PUISSANCE DES NOMBRES

BT EXTOA

CTIONS DES n AGIMES CARRÉES ETCUBIQDE

Dans les calculs relatifs aux chutes des corps , à ]a résistance des matériaux et aux cours d'eau, l'extraclion des racines est fréquemment usitée; par suite la connaissance des règles qui y ont rapport devient d'une utilité

On appelle en général puissance d'une quantité, cette quantité multipliée un certain nombre de fois par ellemême.

Ainsi 8 X 8 = 64, et 64 est le carré ou la deuxième puissance de S.

La puissance troisième, ou simplement le cube d'une qiianiilé, désigne qu'elle est trois fois facteur. Comme 8x8x8 = S12, et 512 est te cube de 8.

On appelle en général racine d'un nombre une quantité qui, prise un certain nombre de fois comme facteur, reproduit ce nombre.

Ainsi , la racine carrée ou deuxième d'un nombre dique une quantité qui, multipliée une fois par el même, reproduit ce nombre.

Le degré ou l'indice de la puissance est marqué par un chiffre placé à droite et un peu au-dessus du dernier chiffre. Comme 3* qui indique que 3 doit être multiplia par 3, dont le produit donne 9.

L'OUTRIBR-MlfcCÂlIICIBll. 23

De même 3' indique que 3 doit être multiplié 5 oa élevé à sa cinquième puissance pour, après maltiplication, produire 243.

La racine se désigne par le signe V ^ et scm degré est marqué par un chiffre que Ton place dans Xowiet' ture de ce V déformé.

Ainsi 1^64 désigne racine deuxième ou racine carrée de 64. Cette racine est 8; car 8 x 8 = 64^ et la racine multipliée par elle-même reproduit son carré.

La racine cubique ou troisième d un nombre est une quantité qui , multipliée deux fois par elle-même

ou par son carré, reproduit ce nombre. 1^^512 = 8; or 8x8x8 = 512, ou encore 64 x 8 = 512.

Extraction des racihês carrées des hohbrbs ENTIERS. — KtqU : Pour extraire la racine carrée de tout nombre entier, il faut le dîvisar en tranches de deux chiffres en commençant par la droite; la dernière tranche à gauche peut ainsi n'avoir qu'un seul chiffire.

On cherche le plus grand carré contenu dans la dernière tranche de gauche^ carré qui , étant au-dessous de 100 , ne peut donner qu'un seul chiffre à sa racine^ comme Tindique le tableau suivant :

Nombres 00 ncines %, 2, 3, 4, s, 6, 7, f, 0.

Carrés correspondants I, 4, 9, 16, 15, M, 49, U, Si.

Or, les carrés de 1 ou 2 chifffes ne donnent, d'après ce tableau^ qu'un seul chiffire à la racine.

On pose la radne trouvée à la place du dinsenr^ on élève cette racine an carré, et on soustrait ce dernier de la dernière tranche de gaacbe qui Va tomiè. %\ c^Vit

li L'onvmisii-vAcAniciEtT. n

tranche n'est pas un carré parfait, on place le reste an dessous, et on abaisse à sa droite la tranche suivantes on sépare par un point le dernier chiffre à droite de eà dividende partielj et on divise la partie à gauche par [s double de la racine trouvée précédemment; on obti^ alors le deuxième chiffre de la racine, que l'on poses la fois à la droite du premier et à la droite du doublr de la racine, qui se place successivement au-dessous de la racine. Le produit qui résulte de ce nouveau chiffre de la racine, par le double de la racine, se soustrait du dividende partiel qui l'a formé, et, s'il y a un reste, on abaisse à sa droite la tranche suivante du nombre primitif, et on continue l'opération de la même manière jusqu'à ce que toutes les tranches aient été successivement abaissées.

Opérons sur un exemple : soit à extraire la racine carrée du nombre entier 67081 .

^6.70.81 1 259 racine trouvée.

4 45 double de la racine 2.

i" reste 27.0 509 double de la racine 23.

