R = BG = I R=:BE

sin BEG, 180»

En fait, on laisse entre les billes un jeu total j (qui est une longueur qu’on se donne), et on a alors :

180°i StoBE ■

On en conclut, j étant très petit, / . 180»

r^BE ^sm—-^ cos— j;

8E=—r^+4cotg—.

Remplaçant BE par sa valeur en fonction de Rj (rayon de l’axe), la relation précédente devient :

en vertu de toutes les égalités écrites plus haut.

Or Rj doit être au moins égal au rayon minimum a nécessaire pour que l’axe résiste aux efforts auxquels il sera soumis.

Et ceci aura lieu si l’on choisit n de façon que l’on ait :

Ri > a,

ce qui est rempli si l’on a ;

t,in <5

a + R sm a r ^1 — ^ sin a ^ ^ ?■' sin a

En résumé, voici l’ordre qu’il faut suivre pour faire le calcul. On se donne :

B, rayon de la bille;

j, jeu total dans la couronne de billes ;

r, r', rayons des congés du cône et de la cuvette ;

a, angle d’inclinaison de la droite II' sur l’axe.

1» On détermine d’abord a par un calcul de résistance ;

2“ On calcule le nombre n des billes. Pour cela, on calcule (en degrés) l’angle |3 tel que :

sin(3=---- - -,

o-l-R sin a+ r K—^sina 1 — 2 r'smo!

et on prend, pour n, le plus petit nombre entier tel que :

3“ n étant calculé, on a, pour déterminer le cône, la relation :

sm -

ce qui donne R,;

4“ Enfin, la distance O'M du centre du congé de la cuvette à xx' est ;

sm--

ce qui détermine la forme de la cuvette.

Roulement à billes à trois contacts. — Dans un tel coussinet, la bille touche le cône en un point et la cuvette en deux points. Généralement (fîg. 257), la cuvette est cylindrique et fermée par une face plane ; le

Fig. 257.

profil du cône est un arc de cercle et quelquefois même (flg. 258), une droite.

Le cône étant toujours supposé fixe et la bille roulant sur ce cône, elle est animée d’une rotation instantanée p autour d’un axe passant par son point de contact I (flg. 258), avec le cône. La bille touche la cuvette en deux points Ij et I^; son axe de rotation relative par rapport à la cuvette est IJ^. D’ailleurs, comme la cuvette est animée d’un mou-

vement de rotation autour de xx', avec une certaine vitesse u, la vitesse P doit être la résultante de u et de la vitesse de rotation p' autour de IJa.

Ces trois rotations sont donc concourantes et il en résulte que la rotation p s’effectue autour de l’axe IF, F étant le point où I1I2 coupe xx'.

La rotation p' fait, en Ij et en Ij, avec les plans tangents, un angle de 48°. 11 en résulte qu’en et 4 la vitesse de pivotement n’est jamais nulle, elle est égale à ;

p' sin 45° = I p' \/2.

Au contraire, la vitesse de pivotement en I peut être nulle. Pour qu’il en soit ainsi, il faut et il suffit que la droite IF soit tangente à

la bille en I, c’est-à-dire que la tangente commune à la bille et au cône, en I, doit passer par F.

Nous arrivons donc immédiatement à une conclusion importante : Pour qu’un roulement à deux contacts soit bon, il faut que la tangente au point de contact 1 de la bille avec le cône passe par le point d’intersection¥,de la droite Iil^ des contacts avec la cuvette avec l’axe xs! (fig. 259). Dans ce cas, il y a roulement sans pivotement de la bille sur le cône. Nous supposerons, dans la suite, cette condition vérifiée.

Cela étant, calculons d’abord les pressions exercées sur la bille aux trois contacts. A cause du polissage des surfaces, nous pouvons admettre que ces trois pressions P, Pi, P, (flg. 259), sont normales à la bille. On trouve alors, sans difficulté :

Pj P sin a, P2 = P cos a,

a désignant l’angle de la droite IF avec l’axe xæ'. Or, si nous suppo-

sons que l’axe est soumis à une pression on a évidemment :

normale Q en son milieu,

on en conclut :

Pi = |Qtg«, P,=|q.

