CN CM

sinCAN I sinCAM m'

CO=-D+R=r

d'^r" '~df

On sait du reste que

j'zzz (2R— -o?) ;r = 2R^ — ^',

ou , en négligeant x^, puisque x est du second ordre par rapport à/,

7«r=z2Ra:rii-— ;

(') Toutes ces notations et conventions, et l'exposé des méthodes directe et indirecte sont empruntés aux travaux de M. Martin, revus et publiés par M. Wallon dans le Bulletin de la Société française de Photographie, 1893, page 473, et 1892, page 349.

CALCUL D UN OBJECTIF. II9

du reste,

d'où

en développant par la formule de Taylor et négligeant y*, comme nous avons négligé x^.

De même

Remplaçons toutes ces quantités par leur valeur dans l'équation ( i ) :

d'où l'on tire, en développant et supprimant les puissances supérieures à y^ :

(2) r-/=7n(r-rf)ji + [/(/-r)+rf(r-^)]:^|,

(3) /^r{i-m)-^dm^{r-d)m[/{/-^r)-^d{r-d)]-Ç.

Le terme en y^ de cette équation représente V aberration longitudinale de sphéricité : pour éliminer l'inconnue / dans ce terme, procédons par voie d'approximation successive, en remplaçant / (/ — r) par sa valeur tirée de (2) et de (3), et en négligeant les termes en y^^ puisque ce produit doit être multiplié

lui-même par — >

/ (/— r) = m{d—r)r{i — m)-\' dm^ {d — r) =:mr{d^r)-\- m- (d— r)'.

Eq reportant dans le second membre de la formule (3), îl vient:

— {r — dym[ = r (i — m)-4- dm — {r — dym[—mr-\-d-h m^ {r — d)] ^,

(r — dy m [mr (d-^r)-h m« (ûf— r)«4- û?(r — d)]^,

(4) /= r (i — m) -h dm -+- {r — dym{i — m)[mr — d{j-hm)]^'

Cas d'une lentille. — Prenons une seconde surface de courbure r', formant avec la première surface une lentille sans épais-

seiir, et soit n'= —- l'indice de réfraction par rapport au troisième

milieu.

En négligeant l'aberration de sphéricité pour la première surface, c'est-à-dire en ne prenant que les rayons centraux et supprimant les termes en j/-^, on a

/=: r (i — m) + dm,

La seconde surface donnera de même, pour la proximité du foyer F',

/'^r'(i-m')H-rf'm',

et comme d^ = fj

(5) /^r'(i-mO+/m',

/— r' (j - m') -h m' [r (i — m) -4- dm)]

(6) /'— (i — m') r' H- m' (i — m) r 4- dmm'.

Si le rayon incident primitif est parallèle à l'axe, rf = o, et le pouvoir principal / de la lentille a pour expression :

Dans le cas présent, la lentille est plongée dans un milieu homogène, et, par conséquent,

m: =z — ■=: n et m/w'=:i,

CALCUL d'un objectif. 121

on retombe alors sur les formules connues :

(7) f'^^n^i){r^r')-^d et

Cas de plusieurs lentilles. — Pour une succession de lentilles centrées, on aura donc :

/; riz (/11- l) (/•!-/•;) + d,-= l,-\-d,.

On admet que ces lentilles se touchent et ont toutes une épaisseur mille, ce qui entraîne :

En ajoutant membre à membre les équations (9), on a, pour p lentilles,

et pour le pouvoir principal de ce système, en faisant rf| = o,

(10) <p=: /jH- /gH- 44-

C'est Véquation de convergence. En l'appliquant à deux lentilles seulement, elle s'écrit :

(A) cp = (7ii— I) (rj— r;) + (/i2— i) (/'î— /•;).

2'* Équation d'aplanétisme. — L'aberration longitudinale pour une surface réfringente est, d'après la formule (4)? en négligeant les puissances de j^ supérieures à j/-^,

(i i) lf= {r — dym{i — m) [mr — (i(i -i- m)] — •

Après réfraction par une deuxième surface, le foyer des rayons

laa CHAPITRE VI.

marginaux différera du foyer des rayons centraux, pour deux raisons ; d'abord parce que le premier foyer marginal diffère du premier foyer central de 8/ : Téquation (5) nous montre en effet qu'en remplaçant / par /-|- 8/, nous aurons une première différence de foyer égale à m' 8/; en second lieu, les rayons partant du point /-f- 8/ donnent lieu à une nouvelle aberration qui s'ajoutera à la première et qui sera, en faisant dans (i i) d = f-{- S/,

8/ = (r'~/-8/)«/n'(i-/n')[/nV-(/4-8/)(i + m')]:^;

la variation totale sera

ù,f'=m'lf+lf'.

