INTÉRÊTS COMPOSÉS
Lorsqu'on place un capital, il rapporte uo intérêt qui varie suivant les conventions, c*est le loyer de Targent; ainsi, en désignant par la lettre C le capital, il rapportera chaque année une certaine somme.
On a pour habitude de désigner Tintérét pour chaque 100 francs placés; c^est ainsi que Ton dit qu'un capital est placé à 4, 5 ou 6 p. c, suivant que chaque centaine de francs rapporte 4, S ou 6 francs par an.
Dans cette étude, nous désignerons par r l'intérêt convenu, de telle sorte que pour 4 p. c, r == 0,04; pour S p. c, r = 0,05 et ainsi de suite, r étant l'intérêt rapporté par 1 /ranc.
Il sufSt, pour connaître l'intérêt à percevoir au bout
d*une année pour un capital C, de le mullipiier par r, et Ton trouvera r C pourTintérêt à recevoir.
En désignant par C la somme due à la fin de la première année, on aura :
ou ce qui revient au même :
Si, à r^x{)iratioD de Tannée, le déWteur paye Tintérét r C, il ne devra plus que le capital C, et ainsi de suite d*année en année.
C'est ce que Ton appelle Tintérét sinpple. Nous avons déjà examiné les principaux problèmes qui résultent de cette manière de compter l'intérêt.
Mais si le débîtenr, ai lieu de payer l'intérêt, le conserve, la somme qu'il devra se composera non-seulement du capital C, mats de Tintërêt r C.
L'année suivante, il devra payer les intérêts sur le capital primitif et sur les intérêts qu'il n'aura pas acquittés.
S'il continue h garder ainsi les intérêts et les intérêts des intérêts, il devra une somme qui ira toujours en angmentant, somme qui finirait par acquérir d*assez fartes proportions.
Cette accumulation s'appelle intérêts composés.
Il s'agit de connaître toutes les circonstances qui prennent nai^ance par suite des intérêts composés.
tlfTÊRÉT DB L'jmCGVrr. 47
La formule qai sert à résoudre ce geure de problèmes est fort simple la TOicî (1) :
S = C (1 + r)\ Si pour plus de facilité encore nous faisons
(i) La démonstration de cette formule est fort aisée : Si Ton place un capital G à l'intérêt r, au boit de rtmiée la dette sera devenue C -«^ r C; nommons C ce nouveau capital, on aura l'équation
d'où
C rr: C (i -♦- r).
Par la mène raison, le capital C* deviendra C -4- r C% et en lommant C le capital à l'expiration de la deuxième année, on aura :
et en remplaç&iA G' par sa valeur, il viendra :
En poursuivant ce raisonnement, on aura à l'expiration de la troisième année :
et ainsi de suite jusqu'à la n« année, qui donnera
Si nous nommons S ce que sera devenu le capital G augmenté des intérêts, nous aurons :
et si l'on fait R = (4 -4- r)^*, on aura :
nous aurons les deux formules suivanies, qui nous permettront de calculer toutes les circonstances relatives à celte sorte de problèmes.
R = (1 -f f)H . . . . . (IV) S-=RC (V)
Voici la signification des lettres qui entrent dans cette formule :
r Taux de l'intérêt.
" Nombre d'années écoulées.
C Capital comptant.
S Somme due à l'expiration de la dernière année.
R Nombre déterminé lorsque r et n sont connus.
R est une quantité qui se représente constamment dans tous les calculs relatifs à l'intérêt composé; elle représente (i -{- r)** qui demande un calcul assez long lorsque le nombre d'années devient un peu considérable.
Cette quantité R est ce que devient 1 franc placé à l'inlérêl r pendant un temps n; en effet, si dans l'équation (V), on fait C = 1, on trouve S = R = ( 1 + r)\
R revenant constamment dans les calculs, nous avons cru utile d'inscrire un tableau donnant sa valeur d'année eh année, pendant une période d'un siècle, pour les taux d'intérêt le plus en usage.
Nous avons marqué à part chacun des taux d'intérêt, afin d'éviter la confusion qui naît parfois des tableaux trop compliqués, et comme on aura fréquemment à les consulter, nous les avons mis à la fin du volume, pour les avoir plus aisément sous la main.
