PARTIE ÉLÉMENTAIRE. 2f

soustractivement sur une conjuguée , et les conséquents se trouvant placés d’une manière semblable sur l’autre conjuguée, les lignes qui joignent les extrémités homologues sont parallèles entre elles. La direction de ces ordonnées parallèles constitue ce que nous avons appelé le sens de projection.

Quand , trois termes étant donnés , il s’agit d’en trouver un quatrième qui soit avec l’un des trois dans un rapport inversement proportionnel à celui des deux autres , cette relation, ainsi exprimée, occasionne assez souvent des méprises, ou du moins des incertitudes de tracé.

Mais, si l’on veut se rappeler que l’égalité inverse de deux rapports correspond à une égalité directe de surface , et que , dire que a : a' inversement comme b : b ' , c’est poser : aX b — a X b', toute indécision disparaîtra.

L’inversion d’un rapport n’a d’importance que lorsque cette relation s’applique à des quantités concrètes : ce qui exige que chaque rapport pris à part exprime des grandeurs de même nature.

Ayant placé les deux termes qui constituent le produit connu séparément sur deux conjuguées , à partir de l’origine , on y placera le troisième à volonté , mais toujours , cependant , à partir de l’origine ; considérant alors les conjuguées comme deux asymptotes hyperboliques, et la transversale qui donne le sens de projection du produit connu a X. b, comme une première tangente à l’hyperbole , il ne s’agira plus que de faire passer par l’extrémité libre du troisième terme a! une seconde tangente à la même courbe, ce qui s’opère, comme on sait, au moyen d’une couple de parallèles qui projettent l’extrémité des tangentes entre elles. Cette nouvelle tangente , ou pour mieux dire la parallèle qui projette son extrémité inconnue (car la deuxième tangente est inutile à tracer, et il suflit de pouvoir se rendre compte de sa position), viendra intercepter sur l’autre conjuguée, à partir de

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l’origine, le quatrième ternie cherché, par cela seul que ia surface du triangle détaché par une tangente quelconque entre les asymptotes , est une quantité constante pour une même hyperbole. La solution ainsi envisagée , il n’y a plus moyen de se tromper dans la disposition des termes et dans le tracé final; car, en se rendant compte de la situation de la courbe et de ses deux tangentes , on s’apercevrait aussitôt des erreurs qu’on pourrait avoir commises.

Une considération à peu près analogue sert à obtenir, par tâtonnement, deux moyennes proportionnelles géométriques successives entre deux termes donnés.

Solution. — • On disposera les deux termes traduits en grandeurs linéaires , de manière à ce qu’ils forment les deux côtés d’un triangle rectangle ; et, ces deux côtés prolongés au delà du sommet étant pris pour asymptotes, on tracera dans l’angle opposé qu’ils comprennent une hyperbole équilatère dont l’hypoténuse du triangle fournira la première tangente; l’on fera ensuite mouvoir une équerre jusqu’à ce que, son angle droit s’appuyant sur une des asymptotes, un de ses côtés soit tangent à la courbe, tandis que l’autre passera par une des extrémités de l’hypoténuse du triangle primitif; arrivé à cette position , qu’on peut vérifier par retournement , le côté tangent à la courbe interceptera sur les asymptotes , à partir du sommet , les deux moyennes proportionnelles cherchées , par cela seul que les parallèles qui projettent entre elles les deux tangentes font alors un angle droit avec la direction de la seconde de ces lignes; ce qui fournit deux triangles rectangles successifs et tellement disposés qu’il sufiit d’écrire leurs relations de moyennes géométriques pour trouver à leur place les deux termes qui constituent la série proportionnelle demandée.

Ce qui précède est fondé sur la propriété suivante : dans un trapèze quelconque, les deux côtés non parallèles