PARTIE ÉLÉMENTAIRE

qu’une de leurs limites coïncide : la portion de a qui ne

( recouverte se trouve pas , , , ,

r l doublée

traction. On fait coïncider une des limites pour que le reste se présente en un seul bloc. Ce reste est encore, dans cette circonstance , la grandeur comprise entre les limites qui ne coïncident pas. Quand la superposition ne peut pas s’exécuter directement, elle peut toujours s’effectuer au moyen d’une ligne fictive équivalente , qu’on détermine par l'écartement des pointes d’un compas , et qui , dès qu’on s’est assuré de son identité avec la grandeur du terme à ajouter ou à soustraire , peut être transportée et reproduite partout où il était nécessaire de présenter la grandeur primitive quelle remplace.

| est égale au reste de la sous-

MÜLT1PLICATI0N.

La multiplication graphique alfecte deux formes diflérentes : la plus simple est celle que l’on obtient par l’addition répétée de l’un des facteurs ; elle s’exécute , en reportant la même ouverture de compas bout à bout un certain nombre de fois déterminé par l’autre facteur qui doit alors être évalué en nombre; nous disons évalué en nombre, parce que la répétition d’une même opération est une quantité abstraite.

Cette multiplication n’est , comme on vient de le voir, qu’une addition multiple; elle se compose de deux termes et d’une condition : le premier terme est la grandeur qu’il s’agit d’ajouter plusieurs fois à elle -même, grandeur qui pourrait être d’une nature quelconque ; la condition exprime le nombre de fois que cette grandeur doit se trouver répétée; le second terme ou produit exprime le résultat de l’opération. Or, tandis que ce dernier est forcément une grandeur de même nature que celle qui a servi à le former, la condition est, au contraire, un DOinbre abstrait qui ne saurait s’appliquer à aucune unité

l.j LE CALCUL PAH LE TR AIT.

particulière, et qui correspond par conséquent à une unité . nécessairement abstraite.

Quand , donc , nous aurons à ajouter une ligne plusieurs fois'à elle-même, c’est-à-dire, à la doubler, tripler, quadrupler, etc., on reconnaîtra facilement dans l’opération ainsi formulée, le genre de multiplication que nous venons d’analyser; les facteurs 2 , 3, 4j ( I u > représenteraient ici la condition , sont des nombres nécessairement abstraits ; et le produit est encore une ligne , puisqu’il se compose de plusieurs portions de lignes placées bout à bout sur une même direction.

Mais , dans les opérations qui dérivent du calcul graphique, la multiplication ne se présente pas toujours sous cette forme que nous pourrions nommer arithmétique. On y est souvent conduit à opérer la multiplication d’une ligne par une ligne ; et , cependant , nous venons de voir que la condition qui constitue l’indice multipltcaraur, doit toujours se trouver exprimée par un nombre abstrait. 11 semble d’abord qu’on lèvera toute difficulté, en donnant une signification abstraite à la ligne que l’on prend pour multiplicateur : on y parvient, comme on sait, au moyen d’une échelle quelconque à laquelle on la compare , pour obtenir le nombre correspondant de la série naturelle qui doit être prise abstrartivement à sa place , et l’on rétablit ainsi le véritable indice multiplicateur.

Mais une difficulté nouvelle résulte de ce mode d’opération : le produit de deux lignes , obtenu par ce procédé, n’est plus une quantité constante ; il varie nécessairement avec l’unité de l’échelle adoptée, il peut même affecter tous les degrés de grandeur , depuis l’infiniment petit jusqu’à l’infiniment grand. La multiplication de deux lignes, ainsi comprise, donnerait donc, en apparence, un produit tout à fait indéterminé.

Ces difficultés disparaissent, si l’on envisage conslam-

l'ARTir. ELEMF.NTAIIIE.

ment la multiplication de deux lignes , comme l’expression de la surface rectangulaire que détermineraient ces deux grandeurs placées de manière à constituer un angle droit , et si l’on regarde en outre l’unité de mesure employée à opérer leur multiplication, comme le côté du carré qui doit , à son tour , servir de mesure superficielle à ce rectangle. Ces relations uue fois admises, le produit linéaire de la multiplication d’une ligne par une ligne n’est plus une ligne , c’est une surface rectangulaire, ayant pour base l’unité de mesure adoptée , et pour hauteur une ligne qui , comme nous venons de le remarquer , varie en raison inverse de cette unité; et qui varie par cela même que leur produit superficiel doit toujours être une quantité constante, et qu’il doit se trouver équivalent, dans tous les cas, au rectangle primitif déterminé par les deux facteurs linéaires, dont on avait à opérer la multiplication.

Pour avoir la signification réelle du produit de deux lignes, abstraction faite de toute unité finie, il suffit de supposer que le multiplicande représente dans sa longueur un élément différentiel de surface. Cet élément , d’après les lois de la multiplication , devra être ajouté à lui-même, par juxta-position , autant de fois que sa base différentielle peut être contenue dans le multiplicateur; construction qui produira nécessairement une surface rectangulaire dont les deux facteurs formeront les côtés. Ici , les deux termes sont, comme on voit, de même nature.

D’après ces considérations, il semble naturel de donner de préférence le nom de multiplication superficielle à toutes celles dont les deux facteurs seront des lignes , afin de ne pas s’exposer aux erreurs qui pourraient résulter de l’oubli de la vraie signification des résultats purement linéaires que l’on obtient par le procédé graphique qui concerne spécialement ce genre de multiplication , et que nous allons indiquer ci-après.

Les mêmes remarques s’appliquent nécessairement soit

au produit de la multiplication de trois lignes, soit à celui d’une surface et d’une ligne ; ces deux opérations constituent une multiplication cubique ; et la ligne que l’on obtient en effectuant ces produits par le tracé , est la hauteur d’un second cube qui est équivalent à celui que déterminent les facteurs primitifs , et qui a pour base l’unité superficielle , soit un carré , dont le côté égale l’unité de mesure au moyen de laquelle on aura opéré graphiquement cette double multiplication.

Fig. 3. Lemnie premier. Soient deux lignes conjuguées of, og situées d’une manière quelconque sur un plan , et partant d’un même point o que nous nommerons origine ; si ces deux lignes sont coupées par un système d’ordonnées parallèles , dirigées d’une manière quelconque ces ordonnées di,eh,fg intercepteront entre elles, sur les deux conjuguées , des grandeurs linéaires qui pourront être considérées comme des projections réciproques. Dès lors, selon que l’on considérera plus particulièrement une des conjuguées comme étant le lieu des projections de l’autre , le rapport constant qui existe entre chaque partie projetée et sa projection s’obtiendra d’abord en ligne en projetant à son tour l’unité de mesure entre les deux conjuguées, et il suffira d’évaluer à l’échelle la projection ainsi obtenue pour avoir en nombre le second terme du rapport cherché. Dans cette opération l’unité doit être placée sur la projetée, de manière à ce qu’une de ses extrémités coïncide avec l’origine; une seule ordonnée suffit alors pour opérer sa projection.

Fig. 3. Lemme deuxième. Si l’on voulait, au contraire, projeter une grandeur donnée d’une ordonnée sur l’autre dans un rapport donné en nombre et traduit en grandeurs l’antécédent le dénominateur

linéaires b

dat s tous les cas la projection du f® 01 * 8 ®*! 11 ® 111 j) faudra

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