INTÉRÊT DE l' ARGENT. 4d
PROBLÈMES D*INTÊRÉT COMPOSA,
Tous les problèmes dMnlérêl composé trouvent leur solutioD par la formule lii simple que nous avons démontrée et que nous rappelons ici :
Nous ferons remarquer que, dans cette équation, il existe quatre quantités S, C, r et n ; dose, lorsque trois d'entre elles seront connues, on pourra déterminer la quatrième; cela donne naissance à quatre groupes de problèmes que nous allons successivement passer en revue.
Déterminer S lorsque C, r et n, sont connus.
Foroiules:
R = (l+r)- (IV)
S = RC (V)
On peut remarquer que R désigne ce que devient un franc placé à riotérét r pendant n années. C*est ce qui se voit en faisant C <» 1, car dans ce cas S =» R.
13" problème.
Que devient un franc, placé à 5 p. c, pendant quatrevingt-dix ans? — Réponse : francs 80,73.
Dans ce cas C =z 1 ; r = 0,05; n = 90 et la formule (V) devient —
• S 1= R =r(l,ÔSr
50 INTtliÉT w L*AliG^r.
Ce nombre est facile à calculer par logarithmes ; mais il est plus aisé encofe d*avoir recours à la table des valeurs de R qui se trouve à la fin du volume.
En effet, h la page marquée 5 p. c., en face de n =r 90, on trouve 80,73, qui est la réponse cherchée.
SI rintérêt n*eût été que de 4 p. c, en ligne du même nombre quatre-vingt-dix ans, on eût trouvé qu'un franc, placé à 4 p. e. pendant ce temps, deviendrait francs 34,i!2 et aiD$i d€i sitite» pour tous autres ebiffres reiatife à Tintéfét pendant «0 nombre n d*aAnées.
14" problème.
Que deviennent 100 francs placés à 5 p. c. dMntérét compo3é pendant quatre-vingt-dix ans? — Réponse : 8073 francs.
Il est aisé de conclure que, si un franc pbioë à K |^. c. pendant quatrervingtdix ans, rapporte francs 80,73, une somme de 100 francs, placée d^nsles mêmes circonstances, rapportera cent fois autant, soit 8073 francs.
U est évident, en effet, que si le produit d'un fi'anc >^t codnn^ l'on peut en déduire par une simple multîplicacion le produit d'un câ|)ital ^ueleoM^ue; e^è^t ce qu'indique l'équation (V).
s = ac.
de la celle règle fort 3lïnple : ;
Cherchez à l'aide de la table le nombre B, m% correspond aux conditions d'inté0;êt r^ et ^ temps n; multipliez ce
miOKÈX DB L* ARGENT. 51
nombre par le capital C placé comptant^ et vous trouverez ce que devient ce captUd à texpiràtion de la 0*""" année.
15« problème.
A la Missance d*uQ enfant, on place fOOO francs à rintërêt de fi p. c; on demande ce que deviendra cette sonnie par l*aecunaula(ton de$ intérêts tors de sa najori^à vingt et mn ans accomplis?— Réponses fr. 3785^90-
Le tableau donne R ^ 2,7859, d'oà
lO** problème.
Un jeaoe commerçant débute avec un capital de 6000 francs, et cliaque année il réalise net 10 p. c. par an, tous firais déduits; on demande quelle sera sa fortune au bout de trente et une années? — Réponise : fr. 115165,80.
La table, 10 p. c., donne pour R, en la ligne trenfte et un ans, lé cbîffrè 19,1945, donc :
Cet exemple rend comfite psirla puissance de Tintérét composé, qui est ici représenté par le bénéfice du négociant, CdiDttent il se fait que le commearce «nricbil ceux qui s'y livrent. On voit ^ei qu'un simple cafpital ée 6000 francs avec les bénéfices accumulés petiihlot (rente et tmaiis, pradoit au delà de 100 000 fraies.
52 INTÉRÊT DB l'ARGEMT.
47* problème.
Un ouvrier ayant épargné une somme de 1000 francs qu*il emploie à un commerce rapportant net 10 p. c, et ce commerce se continue de père en fils pendant un siècle rapportantchaqueannée des inventaires de 10 p. c, on demande quelle sera la fortune de cette famille à l'expiration de là période de tenïps indiquée?~Réponse : 13 781000 francs.
