ABERRATION DE CHAMP

Surface focale principale absolue.

Nous appelons surface focale absolue le lieu géométrique des foyers que donnent des faisceaux incidents très étroits, formés de rayons parallèles à peu près normaux à la face d'incidence de la lentille. Cette surface focale ne dépend que de la lentille ; tandis que nous trouverons ci- après d'autres catégories de surfaces focales principales, dans la constitution desquelles interviennent des éléments autres que les verres eux-mêmes, tels que les diaphragmes.

Quelle est la forme de la surface focale principale absolue d'une

KTUDE DES ABERRATIONS. 49

lentille quelconque? Nous avons vu qu'à ne considérer qu'une des faces de la lentille, les surfaces focales sont deux sphères centrées

en G {fig> 5o) et de rayons égaux k f = pour la surface

Fig. 5o.

Kn située du côté du centre de courbure G, et à /-}- R = pour

l'autre.

Dès le début, nous remarquerons que ces deux surfaces ne sont pas égales; le même fait se retrouve dans une lentille ou dans une combinaison de lentilles; il n'est donc pas indifférent, au point de vue de la Photographie, qui recherche des surfaces focales aussi planes que possible, d'employer indistinctement un objectif dans un sens ou dans l'autre.

Passons à la lentille. Le problème se pose très simplement :

Gonsidérons la surface focale d'émergence de la première face, comme le point de départ des rayons qui traversent la seconde face ; le lieu des foyers obtenus sera la surface focale principale absolue de la lentille.

Prenons, par exemple, un ménisque convergent {fig, 5i); S'j S'^ est la surface focale d'émergence de la face d'incidence. S2 et Sg sont les surfaces focales d'incidence et d'émergence de la seconde face.

Un point A' de la surface S\ aura son foyer en X, tel que

A'BxD'X=:C,BxG2D',

d'après la formule de Newton, applicable dans ce cas, parce que les

rayons voisins de D'A' rencontrent les deux faces sous des incidences presque normales.

Appelons cpa et cp, les valeurs absolues des distances focales principales C2S2 et C2SJ de la seconde face, désignons par p le rayon

Fig. 5,.

vecteur C2X et par œ la distance CjA'. La formule précédente devient

(<pj— (j)(©; -hp) =9,<p'î,

d'où

Du reste, le triangle C| C2 A' donne (2) (j--= CjA'— EA'— EGî 1=: v/cp'j* — c«sin*a) — c cosw,

en désignant par c la longueur G< C2.

Ces deux, équations (i) et (2) définissent la courbe focale; en éliminant œ et transformant en coordonnées rectilignes, on trouve une courbe du quatrième degré.

Cherchons seulement la forme générale de cette courbe.

Pour 0) = o, on a

Soit F' le point correspondant, foyer principal de la lentille. Si o) augmente, c augmente ainsi que p. La courbe sera donc plus aplatie qu'un cercle tracé du point C2 comme centre avec C2F' pour rayon.

ÉTUDE DES ABERRATIONS. 5l

Si le ménisque est disposé en sens inverse {fig- 52), les for-

Fig. 52.

fN W

mules ( I ) et ( 2 ) deviennent

a — <p2 et

(j = \J(^^ — c^ sin* 0) -h c cos 0) :

pour (u r:=r G, On a le foyer principal

Le point F' est situé au delà du foyer principal de la deuxième face.

(1) augmentant, œ diminue et p croît. Comme dans le cas précédent, la courbe du quatrième degré est plus aplatie qu'un cercle de centre C2.

Des deux surfaces focales, toutes deux plus aplaties qu'un cercle ayant pour centre C2 ou 64 et pour rayon C2F' ou C^ F, il est probable que la plus proche d'un plan sera celle qui correspond à C2F', puisque C2F' est plus grand que 64 F, en raison de la position des points nodaux et puisque N'F' = NF.

C'est une raison pour employer de préférence le ménisque convergent avec sa concavité tournée vers l'objet.

La détermination analytique de la courbe focale est encore facile dans les cas particuliers suivants :

I® Lentille plan-convexe {fig> 53) à face d' incidence plane, — Tous les faisceaux de rayons parallèles incidents changent de direction en traversant la première face, mais ils restent parallèles entre eux; ils iront donc converger sur la surface focale d'émer-

gence de la seconde face, c'est-à-dire sur la sphère de centre C

et de rayon

Seulement, les rayons incidents parallèles à CA formeront leur

Fig. 53.

foyer en B, sur la parallèle NB, menée par le point nodal. La courbure relative de cette surface aura donc diminué en fait, puisque NB est plus grand que NF.

* 2° Lentille sphérique, ou à deux faces concentriques, — Dans cette sorte de lentille {fig* 54), la surface focale est une sphère,

par raison de symétrie par rapport au centre commun C.

La formule de Newton s'applique encore dans ce cas et l'on a

BA'xD'Fzz:cp,tp,,

d'où le rayon de la sphère

p est moindre que ^\ et que ^\,

Pour une lentille quelconque, dans laquelle les deux centres de

ETUDE DES ABERRATIONS. oi

courbure sont éloignés l'un de l'autre, l'angle d'incidence, sur la seconde face, des rayons ayant traversé normalement la première, n'est plus assez petit pour que son carré devienne négligeable; la formule de Newton ne peut donc servir, et l'étude analytique de la surface focale résultante devient très compliquée.