Déterminons, en second lieu, les vitesses p et p'. En écrivant que p est la résultante de p' et m, on trouve :

sin4b»' sina sin(45“ —a)’

on en tire :

, U sin a P “ sin (46» — a) ’

to sin 48°

^ sin (45° — a) ■

Évaluons, enfin, le travail dépensé, par seconde, dans les frotteinents. Si, comme nous l’avons toujours fait jusqu'ici, nous négligeons le travail de frottement de roulement, les points Ii et donnent seuls des travaux de pivotement et, en vertu de la formule [9], le travail total de frottement est, dans les deux boîtes à billes,

5 = 2/cp'sin 46° [Pi + Pj],

ce qui donne :

6 = fc‘°Qtgatg(45° + «). [14]

D’ailleürs, en vertu des égalités [13], les vitesses de pivotement en et Ij sont :

p' sin

sin (46° — a)

COtg a — 1

Les deux formules [14] et [16] nous montrent, toutes choses égales d’ailleurs, qu’on diminue le travail de friction "g et ks vitesses de pivotement en diminuant a.

Il est bon de remarquer qu’ici le rayon de la bille n’intervient pas. On pourra donc, dans ce roulement, à l’encontre du précédent, employer de grosses billes, ce qui pourrait être une raison pour le préférer dans les coussinets qui supportent de fortes pressions.

La disposition (fig.289), deroulement à trois contacts,dans laquelle la droite DIj est parallèle à l’axe, que nous venons d’étudier, est la plus fréquente. On pourrait évidemment en imaginer beaucoup d’autres de même valeur. Par exemple, en supposant toujours l’angle 1^2 droit (fig. 260), on pourrait donner à DIj une orientation quelconque.

Désignons par |3 l’angle de Ijlj avec xx'. En suivant la marche précédente, on trouve que le travail de friction, à la seconde, est :

= fctüQ tg a COtg ((3— a).

et que la vitesse de pivotement en Ij et est :

P sin 40» =

w sin a sin 4o»

sin (j3 — «)

/3 étant donné, on est conduit ici aux mêmes conclusions que plus haut, à savoir que a doit être le plus petit possible.

On retrouve les formules [14] et [15] en faisant, dans ces dernières, (5 = 45°.

Ces formules ne s’appliquent pas au cas de (3 = 0, c’est-à-dire au cas où l’axe est parallèle à xx'.

Examinons-le à part ;

Il faut alors, pour qu’il n’y ait pas pivotement sur le cône, que la tangente en I soit parallèle à xx'. Cette condition sera, par exemple.

remplie si le cône (flg. 261), est remplacé par un cylindre. Les trois rotations p, p', <o sont parallèles et se composent comme des forces parallèles. On a donc :

fL—Ji

Désignons par R le rayon de la bille, par R, celui du cône, et supposons, pour plus de généralité, que l’angle y= 1^^ soit quelconque, on aura :

IO = Ri, m = R-t-Rsin|,

et, par suite, p = w -- - -.

On a, d’ailleurs, évidemment :

et le travail de friction © dans les deux boîtes à billes © = 2Vcos^(Pi + P,),

ou:

l + sin|

La vitesse de pivotement en et la est :

Ces formules prouvent que, pour réduire le frottement et le pivotement, il faut que y soit le plus grand possible et le rapport le plus petit possible. Donc, pour qu’un tel roulement soit bon, il faut que : l’angle I^DIj soit très ouvert, le rayon Ri du cône petit et le rayon R de la bille grand ; il faut donc un cône de faible diamètre et de grosses billes..

Calcul d’un roulement a trois contacts. — Nous n’examinerons que le cas de la figure 269, qui est le cas le plus usuel.

Ici on se donne le cône de roulement et l’angle a. On peut alors tracer graphiquement le congé du cône et, en lui menant une tangente inclinée d’un angle a sur xx', on a le point I. On connaît donc la distance :

IH = Rj.

Nous allons calculer le rayon R et le nombre n des billes, ainsi que le rayon r = IjE de la partie cylindrique de la cuvette.