La table donne à 10 p. c. pour 100 ans
d'où par la formule (V)
Ainsi, une modique somme de 1000 francs, employée à 10 p. c. pendant un siècle, produit une somme énorme dépassant 13 millions de francs; c'est ce qui rend parfaitement compte de ces grandes fortune industrielles lorsque la maison passe de père en fils> tel que cela a eu lieu pour le commerce des étoffes en Alsace, des métaux à Paris, etc.
' ^ iS^ problème.
Un procès, relatif à un héritage de SOOOO francs, vient de se terminer; lorsqu'il a comnmncé, il y a de cela soi}tante-quinze ans, on a déposé cette somme, rapportant 4 p« c. d'intérêt; on demande quelle est ae-
tlffâHÊT DE L*ARUmT. 53
tuellement rimportance de cette succession? — Réppn^: 947 265 francs.
En effet, à 4 p. c. pendant 75 ans, la table donne ^
R = ! 8,9453 d'où
Toute autre question du même genre se résoudrait avec la même facilité.
Déterminer C quand S, r et n, sont connm^ ,
Les problèmes qui ont pour but de rechercher la valeur comptant d^une somme que Ton ne doit toucher q|i'à Texpiration d*un certain nombre d'années, se résolvent avec la plus grande. fai;ilité par 1^ même équation (V)
S = RC.
Prenons quelques exemples^r
19* problème.
Quelle som*me faut-il déposer comptant pour que les intérêts composés à S p. c, acoimulés avec le capital pendant trente années, produisent 10000 francs? — Réponse : fr. 2313,75.
Dans ces conditions, la table 5 p. c, ligne 30, donnera :
IN
TÉRÉT
et l*éqaatioii deviesi
= RC
de laquelle on lire
problème.
On doit toucher une somnie de 10 000 francs dans vingt ans, on désire eseonapter cetie valeur en accordant 6 p. c. d'intérêt, combien doit-on recevoir comptant? — Réponse : fr. 5149,29.
L'équation S = G R devient dans ces circonstances :
de laquelle on tire,
Remarquons que c'est le même problème que le précédent, exprimé en d'autres termes et d'autres chiffres.
H^ problème*
Que vaut comptant, à raison de.6.p. c. d'escompte, la sue propriété d'un bien rapportant 3000 francs de rente, mais dont on ne doit entrer en jouissance que dans quinze ans? — Réponse : 20 863 francs.
INTÉBÉT DE l'aRCBHT. 5$
Cest toujours le même problème dont 1^^ termes seuls varient; en effet :
3000 francs de rente» à 6 p. $*, donnent un capital de 50 000 francs à toucher dans quinze ans. On a donc:
La table donne R =;= 2,3968.
Mettant ces valeurs dans Téquatton (V)
elle deviendra :
d'où Ton tire:
Ainsi la nue propriété d*UD bien de 80 000 francs, dont oft ne doit entrer en jouissance que 4an« quinze ans, ne doit être payée guère plus d^ 20 000 francs pour que lacquéreur jouisse de 6 p. c. d*i9térêt.
Si Tacquéreur voulait se coote«(er de 5 p. c». il aurait à payer comptant 24000 fraocs environ.
22' prfibUrm-
Combien vaut, argent comptant, la certitude de recevoir une prime de 400 000 fraiics dans quatre-vingtdix ans, l'intérêt étant compté à 6 p. c? — Réponse \ fr. 257,80.
56 INTÉRÊT DE l' ARGENT.
Cest toujours le même problème qui se résout par réquation (V)
La table donne pour
r 5= 0,Q6; n ==: 90; R« 189,46 100000 = CX 189,46
de laquelle ou tire :
Ainsi la certitude de recevoir 100000 francs, payables dans quatre-vingt-dix ans, ne vaut, argent comptant, que 828 francs à peu près.
23* problème.
Une prime de 100000 flrancs, payable dans quatrevingt-dix ans, doit être tirée au sort par 10000 porteurs d^actions, on demande ce que vaut, argent comptant, la^ chance de chaque porteur d'action, en admettant que Targent vaille 6 p; c. d'Intérêt? — Réponse : 8 centimes environ.
En effet, le problème précédent montre que la certitude de recevoir la prime équivaut à 828 francs.
Si cette prinae devait être tirée au sort par 10 000 personnes, la part d'espérance ne vaudrait donc que 8 centimes environ.
Gela montre combien sont décevantes ces grosses
primes payables dans un avenir éloigoé , lorsqu'elles doivent être tirées au sort par un grand nombre de personnes,
S4' problème.