2= reste i58.1

3" reste 000

Après avoir divisé ce nombre en tranches de dein chiffres à partir de la droite, on cherche le plus grant carré contenu dans 6 ; ce carré est i et sa racine est 3 le carré i se place au-dessous de 6, et la racine 2 se posi il la place du diviseur. On retranclie i de 6, on posi dessous le reste 2, et on abaisse k sa droite la tranche

L'OUVRIER-UÉGÂNICIEN. 25

suivante 70^ dont on sépare le dernier chiffre à droite par un point. Puis on double la racine S ^ et on pose cette racine doublée ou 4 à la place du quotient; on divise alors le premier dividende partiel 27 par A, et le nouveau chiffre 5 de la racine se place en même temps à la droite du premier chiffre de la racine 2^ et à la droite du double de la racine représentée par le chiffre 4.

On multiplie ensuite le nombre 45 par 5^ on retranche ce produit du dividende partiel 270 et on place au-dessous le reste qui est 45 , on abaisse à la droite de ce reste la dernière tranche 81 , dont on sépare par un point le dernier chiffre à droite 1 ; on double toute la racine 25^ on pose 50 au-dessous du premier quotient, et on divise 458 par 50^ le nouveau chiffre 9 se place à la droite du dernier chiffre de la racine et du nombre 50, et le produit de 9 par 509 se retranche du deuxième dividende partiel ii^581^ et ainsi de suite.

Pour vérifier si la racine trouvée 259 est exacte, on la multiplie par elle-même, et elle doit, s'il n'y a pas de reste, reproduire le nombre 67081. S'il y avait un reste, on devrait rajouter au carré de la racine pour retrouver le nombre donné.

On reconnaît qu'un chiffre porté à la racine est bon, toutes les fois que le reste est moindre que le double de la racine plus 1.

Mais un chiffre porté à la racine est trop faible, quand le reste surpasse le double de la racine plus 1.

Nombres DiciMAOx. — Pour extraire la racine carrée d'un nombre décimal, il faut, avant d'effectuer Topération, rendre pair le nombre des décimAe^» , ^''^\\fe

B-MÉCANK

l'était pas, ce que l'on fait en ajoutant ou retraucbaot un zéro à la droite dp la i^arlie décimale; puis on partage le nombre décimal en tranches de deux chiffres, en commençant par la droite comme pour les nombres entiers; la dernière tranche à gauche de la partie entière peut n'avoir qu'un seul chift're. On opère alors l'extraction sans s'occuper de la virgule que l'on restitue à la racine après l'opération.

Ex. : La racine carrée du nombre décimal 5677,62250,

s'écrit v'se. 77. 62.2a et le calcul effectué donne 73,35.

D'après cela, on obtient l'extraction de la racine ca^ rée d'yn nombre à 1/iO, 1/100 ou 1/1000 près, en ajoutant à la droite du nombre entier autant de fols deux zéros que l'on veut obtenir de chiffres décimaux à la racine, et si c'est un nombre décimal, il faut compléter les décimales de manière à avoir autant de tranches que l'on veut obtenir de chiffres décimaux à la racine.

Ex, ; La racine carrée du nombre entier 67 à 1/1000 près, s'écrit : ^67.00.00.00 = 8,185.

On détermine la racine carrée d'une fraction ordinaire, en la réduisant en fraction décimale, par la diviàondu numérateur par le dénominateur.

Ex. : Quelle est la racine carrée de la fraction 5/6 à 1/100 près? On a I = 0,8333, et v'o,8333 = 0,91.

Extraction de la racine cubique b'un n'ohbrr BBTiER. — D'cgle : On divise d'abord ce nombre en tranches de trois chiffres en commençant par la droite; la dernière tranche à gauche peut avoir trois, deux ou un seul chiffre; on cherche le plus grand cube contenu dans la tranche de gauche; on en extrait la racine eu-

l'ouyrieb-méganigien. 27

bique qui ne peut être que d'un seul chiffre^ comme l'indique le tableau suivant :

Nombres onndneseoUqaes.. 4, 9^ 3, 4» 8, 6t 7, 8, 9. Cubes correspondants 4, 8, 27, 64, 135, SI6, 343, M3, 729.