Construction graphique de la surface focale absolue. — Le mieux est, pour se rendre compte de la forme de cette surface, d'employer les procédés graphiques et de construire par points le lieu des foyers des rayons qui rencontrent normalement la première face.

Cette construction se peut faire ainsi :

De C| comme centre {fig* 55), avec un rayon égal à ^ on

trace un cercle S\ S\ .

D'un point quelconque A' de cette surface on mène h!C^^ dont le prolongement DB représente le rayon incident; on joint A'C,;

Fig. 55.

c'est sur cette ligne que se trouvera le point cherché. G', à sa rencontre avec la droite BG', représentant le rayon réfracté de DB.

Pour construire BG', on abaisse du centre C2 la perpendiculaire C2D sur le rayon incident, puis du point C2 comme centre, avec un rayon égal à C2D x /i, on décrit une circonférence à laquelle on mène de B une tangente, qui est le rayon réfracté ; en

effet,

sinCBH G, H

sinCoBD C.2D

Si, au lieu de ne considérer que les rayons à incidence normale, on prenait des rayons obliques à la première face, on Irouverait un point différent du point G' ; cela tient aux aberrations de sphéricité dont nous aborderons plus loin l'étude.

2* ABERRATION NODALE.

Rappelons la construction qui nous a servi à déterminer les points nodaux. On mène, par C| et par Co {fig^ 56), deux paral-

Fig. 56.

lèles quelconques, on joint leurs points de rencontre avec les faces I et 2, cette droite prolongée donne le centre optique O. Le rayon incident et le rayon émergent parallèle, correspondant à cette même droite, déterminent les points nodaux N et N'. Le centre optique O est fixe et l'on a exactement

01 OCo-R,

OJ OC,— K, H,

Les points N et N' sont les foyers conjugués de O par rapport aux deux faces.

Fig. 67.

Pour étudier les variations de position d'un de ces points, N par

exemple, il nous suffit de considérer la face réfringente, le centre optique O et le centre de courbure C (^fig- 57).

Soient R le rayon de courbure CM, a la distance GO, a l'angle d'un rayon quelconque CM avec l'axe principal. La position de N résulte de la construction des deux lignes OM et MN, telles que

sin«

sinr

Soit CN =

On a

et -; -

sina

smr

sma

sm(

sin«

d'où

mn'

a sini an ~" ^ sinr ~ X

OM = v^R*4- a^— 2aRcosa,

Donc

MN — v/R^4-a?«— 2Ra?cosa.

R- -4- a- — 2 « R ces a à?T^

\\}-{-x^ — 2 R^' ces a x^

d'où

^* [R* — àr (/i* — i) — 2aRcosaj -h 2a*/i*R^cosa — a'/i^R*-- o

-^ «/icosa it:i/a*/i'cos*a — 2Racosa -h R^ — a" iiî^ — 1)

o? — a/iR ^— ^r r 5

R'-l-a* — <2*/2^ — 2aRcosa

ou, après avoir multiplié haut et bas par

a/icosa i^i \/a'/i*cos'a-- 2R« cosa-hR^— a^ {ri}— ij,

a/icosadby/a^/i^cos^a — 2aRcosa — a}{n^-~\) h- R' que l'on peut écrire aussi

ancct^çi. zh v/(«cosa — R)-— «*- {n-—i) sin^a

La seconde solution correspond au point parasite V.

Il y a deux cas à considérer, selon que O est à droite ou à gauche de la surface réfringente, c'est-à-dire selon que a est plus grand ou moindre que le rayon de courbure R.

Premier cas. a >> R. O est à droite de la face réfringente. La lentille est un ménisque convergent {fig- 58) ou une lentille bi-

Fig. 58.

concave {fig* Sg). La discussion est exactement la même pour ces deux formes, seulement, dans le ménisque, O est virtuel et N réel,

Fig. 59.

et la surface réfringente considérée est la face d'émergence; c'est tout le contraire dans la lentille biconcave.

La plus grande valeur de x^ CN {^fig> Sy), nous intéresse seule, nous prendrons donc le signe — au radical :

<7/lR

a/icosa — sja^n^ cos^a— 2<2Rcosa — a* (A^* — i) 4- R' La condition de réalité du radical est

cosa

R-hs/(a-/r — R2)(«2„,)

La limite inférieure de cosa est réelle si a^n^>R^ ou a > — ,

ce qui est toujours vrai, puisque, par hypothèse, on a a > R et

Cette valeur rainima de cos a {/ig. 60) correspond au point P, tel

que Vîim soit tangent au cercle ; dans ce cas, l'angle r a pour sinus - ?

et le point P est l'intersection avec le cercle du segment capable

Fig. 60.

de supplément de l'angle arcsin— construit sur CO. Le signe — du

radical de cosa correspondrait à l'autre point d'intersection P^ : Nous aurons donc, pour ce point P,

cosa = ;;

R an^R

cosa [i^sJ{a^n^~-R^){n'—i) D'autre part, pour a = o, nous tirons de la formule (3) : anR anR

an — (a — R) a{n — i) 4- R d'où l'aberration nodale