Dans le calcul de 8/' on peut négliger hf en présence de / et écrire :

8/ = (r'-/)»m'(i-/n')[7nV-/(i-hm')]Ç,

et comme /= r(i — m) H- rfm, on aura, en effectuant les calculs et faisant mm' = i et m! =^n^

5r = »(.-")^('^-r)( r./ ^aN__^/jr^^» + .,.

Af^n{i--n)^ (r'-r)

CALCUL d'un objectif. 123

d'où, après avoir développé le deuxième membre, ordonné par rapport à r et r' et simplifié,

1 r-(i— - H- -^J -h rr' ( — 2 + - -H-^ ) -hr'2 l \ n n^ I \ n n} J

en faisant rf = o dans cette formule, nous trouvons l'expression que nous avons donnée page 72, pour l'aberration longitudinale d'une lentille.

Écrivons cette valeur sous la forme :

A/rr: 712/2^ (S - T^ -h V(i*).

Pour un nombre quelconque de lentilles infiniment voisines l'aberration totale serait :

Acp'ziz •^[/iî/,(S,-Tiflr,-+-Vi^î)-H/iI/2(S2-T,ûf2-f-V,d«)-4-..., avec

dp^i Ip-r- dp^ \^^ Ip-^ lp-\-i- • • • 4- ^1 -i- <3^i •

Pour deux lentilles, ces équations se réduisent à

avec

di^li-i-di,

et, pour les rayons parallèles à l'axe, rf| = 0, d2^= l\j

^^'= Ç[/iî/iSi-h/i1Z2(S2-t,zh-Vj/î)].

Remplaçant 84, S2, Ta, V2 par leurs valeurs, développant et ordonnant,

(B) f^^i±i/|+i:ii±4,.0,,+ ^î ,î Lo.

l \ /ij~i * n, 7 (/il — 1)^ * (

\ /il (/i2 — 0' '*2— ^ J /

Pour que l'aberration longitudinale soit nullcy c'est-à-dire pour que la lentille double soit aplané tique sur l'axe principal, on égale à zéro la quantité entre crochets du deuxième membre. C'est Véquation d'aplanétisme.

S"" Équation d'achromatisme. —On achromatise d'ordinaire, en Photographie, par la réunion des foyers principaux de la raie D du sodium (jaune) et de la raie G de l'indium (violet).

Soient /i|, ^2, /i, h et cp les indices et les pouvoirs relatifs à la raie D ; pour la raie G, ces quantités seront n^ -h tn^ , 1X2 + 8/12» •••? ©+ S©.

Or Téquation de convergence (A) donne :

cp = (,i,-i)(,.,^r;) 4- (n,-i) (/•,-/•;)

d^ = 8/1, ( r'i — r'^ ) -h 8/13 (Tj -4- r'^ ).

En égalant le deuxième membre à zéro, on a l'équation demandée.

Introduisons /< et ^2? à l'aide de la formule (8), il vient:

(12) = 8/1. — hS/i, — - — :

/il — 1 /ij— 1

le pouvoir dispersif de chaque verre a pour valeur, par définition :

7Ci = ^- et 7C2=:

/ijH ^— I /i^H I

CALCUL d'un objectif. 125

négligeant — - et — - au dénominateur,

ou, en

et 7Cî=:

/Il — I n^ — I

En substituant dans l'équation précédente (12) :

et, soit 0) = — î le rapport des pouvoirs dispersifs, on a en somme :

C'est Véquation d^ achromatisme.

Valeur des courbures. — Les trois équations (A), (B) et (C), jointes à celle-ci,

qui exprime la condition de Clairaut (p. 117), permettent de déterminer les courbures des lentilles. 11 suffit de les résoudre par rapport à Ti, r\^ Ta et r\.

