NOTIONS SOMMAIRES D'ALGÈBRE W

Exposs. — L'algèbre s pour objet de résoudre d manière géDérak et d'après des formules données tt les problèmes re'atifs aux quantités ; c'est, en il l'arithmétique généralisée.

En arithmétique, les quantités sont tontes exprii par dfs chiffres limités à deux A~a]eurs, celle absoloo^ celle relative : il en résulte que, pour les problèmes dv même espèce mais de duntiées différentes, il faut chaque fois refaire la succession des opérations numériques indiquées par la règle, parce que le résultat, qui diflère suivant les données, ne laisse aucune trace des opéra' tiuns effectuées.

En effet, quand, par suite d'une ou de p'iisieurs opérations arithmétiques, on est arrivé à un nsullat, 16 par exemple, ce nomlire 16 n'indique en aucune njantère s'il provient de la miilliplication de i par 4 ou de 2 par 8, ou de l'addition de 12 avec 4, ou en général de toute autre combinaison; le résultat arithmétique est donc complètement abstrait.

En algèbre, au contraire, les quantités sont exprimées par des caractères généraux qui, n'ayant aucune valeur'

(f, L'élu>l« 6p CCI prcmierg ^K'menU ramlliarl^ra l'inlelNgcnce iTCf lHiii[i<i!iilnni BUébrii|ucB coi|i]uyéc« djna*l(^ coure du cet ouvrage; DiiiJi lu dJIlnilion ou reste qui accumpa^-ue cliuciue foruiulE Gupp!é%,ia •u Ijwaiii.toBltBeotinaiEBiuicii.

l'ouyeibe-méganigibn. 39

particulière^ sont par cela même susceptibles de prendre toutes les valeurs possibles. Les résultats généraux que donne l'algèbre laissent Vindication des opérations qui y ont conduit^ et sont ainsi des formules qui^ par la substitution des valeurs numériques aux lettres^ permettent la résolution directe et sans tâtonnement du problème.

L'exemple suivant fait comprendre l'avantage de l'algèbre.

Soit à multiplier la somme de deux quantités nommées aei b par la différence de ces mêmes quantités.

Le produit réduit ou simplifié a^ — b^ (voir Topération page 45) devient une formule algébrique qui s'applique à toutes les valeurs de a et de & et facilite la solution du problème. En effets ce résultat indique , une fois pour toutes^ que la multiplication de deux quantités par leur différence revient à la différence des carrés de ces quantités.

Si Ton suppose a = 6 et 6 = 4, le carré de 6 = 36, le carré de 4 = 16; donc 36 — 16 ou 20 est le produit cherché.

Si a = 8 et 6 = 5, on aura également 8 x 8 = 64 et 5 X 5 = 25; puis 64 — 25 = 39, produit de la somme des deux quantités par leur différence.

En arithmétique, au contraire, il faudrait à chaque valeur différente de a et de 6 refaire toutes les opérations.

L'objet principal de l'algèbre est donc de donner des formules qui indiquent clairement les opérations à effectuer pour résoudre les problèmes ; et ressentiel, pour rélève, est de pouvoir varier ces formules, pour déterminer la valeur de chacune des quantités.

B-MÉCA

DÉFiNiTioRs. — L'algèbre se compose de caractÈres et de signes. Les caraclères sont les lettres de l'alphabel; les premières, jusqu'à la lettre v, désignent ordinairetneDt les quantités connues; les lettres x, y, z indiquent généralement les quantités inconnues.

Les signes pour indiquer les opérations algébiiqua sont comme en arithmétique :

Le signe {+],p!iij, indique l'addition; ainsi, pour ajouter b avec c et d, on écrit pour simplifier b + c + d.

Le signe {— ), moins, désigne la soustraction; pour retrancher 6 de a, on écrit a— b.

Le signe (x), multiplié par, désigne la multiplication; pour multiplier a par b, on écrit a x 6.

Le signe (;) indique la division; pour diviser a par 6,

00 écrit a; b.oa encore -.

Le signe [=} désigne l'égalité; pour indiquer que o est égal à b, on écrit a = b.

Ankotatioss algébriques. — On appelle coe/licient tout nombre qui précède une quantité, pour désigner combien de fois elle doit être ajoutée à elle-même; comme 3 m qui simplille et remplace m + m + m. Toute lettre qui n'a pas de coefBcieot est censée avoir l'unité pour coefficient ; ainsi c = 1 c, et c + c = 2 c. I On appelle exposant un nombre qui, placé à la droite et un peu au-dest>us d'une quantité, indique combien de fuis elle doit être multipliée par elle-même, comme 6', qui indique et simplifie b X b X 6. Toute lettre qui n'est pas accompagnée d'un exposant est censée avoir pour exposant l'unité : ainsi 6 est la même chose

Les parties d'une quantité, séparées parles signes + ou — s'appellent termes.

Les termes sans signes ou précédés du signe + sont fositifs; ceux accompagnés du signe — sont négatifs.

Une quantité composée d'un setil terme s'appelle fn<h nome, ainsi — c ou + m df sont deux monômes.

Une quantité composée de deux, trois ou plusieurs termes prend le nom de hinome, trinôme, polynôme. Ainsi a 6 — c est un binôme; ah — cf + gi est un trinome; mn + g — h + fr est un polynôme.

Les quantités sont dites semblables, quand elles ont les mêmes lettres^ les mêmes exposants^ et qu'elles ne diffèrent que par les signes et les coefficients ; les termes bc — 66c -f- 36c sont semblables.

On opère en algèbre sur les lettres comme en arithmétique sur les nombres : ainsi on les ajoute, on les soustrait^ on les multiplie^ on les divise^ etc.