Si on appelle, comme plus haut, y le jeu qu’on laisse dans la couronne de billes, on a encore :

D’ailleurs, comme : BE = R, R cos a, on en conclut :

R = R, sin-h R cos a sin- ^ cos-. [16]

D’autre part, on a :

r = Ri R(1 -f cos a), [17]

et, comme : FE = IjE = r,

R, cotg a — R sin a = Rj -1- R(1 cos a). [18]

Les égalités [16] et [18] sont deux équations de premier degré qu donnent R et Rj, puis la formule [17] donne r.

En résumé, on a les formules :

^ cos (cos a — sin a)

(1 + sin a) sm-1- sm a — cos «

(1 + cos g + sin g) sin a cos a — sin a

r = R, -(- R(1 cos a).

On se donne a et le jeu j. On choisit le nombre n des billes de façon que les formules fournissent pour R, Rj et r des valeurs pratiquement acceptables.

Comparaison des deux roulements. — Les deux sortes de roulements à billes que nous venons d’examiner présentent des différences profondes dans la manière dont ils se comportent à l’usage.

Dans le premier (deux contacts) c’est le cône qui fatigue le plus, c’est-à-dire qui supporte le plus grand pivotement.

Dans le second (trois contacts), lorsqu’il est convenablement construit, comme nous l’avons indiqué, le cône ne supporte, au contraire, aucun pivotement et c’est la cuvette qui fatigue.

Dans tous les cas il y a avantage à ce que les billes pivotent peu sur celle des deux pièces (cuvette ou cône) qui est fixe. En effet, la pièce fixe supporte toujours celles des billes qui portent la charge, au même point. Si donc le frottement de pivotement sur cette pièce était notable, l’endroit où se produit le frottement serait bientôt entamé. Au contraire, dans la pièce mobile, le point où se produit le frottement n’est pas fixe, mais se déplace constamment ; l’usure est donc plus uniformément répartie et c’est celle qui peut supporter le plus grand pivotement.

De cette remarque il résulte que les roulements à deux contacts devraient être employés de préférence dans les coussinets où la cuvette est fixe, par exemple dans les roulements du pédalier d’une bicyclette.

Au contraire, les roulements à trois contacts devraient être réservés pour les coussinets où l’axe est fixe, par exemple pour les roulements du moyeu d’une roue.

Il est bon de remarquer encore qu’aux points où il y a pivotement, il y a intérêt à réduire la pression pour diminuer l’usure.

Nous avons, dans ce qui précède, cherché, chaque fois, les conditions pour que le travail de frottement total soit le plus faible possible, mais il est clair, qu’à égalité de friction totale, il y a avantage à multiplier les points de pivotement, car ainsi le frottement en chacun d’eux est moindre.

A ce point de vue, le roulement à trois contacts aurait quelque avantage car, la cuvette reposant sur la bille par deux points, chacun de ces points supporte une charge moins grande que dans le cas du coussinet à deux contacts, où la charge est appliquée en un seul point.

Ceci pourrait conduire à le préférer, dans le cas de coussinets destinés à un service très pénible, comme celui des essieux de roues de wagons, les contacts multiples.

On pourrait même, dans de pareils cas, employer des roulements à quatre contacts, deux sur le cône, 1,1', et deux sur la cuvette, J et J' (flg. 262).

Pour qu'il y ait roulement sans Fig. 262.

glissement, il faudrait que les droites

ir et JJ' se coupent en F sur l’axe xx', condition facile à réaliser.

En particulier, on pourrait placer les droites IF et JJ' parallèles entre elles et à xx'. C’est ce qui a lieu, par exemple, dans le roulement de gauche de la figure 263.

Le roulement de droite de cette figure est un roulement à trois

contacts où la cuvette est cylindrique et où le double contact a lieu sur le cône qui, à vrai dire, est double lui même. Le roulement ainsi obtenu peut être considéré comme un roulement de fatigue, ; il n’aura pas un très bon rendement théorique, mais il sera probablement plus durable qu’un autre.