MESURES DES SOLIDES

Le volume ou la solidité d'un corps est l'étendue qu'il embrasse en longueur, largeur et hauteur.

Le volume d'un corps est déterminé lorsqu'on connaît le nombre de fois quil peut contenir le mètre cube, le décimètre cube ou le centimètre cube.

On entend par surface latérale d'un solide, son développement sans les bases. Les ferblantiers , les chaudronniers, les découpeurs, ont constanmient besoin de connaître la surface développée des divers obiels.

RfeGLES ET PROBLÈMES.

Parallélipipède. — Le volume d'un parallélîiH^ pède s'obtient en miillipliant la surface de sa base par sa bauteur.

£x. : Le volume V d'un parallélipipède, dont la base mesure S^-i-âO et qui a [pour hauteur fiO, est V = 2"q-20 X I^IO = 2"'=-4-2.

Lorsque le parallélipipÈde est un cube parfait , c'està-dire ayant toutes ses dimensions égales, son volume est égal k l'un de ses côtés élevé à la troisième puis-

fa:. : Le volume V d'uo cube qui a pour côté l^iO est V = [i^mf ou i-^AOx l'"40 x l" 40 = S"-"- 744.

En général, le volume d'un prisme droit, quelle que soit sa base, est égal au produit de celle base par sa hauteur.

CiLiNDRE (fîg. 21 ). — Le volume d'un cylindre est égal au produit du cercle qui lui sert de base par sa hauteur.

Quel est la volume V d'un cylindre en fer plein , dont le rayon égale O^aO et dont la longueur est de 1™08?

La surface S de la base = tu r'' = 3,1416 x (0,20)* =.0"''i 1256; alorsV = 0""îl236xl-"08=O"M356.

La formule de la surface d'un cercle est également

— — . Or, le diamètre d = 2 r (

la surface s'exprime aussi par :

1 9 X 0,20 = 0,40, et ,

l'ouyrier-Iiécanicien. 85

alors le volume V = 0"« 1256 x i^OS = 0"«-4356.

Le développement ou la surface latérale d'un cylindre est égal à la circonférence de sa base multipliée par sa hauteur.

Dans l'exemple précédent, la circonférence de la base du cylindre s'exprime par : 2 w r = 2 x 3,4446 x 0,20 = 4,2566. Alors le développement du cylindre égale 4,2566 X 4,08 = l»-«- 35.

Pyramide (fig. 22). — Le volume d'une pyramide polygonale est égal au produit de sa base par le tiers de sa hauteur.

Ex. : Soit une pyramide dont la surface de la base égale 5™^ 20 et dont la hauteur égale 4" 40, on a :

Ainsi, le volume d'une pyramide correspond au tiers du volume d'un prisme de même base et de môme hauteur.

CÔNE (fig. 22). — Le volume d'an cône droit est égal au produit de sa base par le tiers de sa hauteur.

Ex. : Le volume d'un cône qui a pour diamètre à la base 4™ 7 et dont la hauteur verticale égale 2" 4, s'exprime par la formule :

Le développement d'un cône, sans la base, s'obtient en multipliant la circonférence de la base par sa génératrice et en divisant le produit par 2.

Ex. : Le développement d*un cône dont le diamètre

^H £S L'aETBiEB-BÎcAXtcie^. ^H

^V est de 1*7 cl doot la généntrice est de 2*8 égale : ^H ■ 3.mCxf7xî-8 .^^^ I

Tbosc ce fibïmidi! ;eg. 24). — La solidité d'un IroDc de pjTaniide s'oblient par la r^gle suivante ; A la somme des surfaces des basfs, ajoutez la racioe câirée de leur produit, multipliez celte somme par ia hauteur perpendiculaire , le tiers du produit exprimera la solidité.

Ex. : La solidité d'un bloc de [ïlerre en forme d'on

(nmcde pyramide dont la hauteur = I^ÎS, qui a pour

surface de sa base inférieure 2" ^' 5 et pour celle de sa

base supérieure l°'^-8,soitS = 2"i 3+ l^i 8=4""i3.

Puis2»-'!o X I°"i8 = 4*i5.

Et \/4^ ^ ^-^i 13. mM

Alors 4» ^- 3 + «"îiî = e-iiî ^^

fi A3 V t ""î

et V = ' !^ ' = 2- '- 675, solidité.

