nombre. Ce raisonnement est une sorte d'induction apodictique. Il y a induction, car la démonstration porte ici tout d'abord sur le particulier, et la généralisation ne vient qu'après. Et l'induction est apodictique, puisqu'elle est étendue à tous les cas possibles. Or, au point de vue logique, il est étrange qu'une généralisation puisse ainsi être conçue comme nécessaire ; et, si l'on est ici obligé d'unir ct s deux mots qui se repoussent presque, c'est donc que les mathématiques, non seulement ne sont pas une simple promotion de la logique, mais n'en diffèrent môme pas simplement comme la synthèse diftère de l'analyse. L'intelligibilité mathématique implique déjà quelque modification de l'intelligibilité logique.

S'il en est ainsi, quelle est l'origine des lois mathématiques? Si elles étaient connues entièrement a priori^ elles présenteraient une parfaite intelligibilité. Or, elles impliquent des éléments impénétrables à la pensée. On est forcé de les admettre; on ne peut pas dire qu'on les voie clairement découler de la nature fondamentale de l'intelligence. Elles ne peuvent non plus être rapportées à la connaissance a posteriori, car elles ne portent que sur des limites. Or, une limite ne peut être saisie empiriquement, puisque c'est le terme purement idéal vers lequel tend une quanlilé qui est supposée croître ou décroître indéfiniment. Les lois mathématiques supposent une élaboiation très complexe. Elles ne sont connues exclusivement ni a priori ni a posteriori: elles sont une création de l'esprit; et celle

création n'est pas arbitraire, mais a lieu, grâce aux ressources de l'esprit, à propos et en vue de l'expérience. Tantôt l'esprit part d'intuitions qu'il crée librenient, tantôt, procédant par élimination, il recueille, les axiomes qui lui ont paru le plus propres à engendrer un développement fécond et exempt de contradictions. Les mathématiques sont ainsi une adaptation volontaire et intelligente de la pensée aux choses ; elles représentent les formes qui permettront de surmonter la diversité qualitative, les moules dans lesquels la réalité devra entrer pour devenir aussi intelligible que possible.

Telle est la nature et le degré d'intelligibilité des lois mathématiques. Que s'ensuit-il, en ce qui concerne leur objectivité? Pour Descartes, les mathématiques sont réalisées telles quelles au fond du monde sensible ; elles constituent la substance même des choses matérielles. Après Descartes, ce point de vue a été de plus en plus limité et contesté, et le positivisme d'Auguste Comte a résumé les résultats de la critique en professant que le supérieur ne se ramène pas à l'inférieur, et qu'à mesure qu'on veut rendre compte d'une réalité plus élevée, il faut introduire des lois nouvelles douées d'une spécificité propre et irréductibles aux précédentes.

Les lois mathématiques, considérées en elles mêmes, paraissent impropres à être réalisées, car elles impliquent le nombre infini ; or, un nombre infini actuel est chose absolument inconcevable. A cet écueil vient se briser tout système de réalisme mathématique.

Mais, dira l'idéaliste, ce qui rend la réalité du nombre infini inconcevable, c'est qu'on veut l'actualiser comme substance. Si l'esprit est la seule réalité, et si les choses ue sont que la projection et la ri présenta-

lion de ses actes, les lois malhémaliques peuvent être conçues comnie réelles, en tant qu'elles sont, au sein de l'esprit lui-même, lefondement du mondedesreprésenlations.A ridéaliste nous répondrons que son système est mal justifié. Pour quenous pussions voir dans lesmalhématiques l'objectivation de la pensée elle-même^ il faudrailqueles lois en fussent parfaitement intelligibles; or l'esprit n'arrive pas à se les assimiler sans se faire quelque violence. D'ailleurs, nos mathématiques représentent une forme particulière de la mathématique; d'autres sont possibles, et, si nous tenons à celles-ci, c'est uniquement parce qu'elles sont plus simples, ou plus commodes pour comprendre les phénomènes extérieurs. Comment Tidéaliste fera-t-il le départ de ce qui est absolument nécessaire et de ce qui pourrait être autre dans le développement des mathématiques?

Il existe, semble-t-il, un moyen de maintenir l'objectivi'é absolue des mathématiques, en dépit des difficultés que la réalisation de l'infini présente à rintelligence: c'est de dire que la loi du réel est précisément l'illogisme et même l'identité des contradictoires. Mais ce que l'on concevrait alors comme réalisé serait autre chose que les mathématiques comme telles, puisqu'elles ont été instituées précisément pourlever autant que possible les contradictions que présentent Icâ phénomènes.

Selon d'autres, la substance des choses nous échappe, mais les lois mathématiques en représentent la forme, les relations ; elles sont ce qu'il y a de commun entre nous et la réalité extérieure. Telle fut, par exemple, la doctrine d'Ampère. Cette conception est simple et claire, mais artificielle. Car la forme et le fond des choses ne se laissent pas séparer ainsi radicalement. Si l'on connaît parfaitement la forme des choses, on

n'en ignore pas absolument la nature. La séparation de la matière et de la forme n'est que logique, elle ne saurait être réelle. Donc, non seulement les lois mathématiques ne sont réelles ni au sens substantialiste, ni au sens idéaliste ; mais elles n'expriment pas même exactement une forme des choses réellement séparable de leur matière. El cependant on ne peut pas dire que les mathématiques soient une pure convention, un simple jeu de l'esprit. C'est un fait que les mathématiques s'appliquent à la réalité. Mais en quel sens et dans quelle mesure? C'est ce qu'on ne peut déterminer a priori. Tout ce qu'il est permis dédire^ c'est que, l'homme n'étant pas une anomalie dans la nature, ce qui satisfait son intelligence ne doit pas être sans rapport avec le reste des choses. On peut donc conjecturer une correspondance des lois mathématiques avec les lois des choses ; mais c'est l'examen des lois propres et concrètes de la nature qui nous apprendra jusqu'à quel point les lois mathématiques régissent effectivement la réalité.

Quelle est enfin la signification des mathématiques en ce qui concerne la nécessité qui peut régner dans le monde? Ces lois sont encore bien voisines de la nécessité absolue ; mais elles sont aussi bien éloignées des choses et de la réalité même. Et s'il n'est pas douteux qu'elles n'aient déjà avec l'être un rapport plus étroit que les lois logiques, on ne peut dire qu'elles y introduisent l'absolue nécessité, car déjà elles ne comportent ime déduction rigoureuse que grâce à des axiomes imparfaitement intelligibles et combinés par l'esprit en vue de cette déduction même. Dans quelle mesure la nécessité qui leur est propre règne-l-elle dans les choses ? C'est ce que nous apprendra la con-

frontation des lois physiques avec les lois mathématiques. C'est donc à l'étude de ces lois qu'il nous faut maintenant nous appliquer. Nous examinerons dans la prochaine leçon les lois mécaniques et l'idée de force.

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