Pour faciliter le calcul, il est plus simple de prendre pour unité /< , le pouvoir de la première lentille. Alors l'équation (C) se réduit à

et l'équation (B) devient, en supposant qu'on veuille V aplanétisme parfait, c'est-à-dire l'aberration longitudinale nulle,

n\ 3n, H-2 nj , Zn^-\-\ ^

(71, — 1)« n^ {n^ — iY /is— I

Éliminons de cette équation les inconnues autres que r2. Les formules (8), (D) et (C) nous donnent :

ia6

d'où

Substituons cette valeur der« dans l'équation (B'), et posons:

/ij — I rii /Aj — 1

{rii — iy /il /il— 1

, 3/lt4-2

/il

a2,Â2, B2, etc., représentant les mêmes coefficients pour la seconde lentille.

Et posons encore :

C = A,(D, D — G,(o — Bjo)», F -. Lj(D — Jsto' 4- EjwS

on a, en définitive :

(A,-C)rÎ4-(DH-2Aiai— BOr,+ AjaJ — Bjai+Ej— Fzro, d'où l'on tire

— (D4-2A,ai-Bi)

±i/(n-H-s^A,(x, — B,r'-4(A, — C)(A^a? — Bta^4-Et-^F) ''~ 2(A,-C)

et, en posant

ô = D-f-2Aiai— B,

A,aî — B,a,-+-E, — F

et c =

on a enfin :

Résumé. — Eu tenant compte de toutes les notations adoptées.

CALCUL d'un objectif. 127

voici donc les valeurs des quatre courbures d'un système double, convergent, aplanétique et achromatique pour les rayons parallèles à l'axe.

ri=r, -h ai,

r\ = r, -H (ûaj.

De l'hypothèse admise : l^z= -{- i^ îl résulte implicitement que la lentille convergente, en crown ou verre léger, est placée en avant, vers l'incidence.

L'objectif ainsi calculé a pour pouvoir principal [formules (lo ) et (C)] :

Les rayons de courbure et la longueur focale sont les inverses de /'i, r2 et r, et de ç.

M. Martin a calculé et réuni, sous forme de Tables, les valeurs numériques de tous les coefficients, A, B, C, etc. et de leurs logarithmes, en fonction des indices (*).

Marche du calcul, — Étant donnés les deux verres à employer, on mesure leurs indices /i| et /Z2, et /Z| + 8/i| et /i2+ S/ij. On en déduit les pouvoirs dispersifs tci et -7:2? le rapport tù de ces pouvoirs dispersifs et (p = i — co le pouvoir focal de la combinaison, en fonction du pouvoir de la lentille convergente, pris pour unité.

On calcule successivement, soil avec les Tables de logarithmes ordinaires, soit avec les Tables de logarithmes de sommes et de

(») Ces Tables sont insérées dans le Bulletin de la Société française de Photographie, année iSgS, p. 525. Elles font partie d'un important et très complet Mémoire de M. Martin, publié par les soins et avec la colloboration de M. Wallon, et qui a pour titre : Méthode directe pour la détermination des courbures des objectifs de Photographie. C'est à ce Mémoire que nous avons emprunté tous les calculs relatifs aux objectifs, en conservant scrupuleusement les notations adoptées par les auteurs. Les personnes désireuses de suivre en détail rétablissement et la discussion des formules, ou celles qui voudraient en faire l'application à la recherche d'un système optique inédit, trouveront dans ce travail, sous une forme pratique, tous les renseignements nécessaires.

difTérences de Gauss, soit encore et mieux à l'aide des Tables spéciales de M. Martin, la valeur des coefficients A,, BoC|, ai, Aa, 6a, etc.^ et enfin a, b et c, d'où l'on tire la valeur de la courbure r2, et ensuite celle des deux autres courbures et du pouvoir de la lentille. Il y a deux solutions, selon le signe que Ton donne au radical de Ta- On étudie ces deux solutions et l'on prend celle qui convient le mieux au but proposé.

Lentille retournée. — Si nous voulons mettre le flint en avant, nous trouverons d'autres courbures, car les aberrations sont dififérentes, quoique le pouvoir ne change pas. C'est l^ que l'on prend alors pour unité, et les formules deviennent :

Bj — G,a)-^(Bi — 2A,at)(o*

rt^ \ /[B,-G,(o-i-(Bi-2AiaOa>^P-4(A,-A,a))

f V [(Bta, — A^gf — EOa>»-hL;a)«-J,a)-|-E,)] 2(A, — A,w)

r2=:rî — a,

et <p=:i — u).