Un chemin de fer coûtera de construction 25 millions de francs, et parmi les conditions du contrat se trouve celle d'abandonner au gouvernement le chemin de fer sans indemnité, après quatre-vingt-dix-neuf ans ; on demande d'évaluer H^ette charge en argent comptant, Tintérét étant compté à raison de S p. c? — Réponse : 199617 francs.
C'est encore une application de Téquation (V)
S = CR
Dans ce problème, on aura n =99; r = 0,05; d'où R = 125,2393, et l'équation
S = CR
devient
d'où
Ainsi la charge d'abandonner les 25 millions que coûte le chemin de fer après en avoir tiré parti pendant quatrevingt-dix-neuf ans, pourrait se racheter par une somme de 200 000 francs payable comptant.
Tout autre problème relatif aux quantités S et G se résoudrait avec la même facilité ; on peut donc, sans aiH
58 INTÉRÊT BE L AlUiBNT.
cune difficulté, Irouver la valeur comptait d'on capital exigible seulement à Texpiration d'iiu eerlai» temps,, ou réciproquement trouver ce que vaudra un capital lorsqu'on aura laissé accumuler les intérêts pendant un nombre déterminé d'années, et ceh pour un taux quelconque stipulé entre parties.
Lorsque R est connuj et que l*ori cherche S ou C, les opérations relatives aux intérêts composés se réduisent aux premières règles de l'arithmétique, puisque Ton n'a qu'^ effectuer une multiplication ou une division indiquée par la relation S = R C.
La quantité R = (1 -1- r)»» devient très-longue à calculer, à moins qu'on ne se serve des logarithmes, et encore dans ce cas ne peut-on pas opérer aussi rapidement que si les nombres sont calculés à l'avance et rangés dans une table comme celle que nous avons inscrite à la fin du volume.
Cependant cette table ne donnant les valeurs correspondantes de n et de R que pour un certain nombre de valeurs de r, il peut se trouver des cas où Ton a besoin d'avoir recours au calcul direct de la quantité R. Nous allons en voir quelques exemples.
Déterminer n lor$qm S,C et r sont œnnus.
Lorsque S et C sont des quantités connues, on en déduit la valeur de R au moyen dès mêmes équations
S=^RC; R=(<4-r)»
qui nous ont servi poui résoudre les proiblèmes pcécéâeots.
INTÉRÊT BE l.*ABGBNT. 59
Daos ce cas, R peut être regardé comme ud nombre CODDU, et, au moyen de la table, on peut déterminer la valeur de n, qui correspond au nombre n d'années énoncées dans le problème.
Prenons quelques exemples.
SB" problème.
On a placé à 6 p. c. dMntérèt composé une somme de 10 000 francs qui a produit une somme de 40 000 francs; on désire savoir pendant combien de temps elle est restée placée? — Réponse : 23 ans 9 mois 14 jours.
L'équation
S = CR
devteat^ en faisant C = 10 000 ; S = 40 000
de laquelle on déduit :
Comme on sait que l'argent a été placé à 6 p« c, on cherche, dans la table 6 p. c, le nombre 4; on trouve qu'il tombe entre 23 et 24 ans, mais beaucoup plus près de 24 que de 23, il faut donc un peu moins de 24 ans.
Si l'on voulait plus d'exactltnde, on se servirait des logarithmes pour résoudre l'équation déduite de ht formule :
qui» en faisant R = 4; r =» 0,06, devient ici
4= (1,06)* et en prenant les logarithmes
li^nl 1,06
îiOit 25 ans j-555 d'année
or les Yôôô d^année répondent à 9 mois 14 jours.
La table permettrait de trouver ce nombre sans avoir recours aux logarithmes; en effet, le temps exact correspond àR= 4,0000
Mais à 23 ans on trouve (jue 3,8197
Différence. . .0,1803
Hais au bout de ce temps, Tintérét croît dans une année de 4,0489 — 3,8197 = 0,2292. Il suit de là que la fraction d'année au delà de 23 ans est
= 9 mois 15 jours.
Ce qui correspond à un jour près au calcul l^rithmique.
INTÉRÊT DB l'aRGENT. 61
26* problème.
Combien faut*il de temps pour qu'un capital soit double par l'accumulation des intérêts à 5 p. c? -r- Réponse : 14 ans 2 mois 12 jours.
Dans ce cas S = 2 C et réquation S » G R
devient
