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PROPORTIONS GÉOMÉTRIQCES.

Lorsque l'on compare deux quantités pour connaît] combien de fois l'une contient l'autre ou y est conti nue, le quotient de la division s'appelle le rapport gù métrique des deux quantités.

Ainsi, le rapport géométriijje de i3 à 5 est 3. Pi suite de cette comparaison, la première quantité ou I s'appelle antécédent, la deuxième quantité ou 5 près le nom de conséquent, et toutes deux sont dites les (erml du rapport.

Les deux quantités dont on cherche le rapport gâ métrique se séparent par deux points et l'on écrit, ; \

Les termes d'un rapport peuvent Être multipliés <] divisés par une môme quantité sans que la valeur sfi changée.

En effet, si on multiplie par 2 les termes 12 : 4 doi le rapport est 3, les nouveaux termes 24 ; 8 aurol encore pour rapport 3. Ces mômes termes 12 : 4, étfjj divisés par 4, deviennent 3:1, dont le rapport Q aussi 3. I

On appelle proportion géométrique la réunion i quatre quantités dont le rapport des deux premier) égale celui des deux dernières.

Les quantités 12, 4; 21, 7 forment une proportit géométrique parce que le rapport de 12 à 4 est 3, que celui de 21 à 7 est aussi 3, i

Pour marquer l'indice de la proportion, on sépit ces quatre quantités ainsi, 12 : 4 ; : 21 ; 7, et Vi énonce 12 est à 4, comme 21 est à 7.

Le premier terme et le quatrième de la proportîc

L'OUVRIBR-MéCANICIEN. 33

OU 42 et 7 se nomment les extrêmes, et le deuxième et le troisième ou A et 21 s'appellent les moyens.

Le principe d'une proportion géométrique est que le produit des extrêmes est toujours égal au produit des moyens ; il suit de cette propriété que Ton peut toujours déterminer un terme quelconque inconnu d'une proportion quand on connaît les trois autres.

1° Si c'est un terme extrême que Ton cherche, on multiplie ensemble les moyens^ et le quotient de ce produit ^ divisé par le terme extrême connu, exprime l'extrême inconnu.

Ex. : Quel est le terme extrême inconnu de la proportion 20 : 5 :: 32 : xt

5 X 32 X = — -- — = 8, terme extrême inconnu.

2» Si c'est un terme moyen qui est inconnu, on multiplie ensemble les extrêmes, puis on divise ce produit par le moyen connu pour avoir celui que Ton cherche.

Ex. : Quel est le terme moyen de la proportion

— Lorsque quatre quantités forment une proportion géométrique, leurs puissances et leurs racines respectives sont aussi en proportion.

Soit la proportion 4 : 16 : : 25 ; 100 dans laquelle 4 X 100 = 16 X 25. Les carrés de ces termes ou 16 : 256 : : 625 : 10000 g-^nt aussi en proportion ; car 16 X 10000 = 256 X 625.

34 l'oUVniEB-MÉCANICIEN.

De môme , les racines carrées de ces termes oif 2 : 4 :: 5 : 10 sont aussi en proportion; en effet, ' 2x10 = ixS. I

— Deux proportions multipliées l'une par l'aulre, lerme à terme, donnent qualre produits qui forment aussi proportion.

Règles de trois. Les règles de trois ont pour objet l de déterminer un terme quelconque d'une proportion dont on connaît déjà trois termes.

On distingue les règles de trois simples et les règles de (rois composées,

La règle de trois simple se subdivise aussi en deui parties : la règle de trois simple dite directe, et la règle de trois simple dite indirecte ou inverse.

Dans la règle de trois simple directe, la relation de la première quantité à la deusième est dans le rapport proportionnel de la troisième à la quatrième, c'est-àdire que si la première contient ou est contenue deux fois dans la deuxième, de même ta troisième contient ou est contenue deux fois dans la quatrième. Ainsi une quantité et sa relative peuvent toujours être toutes deux ou antécédents ou conséquents, ce qui peut avoir lieu dans la règle de trois simple inverse. C'est la nature du problème à résoudre qui détermine si la règle est directe ou inverse.

l" Ex. : IS hommes produisent sur un balancier un effort de 1000 kil.; combien faudrait-il employer d'hommes, dans les mêmes circonstances, pour produire un. effort de 3000 kilogrammes?

On reconnaît d'après cet énoncé que le nombred'hommes doit augmenter en proportion de la charge ,

L'OUYElER-MéGANIGlEN. 35

c'est-à-dire que si la charge double, triple ou quadruple, le nombre d'hommes doit aussi doubler, tripler ou quadrupler, etc. La règle de trois est alors directe^ et on écrit :

4000 : 3000 : : 15 : a?, d'où x = ?^^^^= 45 hommes-

2» Ex. : Une roue, animée d'une vitesse de 50 tours par minute, parcourt un espace de 150 mètres; quel sera Tespace parcouru par une roue de même grandeur^ douée d'une vitesse de 80 révolutions ?

50 ; 80 : : ISO : x, d'où x = -^^^^^ = UO mètres.

Dans ces deux règles de trois simples directes, le troisième terme se rapporte au premier et forme comme lui un antécédent.

Dans la règle de trois simple inverse , au contraire , la relation de la première quantité à la deuxième est dans un rapport inverse de la troisième à la quatrième, et la proportion doit être posée de telle manière que l'une des quantités principales et sa relative forment les extrêmes, tandis que l'autre quantité principale et sa relative forment les moyens.

!'• Ex. : 20 hommes ont creusé une tranchée en 12 jours; combien faudra-t-il employer d'hommes pour terminer une semblable tranchée en 5 jours.

On reconnaît par cet énoncé qu'il faut d'autant plus d'hommes que le nombre de jours est moindre; la règle de trois est donc inverse, et la proportion se pose ainsi : 5 ; 12 : : 20 : a?. Le troisième terme de la proportion ou le deuxième antécédent 20 ne se rappotle p^^ ^x^ \i^^-

LOCVBtEB-KBCANlc:

inierS; mais le conséquent 12 et son relatif 20 formeot les moyens, tandis que l'aDtécédent 5 el son relatif x forment les extrêmes.

12 X 20 On trouve alors x = — — - — = 48 hommes.

2" Ex. : Un poids de 12 kil. est placé à rextrémité d'un bras de levier de 15 centimètres; quel poids faudra-t-il placer à l'extrémité d'un bras de levier de i5

centimètres pour l'équilibrer ?