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490 L*OnyHIEE-]fÉCANIGIBN.
RÈGLES SUR LA TABLE PRÉCÉDENTE. ^- i^ PoOrdé-
terminer le diamètre d'une roue d'engrenage, connaissant le pas des dents et leur nombre :
Multipliez le diamètre correspondant dans la table au nombre des dents donné par le pas indiqué en mètres; k produit exprimera le diamètre en mètres.
i*^ Ex. : Quel est le diamètre d'une roue de 63 dents dont le pas est de 0" 0335?
On a dans la table, vis-à-vis 63 dents, un diamètrede 20,053, alors 20,053 x 0,0335 = 0» 672, diamètre de la roue.
2® Ex. : Quels sont les diamètres de deux roues de 41 et de 153 dents qui doivent marcher ensemble, leur pas étant de 0°» 025?
On a d'une part 13,05 x 0,025 = 0»326, diamètre de la roue de 41 dents, et d'autre part 48,70 X 0,025 = 1™27, diamètre de la roue de 153 dents.
2" Pour déterminer le pas des dents d'une roue, connaissant le diamètre et le nombre des dents :
Divisez le diamètre donné par le nombre qui, dans la table, correspond au nombre donné de dents ; le quotient exprimera le pas cherché,
i""^ Ex, : Quel est le pas dune roue de 63 dents et de 0°»672de diamètre?
0,672 : 20,053 = 0°» 0335, pas demandé.
2® Ex. : On voudrait construire une roue de 126 dents pour marcher avec la précédente ?
0,0335 X 40,106 = 1"34, diamètre de la roue de 126 dents sur le même pas.
3® Pour trouver le nombre de dents d'une roue dont on connaît le pas et le diamètre :
L*OUVRIBR-MéCANIfîIEN. 194
Divisez ce diamètre par le pas donné ; le quotient correspondant dans la table sera le nombre de dents cherché. — Si ce nombre n'existait pas dans la tabie^ on prendaît celui qui en approche le plus.
!•' Ex. : Le diamètre d'une roue est de 0" 672, le pas des dents est de 0,0335; quel est le nombre de dents que la roue doit contenir?
0, 672 : 0,0335 = 20,053 = 63 dents.
2« Ex, : Quel doit être le nombre de dents d'une roue de 0"*875 qui doit marcher avec une crémaillère dont le pas est de 0°» 025?
0" 875 : 0,025 = 35. Le nombre correspondant le plus proche est HO, nombre de dents cherché.
Vitesses au centre et a la circonférence des ROUES. — On appelle vitesse d'un mobile l'espace qu'il parcourt dans une seconde.
CSonnaissant la vitesse angulaire ou au centre de Taxe d'un volant, d'une roue ou poulie, on détermine la vitesse à leur circonférence par la règle : Multipliez la circonférence de la roue ou du volant par le nombre de tov/rs de l'axe par minute; le produit exprimera l'espace parcouru dans le même temps, et ce produit divisé par 60 donnera la vitesse par seconde à la circonférence de la roue.
Ex, : Soit une roue de i^ 33 de diamètre monté sur un arbre qui fait 20 révolutions par minute, quelle *sera la vitesse à la circonférence ?
Circonférence de la roue 1°>33 X 3,U16 r= 4°»176,
4" i 76 X 20' = 83" 60, espace parcouru par minute,
83™ 60 et -- = 1™ 39, vitesse par seconde à la circonfé-
rence de la roue.
'Il
Lorsque l'on connaît la vitesse à la circonféreace 1 d'un volant ou d'une roue, on détermine la vitesse angulaire ou au centre par la règle suivante :
Divisez la vitesse à la circonférence par le développa ment de la roue; le quotient donnera la vitesse ang\ir taire.
Dans l'exemple précédent, la vitesse à la circoi rence, ou 1°'39, divisée par la circonférence 4" 17 0'33, vitesse au centre, et en multipliant 0'33 60, le produit 20 exprimerait le nombre de tours par minute.