Tronc dk cône (fig. 23], — Rigle : Au produit des deux diamètres des bases, ajoutez la somme de leurs carrés, multipliez cette somme par la hauteur perpendiculaire et par 0,2618, lo produit sera la solidité du trôna de «ône. '

Ex. : Quelle est la solidité d'un tronc de cône dont le diamètre de la base iuférieure égale ^''G, celui de la base supérieure = 0'"9, et dont la hauteur verticale = 2"0n

Le produit des diamètres = l^G x 0,9 = l"' 4i; lu somme de leurs carrés = (1"G)* + (Oj9]' = 3™ «37.

l'ocvrier-mécanicien. 87

Le volume V = (1» ^ 44 + 3»^- 37) x 2»0i x 0,2618 = 2"»«-53.

Le développement latéral d'un cône tronqué se détermine par la règle suivante : Multipliez la somme des circonférences supérieure et inférieure par la génératrice inclinée, moitié du produit sera la surface latérale inclinée.

Ex. : En supposant le tronc de cône précédent et sa génératrice égale à 2«'4, le développement est exprimé par :^ (3,U16X 1-6) + (3,1416 xO-9) ^ ^^^ ^ ^^ , ^^^

Sphère (fig. 25). — Une sphère est déterminée lorsqu'on connaît son rayon ou son diamètre; sa surface est égale à quatre fois celle d'un cercle de môme diamètre.

Règle : Multipliez le carré du diamètre d'une sphère par 3,1416, le produit en sera le développement.

Ex. : Une sphère a pour diamètre 0"25, quelle est sa surface développée? On a (0,25)2 x 3,1416 = 0"^- 196.

Le volume de la sphère est égal à sa surface multipliée par le tiers du rayon, ce qui donne lieu à la règle suivante simplifiée : Multipliez le cube du diamètre par 0,5236, le produit sera la solidité de la sphère.

Ainsi, le volume d'une sphère qui a pour diamètre 0-25 est V = (0,25)5 X 0,5236 = 0°»«008i8.

Calotte, zone, secteur, segment, onglet et TRANCHE sPHÉRiQUEs. — La surfacc d'une zone ou d'une calotte sphérique (fig. 26) est égale à la circonférence du cercle de la sphère multipliée par la hauteur de la calotte ou de la zone,

ou S = 2ffR X H*

B8 L'ODVRIEB-tlÉCANICI&K.

Ex. : La surface S d'une ualolte dont la hauteur H = O^IS et le rnyon R de la sphère = 0,7a est : S = 2 X 3,lilG X 0,7a X 0,15 = 0,7000.

Le ïolume d'un secteur sphérique est égal au produit de la calotte qui lui sert de base par le tiers d»'' rayon de la sphère.

La formule correspondante est donc :

V = 2.:RxHx g-^^xR=H=2,091XR* X R.

Ex. : Le volume du secteur qui a pour base la surface de la calolte précédente est donc :

Le volume d'un spgment est égal à la surface du cercle qui a pour rayon la corde multipliée par le sixième de sa hauteur,

ou V = s Rî X ? = 0,529fl X R* X H.

Ex. : Soit R = 0,63 et H = 0,15, le volume est :

V = 0,5296 X (0,Gj)^ X 0,13 = 0™'^ 033.

Le volume d'un onglet sphérique est égal au fuseau

qui lui sert de base, multiplié par le tiers du rayon.

Sa formule est ; V = - A x R*,

A exprimant Vxc du fuseau.

Le volume d'une tranche sphérique est égal à M demi-somme de ses bases , multipliée par sa hauteuFfl plus la solidité de la sphère décrite sur cette hauteitt comme diamètre.

Sa forra»le est : V = ( '"' + '"'" ) X H + :^.

L'OUTIlll-SéCAXICIlH. 99

ApPLICÂTIONDSS RBGLKS FBÉCÉDK5TB8 1 r9K CIAC- DIÈRE CTLIKDRIQCE A TAPEUR. Ex. Z Qu^lc CSt \k

contenance d'une chaudière à v^^eor ayant la fonne ordinaire ; celle d^m cylindre avec extrénûtés sphériques, en supposant que la longueur de la partie cylindrique = 3 mètres sans les bouts^ son diamètre = 0"S5 et la flèche des calottes extrêmes égale an rayon ou moitié du diamètre (fig. ^)? (Les deux demi-calottes réunies ont pour volume la sphère de même diamètre.)

Volume de la partie cylindrique ou V = O^TSSi X (0,86)2 X 3» = 4" 707.

Volume des deux calottes ou V = 0,5236 x (0,85)* = 0«»«-321.

Volume total de la chaudière on V + V^ = 1»^707 -J- 0"« 321 = 2» «028.

Ainsi cette chaudière contiendrait 2"-^ 028 ou 2028 litres d'eau.