Lentille divergente . — Pour passer à la lentille divergente de même foyer, il suffit de changer tous les signes des courbures.

Lentille triple. — Le calcul se fait de même. Seulement, nous réunirons trois couleurs, d'indices /i|, /i| + 8/i<, /i|-h8'/i|, etc., ce qui nous donnera deux équations d'achromatisme,

les signes indiquent que la première et la troisième lentille sont convergentes et l'intermédiaire divergente.

L'équation d'aplanétisme a la forme

''*" ÏX '

CALCUL O UN OBJECTIF. I29

qui, avec

r\z=zri^ (condition de Glairaut)

r'a nz rj 4- (0 aj,

Ta^r'a, (id.)

détermine les six courbures.

Ici,

X = Al — Ajto -h AjU)',

Yzir 2 Aiai-h2A5a2a)a>' — Bj — BjCD* — BaO^' + GaW — G^tii' {i — (o),

ZznAïaî-hAaa^w^w'— B^aj— B3a2a)u>'2-hEi — Eî^o^-hEsU)'*

— G3aj(oa>'(i— w) 4- JjOD^-H J3a)'^(l — w) — L5104- Ljco' (i — oj)^,

7r^ TTa TTiltj

^, TT^TTa— 7r]7r2

Xi, 7C2, %^ sont les pouvoirs dispersifs de la première à la deuxième couleur. .

^n '^'2'i '^z ^^^^ '^^ pouvoirs dispersifs de la première à la troisième couleur.

Les autres notations ont la même signification qu'aux cas précédents.

Le pouvoir principal

et le système est convergent si w — iù' <C i •

Les trois raies sur lesquelles on achromatise sont alors D, F et y de l'hydrogène.

Condition de Prazmowski. — On peut aussi, au lieu d'achromatiser une troisième couleur, prendre une autre condition, celle de Prazmowski, je suppose.

Cette condition est que les rayons traversent la combinaison tout entière sous le minimum de déviation; elle est satisfaite quand le produit des cosinus des angles d'incidence est égal au produit des M.

l3o CHAPITEE VI.

cosinus des angles de réfraction (*) :

cost'i cosfj costj cosfj . . . =cosri cosr'j cosr, cosr', ....

Sans entrer dans le détail du calcul, que Ton peut trouver dans le Mémoire de M. Martin, nous nous bornerons à donner les formules auxquelles on arrive pour une lentille double et pour une lentille triple, quand on remplace Téquation ou l'une des équations données par la condition de Clairaut, par Téquation que fournit la condition de Prazmowski appliquée aux rayons centraux incidents parallèles à Taxe.

Lentille double, aplanétique, achromatisée pour deux couleurs et satisfaisant à la condition de Prazmowski.

( - ( D4-2A,Py-B,P) ■

avec

Dans ces formi

aies :

?=oi".

îjO

Le reste de

notalion comme ci-

dessus.

Lentille triple, aplanétique, achromatisée pour trois couleurs et satisfaisant à la condition de Prazmowski {rayons parallèles),

r\ zn Ta, (condition de Clairaut),

r'o^ Ta-f- <»)(X2,

C) Voir Traité de la Lumière, par Herschell; éq: (i)» î -16.

CALCUL d'un objectif. i3j

avec

cp :=:. I — o) -h o)'

Dans ces formules :

X' = Al — AjCD-i- AjO)',

Y' = 2Aiai— Bi+2A3(o'P'y'— B^w* — Bgo/'fi'

4-Gja)-G3a)'(a)-l)?', Z' = El — Biai 4- Al a? — L,a) -h AgO)' /« -h J,(o«— B^^^'*'

--G3a)'(a) — i)y'-EjW^ — E3a)'3-HL30)'(a)— i)* — J3a)'2(a) — i),

Ggfa)— Gi et

P, f Pj (o2 -I- PjO)'^ — GjW - GjW' (o) — l)

Dans un objectif double, où Ton dispose d'un plus grand nombre de variables, on peut conserver la condition de Clairaut, pour toutes les lentilles accolées, tout en admettant la condition dePrazmowski pour l'ensemble. Dans l'objectif symétrique à points nodaux coïncidants, cette dernière condition se trouve réalisée par la construction même de l'appareil.