En pi'iitique, on peut facilement se rendre compte sur place de la vitesse d'une roue qui a un mouvement uniforme. On marque à cet effet avec de la craie un poiot sur la circonférence de la roue; on noie combien de fois ce point mobile vient coïncider, dans un temps donné, avec un point fixe d'observation; puis on multiplie ce nombre de tours par la circonférence décrite par le poiot mobile; ce produit, divisé par le temps d'observatinn exprimé en secondes, donnera la vitesse k la circonférence de la roue. Tout antre point aurait une vitesse différente proportionnée à sa distance du centre de mouvement.
Ex. : Une roue de 2 mètres de rayon a parcouru, d'après l'observation, 73 révolutions dans une minute; quelle est sa vitesse h la circonférence î
V = ^;— - — ~ = 15" 70, vitesse à la circonfé-
CO
rence de la roue ou volant.
Réciproquement : connaissant la vitesse à la circonférence d'une roue, on déterminerait le nombre de
L'OUVRIEE-MBCANIGIEIf. 493
tours qu'elle parcourt dans une minute par la formule :
N = ^-E^ ^> OU N = --r-^r 7—- = 75 tours.
Quand plusieurs roues ou poulies sont placées sur un même axe, on détermine (connaissant la vitesse au centre de Taxe) la vitesse à la circonférence de chacune d'elles, en multipliant successivement la circonférence de chacune des roues par le nombre de tours de Vaxe par minute, et en divisant chacun de ces produits par 60.
Ex, : Trois roues ou poulies A, B, G, sont placées sur le même axe, le rayon de la roue ou poulie A = 1" iO, le rayon de la poulie B = i"60, le rayon de la poulie G = 2" 15, et Taxe fait 12 tours par minute.
Vitesse à la circonférence de la roue A :
„ 6,28 X i"iO X 42 . „^
ou V = -^ — = i»38.
Vitesse à la circonférence de la roue B :
ou y ^ M8 X 1"60 X 12 ^ ^„^^
Vitesse à la circonférence de la roue G :
ou V = — r = 2™70.
Dimensions des engrenages. — Les cercles dont les rayons ont été déterminés par les règles précédentes sont appelés cercles primitifs.
I^ cercle primitif dans un engrenage se trouve aux 5/9 de la hauteur de la dent; ces cercles s'appellent aussi cercles de contact; car, lorsque deux dents sont en
494 l'ouveier-mbganigibn.
prise sur la ligne des centres^ leur contact a~ lieu sur les circonférences primitives.
C'est sur ces cercles primitifs que Ton effectue les divisions des dents, et que. l'on mesure l'épaisseur de la denture.
Une dent se compose de deux faces latérales symétriques pour pouvoir conduire ou être menée dans les deux sens. Chaque face comprend la partie plane dite le flanc qui se dirige au centre, et la partie courbe qui est en dehors du cercle primitif. L'intersection de la partie courbe avec le flanc se trouve sur le cercle primitif.
Le pas de l'engrenage est la distance qui mesure le milieu d*une dent au milieu de la dent suivante, ou bien encore c'est l'épaisseur de la dent prise sur le cercle primitif, plus le creux.
Connaissant le pas de l'engrenage, qui, pour deux roues en contact, doit être rigoureusement le même sur les circonférences primitives, on obtient le nombre de dents de l'une des roues par la formule suivante :
N = • . dans laquelle N représente le nombre de
dents, R le rayon de la roue, et p le pas de Tengrenage. Ex. : Quel est le nombre de dents d'une roue dont le rayon = 34 centimètres, et dont le pas = 4 centimètres?
-2 — -— — = 53 dents et autant de creux.
— La dimension principale à déterminer dans un engrenage c'est le pas qui, dans une denture bien exécutée, doit être éga à 2,1 fois, l'épaisseur de la dent.
l'ouvrier-mécanigien. 195
Mais pour poavoir déterminer l'épaisseur à donner à la jdenture d'une roue, il faut connaître Teffort que chaque dent doit successivement supporter.
