PROBLÈMES USUELS DE GÉOMÉTRIE PRATIQUE

1° Diviser une ligne droite ou un arc de cercle en deux varties égales. — Des points extrêmes A et B (fig. 28), avec une ouverture de compas plus grande que la moilié de la ligne ou de l'arc, décrivez au-dessus et au-dessous de ' y^ B de petits arcs se coupant en G et en D ; la droite CD qui les réunit divise la ligne ou l'arc en deux parties égales; la ligne C D est de plus perpendiculaire sur la droile A li, et elle se dirige au centre de l'arc.

2° Diviser une droile enplmieurs parties égales, en cinq par exemple. — Do l'un des points extrêmes E de la droite donnée E F (fig. 29), tracez une ligne indéfinis EN formant un angle quelconque avec la ligne donnée; portez cinq fois, à partir de E, sur la ligne E N une longueur quelconque E'; joignez le dernier point de division S au point F, puis, par chacun des autres points de division, menez la ligne i.i'33'22'U', parallèlement à la ligne 5 F, la droile donnée E F se trouvera divisée en cinq parties égales. Ce problème s'étend à toutes les divisions égales que l'on veut obtenir sur une droite donnée; il faut seulement avoir soin de porter sur la ligne angulaire indéfmie E N autant de divisions égales, mais doDt la longueur est quelconque.

3" Trouver le centre d'un cercle déjà décrit. — Prenez surlacirconférence du cercle {fig. 30) trois points A, B,C, joignez-les par deux lignes droites A B, B C ; élevez sur chacune d'elles une perpendiculaire, le point de rei>contre des perpendiculaires D 0, G esl le centre dn cercle. Ce problème reçoit son application dans les ateliers pour trouver le centre des roues.

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4° Faire un angle égal à un angle donné. — Tracez du sommet A de Tangle donné (fig. 3i ) un arc de cercle qui coupe les côtés au point c, d. Prenez une droite A' c'; du point A', comme centre, décrivez le môme arc de cercle, sur lequel vous portez de & en d' la longueur c d; joignez A' d', et l'angle A' sera égal à l'angle A comme ayant pour mesure le môme arc de môme rayon.

5® Diviser un angle en deux parties égales. — Du sommet A de Tangle B A C (fig. 32) décrivez un arc g h; des points g et h, comme centres, décrivez des arcs se coupant en D, et la ligne A D divise Tangle dbnné en deux parties égales.

6° Un carré étant donné, évaluer un carré égal à la moitié de la surface. — Soit le carré A (fig. 33); pour déterminer un carré dont la superficie soit moitié de ce carré , divisez deux côtés adjacents en vingt-quatre parties égales, prenez sur chacun d'eux dix-sept parties, le carré B construit sur les dix-sept divisions présente la moitié de la superficie du carré A.

Le tracé est le môme pour trouver un rectangle , un triangle ou un quadrilatère quelconques, dont la superficie soit la moitié d'un rectangle, d'un triangle ou d'un quadrilatère quelconques donnés : ainsi le triangle B est moitié en surface de celui A (fig. 34).

Le carré C, établi sur douze cfivisions, présenterait une superficie égale au quart de la surface du carré A (fig. 33).

7° Un cercle étant donné, construire un autre cercle égal à la moitié de la superficie dp, premier. — Divisez le diamètre du cercle A ( fig. 35) en vingt-quatre parties. Le cercle B, qui a pour diamètre dix-seçl de ce?» àxs\-

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sions, présente une superficie moitié de celle du cercle A.

Le cercle C, qui a pour diamètre douze divisions, a une superficie égale au quart de celle du cercle A ; le croissant D a pour superficie moitié de la surl:;ce du cercle A, et le croissant H, le quart de la superficie du môme cercle A.

8° Trouner le côti d'un carré qui sera un certain nombre de fois la surface dun carré donné. — SoitABCD le carré donné ( fi^. 36 ] ; la diagonale 6 D sera le côté d'un carré A EFG double en surface du premier. En menant la diagonale CG et construisant dessus le carré AHKL, ce dernier aura trois fois la surface du pre-

9" Trouver le diamètre d'un cercle gui sera v/n certain nombre de fois la surface d'un cercle donné. — Soit ABCD le cercle donné (fig. 37); menez les deux diamètres perpendiculaires AB, CD, la corde AD sera le rayon du cercle o F dont la superficie est double de celte du premier cercle, et molié de cette même corde A D sera le rayon d'un cercle oll dont la surface égale moitié de la superficie du cercle ABCD.

10° Un cercle étant donné, trouver un carré égal en superficie. — Divisez le cercle A [fig. 33), en quatre parties par deux diamètres perpendiculaires; divisez l'un écs rayons en quatre parties, portez «ne de ces parties sur le prolongement des diamètres, et joignez l'extrémité des diagonales; vous formerez le carré MNOP dont la superficie est équivalente à celle du cercle A.

41° Trouver le plus grand rectangle en surface que l'on puisse découper dans une pièce ronde. — Soit ABCD

(fig. 39), le cercle donné; menez le diamètre AC et divisez-le en trois parties égales A^, Im, mC. Élevez la perpendiculaire mD; joignez DC et DA; puis menez AB égal et parallèle à DG; tracez de même BC égal et parallèle à AD, vous aurez trouvé le plus grand rectangle en surface du cercle ABCD. — Ce problème permet de trouver la section transversale de la plus forte poutre qu'il soit possible de découper dans une pièce ronde de charpente.

42® Construire une ellipse, cotmaissant les deux axes perpendiculaires, — Soient le grand axe AB et le petit axe CD (fig. 40); du point de rencontre o de ces axes portez en c et en d les distances oc, od, égales à la différence des demi-axes, et joignez cd; portez la moitié decddecenk: alors la longueur o/c, portée en m, n^p, donne les quatre centres &, m, n, p des arcs qui forment la courbe de l'ellipse. En réunissant ces centres les lignes prolongées donnent les points limites r, s, t, v des quatre arcs de cercle.