EXTRACTION DES RACINES

L’extraction de la racine carrée est l’inverse de la construction qui donne la deuxième puissance ; c’est eyore une division superficielle; la ligne dont on veut extraire la racine doit nécessairement exprimer une surface.

Soit a, Jig. 8, la grandeur dont on demande la racine carrée, et soit b l’unité linéaire qui mesure cette grandeur. On soustrait, par superposition , l’unité od delà grandeur donnée oc ; sur le reste de , comme diamètre , on décrit une demi-circonférence ; et , enfin , du point o où l’unité et oc ont une limite commune , on mène une tangente à cette circonférence. La grandeur de cette tangente, comprise entre son point de départ o et son point de contact e, donnera la racine carrée demandée. L’exactitude de ce tracé devient évidente en remarquant que les lignes ed et ec qui joignent le point de contact aux deux extrémités du diamètre sont antiparallèles, si on compare leurs directions à celles de la tangente oe et du diamètre oc ; en prenant , en conséquence , ces deux dernières lignes pour conjuguées, on reconnaît immédiatement sur la figure l’inverse de la construction qui , si l’ou avait à élever au carré la grandeur oe , donnerait pour résultat la ligne oc dont nous avions à chercher la racine.

Ces deux lignes sont donc bien réellement entre elles dans le rapport de a à y/ a.

Il y a une autre construction également usitée pour résoudre le problème précédent; dans celle-ci, fig. g, au lieu de soustrairel’unité, on l’ajoute, au contraire, à la quantité a dont on veut obtenir la racine ; sur leur somme cd , on décrit une demi-circonférence, et l’ordonnée oe, élevée au point o où les deux grandeurs s’aboutent, mesurée entre le diamètre et la circonférence , est la racine carrée cherchée. On le démontre également, en joignant le sommet e de cette ordonnée aux deux extrémités c et d du diamètre , et en reportant le triangle eod en eod'; car, dans cette position, on retrouve encore la construction qui servirait à élever oe à la deuxième puissance : il n’y a , ^>ur cela , qu’à prendre pour conjuguées le diamètre oc du cercle et son ordonnée oe , et à remarquer que les deux lignes qui partent du point e sont antiparallèles par rapport à ces deux conjuguées, sur lesquelles elles interceptent, du côté qui leur est commun, la racine cherchée , et de l’autre le carré donné et l’unité de mesure.

Le carré construit sur l’ordonnée du cercle étant équivalent en surface au rectangle qui aurait pour côtés les deux segments correspondants du diamètre, et cette relation se trouvant tout à fait indépendante de l’unité linéaire adoptée pour mesure, il s’ensuit que les deux directions des obliques qui partent de l’extrémité supérieure de cette ordonnée pour aller aboutir aux deux extrémités du diamètre , projetteront ces deux dernières lignes , entre elles , d’un côté , dans le sens de (l/aX )/b)2L b, et, de l’autre, dans le sens de {\/a X {/b) à a. Substituant, au lieu de a et de b, les expressions équivalentes \/b X \/b et [/a X |/«, les deux rapports de projection deviendront, par la suppression des facteurs communs, \/ a à y/F et Vb à | /a.

On peut donner une forme tout à fait géométrique à la