— L'efiFort qu'une roue doit supporter à sa circonférence primitive s'obtient en divisant la quantité de tror vail exprimée en kilogrammètres qu'elle y possède ou qu'elle doit transmettre, par la vitesse à la circonférence de son cercle primitif,
1" Ex. : Une roue d'engrenage doit transmettre à sa circonférence primitive, qui a 2 mètres de rayon, une quantité de travail de 500 kilogrammètres, en faisant 10 tours par minute; quel est l'effort que la dent supportera?
La vitesse à la circonférence primitive de la roue par
seconde = -^ — r = 2 "09,
vi)
et -^-r^ —239^, effort que doit supporter chaque dent.
Quand on connaît l'effort que doit supporter la dent en fonte d'une roue, on obtient l'épaisseur de la dent
par la formule E = 0,105 y^ dans laquelle 0,105 est un multiplicateur constant pour la fonte, et P est l'effort de la dent.
Ainsi , dans l'exemple précédent où P = 239 kil.,
l'épaisseur de la dent serait E = 0,105 v/239 = 1« 62; alors le pas de l'engrenage serait 2,1 x 1,62 = B** 40.
Le multiplicateur 0,105 correspond à ime largeur de dent L = 4,5 E; il s'élève à 0,126 lorsque L = 3 E, et descend. à 0,077 si L = 8 E.
Dans les roues d'engrenage à grande vitesse, la den-
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ture peut être très-fine eC réduite à un pas de 25 à 26 mill. La largeur L, toujours dans le sens de la jante, égale cinq à six fois l'épaisseur E de la dent. Le nombre de dents en contact supplée alors avantageusement à des dents plus fortes^ mais moins en prise. Dans un engrenage fait sur bois^ en supposant un pas de 26 mill.^ il faut compter 15 mill. pour la dent en bois et il mill. pour la dent en fonte.
Pour une denture en bois, il faut augnienter l'épaisseur trouvée pour la fonte d'un tiars, ou se servir de la
formule E = 0,i45 y^P.
Cette épaisseur serait alors 1,62 + -^ =2*^ 16,
tj
et le pas deviendrait 2,1 x 2« 16 = 4<^ 53.
2® Ex. : Une roue hydraulique de 2" 10 de rayon possède^ à la vitesse de 1"60 par seconde à sa circonférence, une force 15 chevaax ou de 15 x 75^8"- = 1125 kilogrammètres; sur l'arbre de cette roue hydraulique est placée une roue d'engrenage en fonte de 1"65 de rayon; on demande 1° l'effort supporté par chaque dent en fonte de la roue d'engrenage, et 2» l'épaisseur de chaque dent?
-,^ , 1125^?™ X2»i0 ^^^.^ L effort P = , ^ ^ . ^^ = 894^7.
L'épaisseur de la dent = 0,105 v/894,7 = 3M3,
et le pas = 2,1 x 3,13 = 6«57.
Ce dernier exemple fait voir que, connaissant la quantité de travail transmise à la circonférence d'une roue, on détermine l'effort supporté à une distance donnée de
L'oUVRIER-MéCANICIBN. 497
Taxe, soit par la même roue^ soit par une plus petite ou une plus grande montée sur le même axe, en divisant la quantité de travail trouvée par la vitesse de la circonférence correspondante à la distance donnée.
3« Ex, : Une roue d'engrenage reçoit à sa circonférence, qui est animée d'une vitesse de 1"30, un travail de 3 chevaux-vapeur; quelle sera l'épaisseur des dents en fonte?
-■^i-^ = 473S et E := 0,105 VT73 = 13»»» 7.
épaisseur des dents en fonte.
Pour une roue à dents de bois, l'épaisseur de la dent
4 Qmill.A
aurait 13™»i-6 + = 18 »î»- 1.
Da9s la table suivante, l'épaisseur des dents pour la
fonte a été déterminée par la formule : E = 0,105 yP,
et l'épaisseur des dents en bois par E = 0,145 ylF.
Le pas de l'engrenage a été trouvé en multipliant l'épaisseur des dents par 2,1. On déterminerait la largeur des dents en multipliant l'épaisseur donnée dans la table par les nombres 4, 5, 6, selon que la vitesse est au-dessous ou au-dessus de 1"^50^ ou que la denture est mouillée d'eau.
TABLB DES DIMENSIONS