On porte le cbiiSre de la racine à la place du diviseur, on cube cette racine^ et on soustrait ce cube de la dernière trancbe à gauche qui Ta formé. S'il y a un reste, on le pose au-dessous, et on abaisse à sa droite la tranche suivante, dont on sépare les deux derniers chiiSres à droite par un point. On divise alors la partie à gauche de ce point par le triple carré de la racine, ce qui donne le deuxième chifi^e de la racine; puis on cube la racine,, et on soustrait ce cube des deux tranches de gauche du nombre primitif, et, s'il y a un reste , on le place audessous du premier dividende partiel , à la droite duquel on abaisse la troisième tranche du nombre donné,, dont on sépare par un point les deux derniers chiffres à droite. On divise la partie à gauche du point, par le triple carré de la racine obtenue, ce qui donne le troisième chiffre de la racine, et on continue comme pour le chiffre précédent, jusqu'à ce qu'on ait successivement épuisé toutes les tranches du nombre donné.

Suivons cette règle sur un exemple. Soit à extraire la racine cubique du nombre entier 3,723^875,

C^3.723.875 | 455 Cube renfermé dans 3 = i 3 triple carré de I

675 triple carré de il

1" reste = Cube de 15 =

2' reste.

Cube de 155

8« reste.

Opération : Après avoir divisé ce nombre en tranches de trois chiffres à partir de la droite, on cherche le plus grand cube contenu dans la dernière tranche de gauche représentée par le nombre ou chiffre 3, ce cube est ), sa racine est aussi 1 ; on pose 1 à la place du diviseur, et on retranche le cube 1 de 3 , ce qui donne pour reste 2, que l'on pose au-dessous, et à côté de ce reste on abaisse la tranche "23 dont on sépare les deux derniers chiffres à droite par un point. On forme le triple carré de la racine i, on obtient 3, et l'on divise le premier reste 27 par ce triple carré 3; le chiffre que ron trouve pour quotient, ou 5, se place à la droite du premier chiffre de la racine.

On cohe alors toute la racine 15, on retranche ce cube ou^37^ des deux tranches de gauche du nombre donné ou de 37^3; le reste 348 se place au-dessous de 2375, et à cAté on abaisse la tranche suivante 875, dont on sépare les deux derniers chiffres de droite par un point; on forme le triple carré de la racine 15, ce qui donne 675, et on divise la partie 3488 du deuxième reste par ce triple carré, ce qui donne le troisième

l'outbieb-méganigien. 29

chif&e 5 de la racine. On forme alors le cube de 155, on le retranche du nombre donné, et si le reste est 0, la racine trouvée 155 provient d'un cube parfait; mais s'il y a un reste, on doit rajouter au cube de la racine pour repôduire le nombre proposé.

On reconnaît qu'un chiffre porté à la racine est trop fort quand le cube de la racine ne peut se soustraire des tranches correspondantes dans le nombre donné. Mais le chiiSre est trop faible, lorsque le reste de la soustrac-* tion n'est pas moindre que le triple carré de cette racine augmenté du triple de cette racine plus 1.

Extraction de la racine cubique d'un nombre DECIMAL A 1/10, 1/100, 1/1000 PRès, ctc. — Règle : Il faut disposer les décimales de manière à ce que le nombre contienne le triple des décimales demandées; cela fait, on partage le nombre en tranches de trois chiffi^s en commençant par la droite, sans s'inquiéter de la virgule, que l'on restitue ensuite à la racine, puis on opère comme pour les nombres entiers.

1«' Ex. : La racine cubique du nombre décimal 12,5

à 1/100 près s'écrit : ^12.500.000 = 2,32.

2® Ex. : La racine cubique de la décimale 0,45 à

J/iOOO près s'écrit : y^450.000.000 = 0,768.

Pour extraire la racine cubique d'une fraction ordinaire, on la réduit en fraction décimale. Ainsi, la racUie

cubique de 77-j à i/100 près devient : ^tz = 0,506756

et ^0.506.756 = 0,79.

l,'oOVniEB-»ÊCANIClEN.