Henouvier, Logique, t. II, p

M. Renouvier donne comme exemple le théorème si connu que les trois angles d'un triangle valent deux droits ; et montre que la démonstration vient au bout de cinq syllogismes successifs, qui permettent de substituer l'une à l'autre cinq équations, en vertu du principe d'équivalence.

Cependant ce principe d'identité n'est que la forme ciané qui opère sur une matière donnée. Et cette matière ce piocétié sont les définitions antérieures des nombres et des figures. Or ces définitions ont un caractère d'évidence et de certitude définitive et immuable, qui ne contribue pas médiocrement à la clarté et à la certitude delà méthode mathématique, et qu'il sera facile de mettre en évidence.

Tandis que les définitions expérimentales que nous pouvons donner des êtres qui nous entourent: minéraux, plantes, animaux, etc., ne sont pas évidentes du premier coup, et restent bien souvent imparfaites et provisoires, les définitions géométriques de tel nombre, de telle figure, cercle ou polygone, sont évidentes du premier coup, et mises au-dessus de toute discussion. D'où vient la différence? Tandis que les définitions empiriques s'efforcent d'être un résumé, un décalque plus ou moins adéquat du réel^ les définitions géométriques définissent le pur possible. Or le pur possible, l'idée non contradictoire, est toujours nécessairement vraie, une notion possible étant toujours l'image fidèle d'un être possible ; tandis que la définition du réel n'est vraie que dans la mesure oii elle ressemble au réel. Ainsi la définition des différentes espèces minérales, végétales ou animales ne vaut que dans la mesure oii elles sont des copies conformes à ces réalités,tandis que les définitions de la ligne droite, du triangle et du cercle, demeurent absolument vraies, alors même qu'il n'existerait de fait aucune ligne droite, aucun triangle, aucun cercle parfait.

" imagi.

naines »

Mcia^éo- Cette entière liberté laissée au mathématicien, dans soiniiôns le choix (le ses prémisses idéales, ne va pas sans quelque inconvénient. S'il prend pour point de départ de ses déductions des postulats ou des définitions absolument possibles, mais qui n'ont rien de commun avec le monde réel, il pourra construire un édifice parfaitement logique et homogène, mais « imaginaire », qui pourra choquer et même contredire, au moins en apparence, nos conceptions scientifiques tirées du monde réel.

Telles sont, par exemple, les géométries non-euclidiennes ou métagéométries de Lobatcheffsky ou de Riemann, qui supposent un espace à 4 ou à n dimensions >, et des définitions différentes do celles d'Euclide. On en déduit, avec une parfaite rigueur de logique, les conclusions les plus déconcertantes pour nos habitudes d'esprit. Ainsi, tandis que les trois angles du triangle euclidien vaXeniàQViX droits^ ceux du triangle /o6a^cheffsMen valent moins de deux droits, et ceux du triangle riemannien valent plus de deux droits, Mais le scandale et l'apparente contradiction s'évanouit, dès qu'on remarque qu'il ne s'agit pas des mômes objets. ni des mêmes quantités, puisque les définitions du mot ligne droite ou du mot triangle sont notablement différentes dans les trois géométries. Loin de se contredire, ces trois conceptions ont même pu être réunies par M. de Tilly dans une conception synthétique plus générale et plus haute ^.

De même, dans la science des nombres, comme dans

1. Nous avons déjà apprécié ailleurs cette conception plutôt algébrique que géométrique. Voir L'Espace et leTemps, p. 221. M. Tabbé de Broglie et M. de Lapparent n'y voient pareillement qu'une « traduction géométrique de formules de l'analyse algébrique ». Cf. de Broglie, Annales de philosophie chr. (avril etjuill. 1890); de Lapparent, Science et apologétiq., p. 50.

2. Cf. Mansion, Mélanges mathématiques : De Tilly, Essai sur les princip. fond, de la géométrie et de la mécanique ; Revue néo-scolastique, Les principes de la matagéompfrie (3» année, n<" 2, 3).

celle fie l'étendue, on peut, par un procédé analogue, aboutir aux solutions dites « imaginaires ». Gomme l'a remarqué M. de Lapparcnt, M. Hilbert en rompant avec l'idée de continuité, M. Gantor par l'introduction des diverses catégories de nombres infinis ou transfi- 7iis, ont déployé dans ce domaine imaginaire une hardiesse encore supérieure à celle des Riemann et des Lobatcheffsky.

D'où la nécessité pour ces sciences abstraites, ■ — si elles veulent demeurer utiles, et éviter le vertige des hauts sommets, — de garder toujours contact avec le monde réel, en sappuyant sur des notions fondamentales abstraites de la réalité.

Quoi qu'il en soit de ces envolées si hardies de la ceitiiude science pure, le lecteur a déjà pu conclure non seule- maoïe* ment à la clarté, mais à la précision rigoureusement "■* "^"^' exacte, et à la certitude absolue et parfaite de la mathématique, qui se glorifie d'être la science par excellence, suivant l'étymologie grecque de ce mot.

Absolument évidente dans ses définitions et ses principes, non moins évidente dans son unique instrument, le principe d'identité ; n'opérant en outre que sur les données les plus simples et les plus accessibles de l'esprit humain: les nombres et les figures, si faciles à imaginer et à comprendre, — il en résulte une lumière, dont la limpidité doit convaincre et charmer à la fois l'esprit du mathématicien.

Il ne faut donc pas s'étonner si la méthode mathématique plaît si fort à certains esprits, mais il faut regretter que plusieurs, après une longue et exclusive accoutumance aux mathématiques, finissent par ne comprendre et n'accepter la vérité que lorsqu'elle revêt cette méthode et cette forme.

Ils poussent même l'exagération jusqu'à n'admettre d'autre vérité que celle qui est prouvée par le raison-

nemeiit. Comme si les mathématiques elles-mêmes ne devaient pas recourir à dos principes premiers indémontrables, mais d'une intuition évidente ; comme si l'intuition évidente n'était pas elle-même la base et le critère du raisonnement 1 Exagéra- Qu'ils tiennent à faire rentrer dans le moule de la dé- '7'esprit monstration tous les théorèmes qui peuvent y rentrer, ™fiqne"* alors même qu'ils seraient évidents par eux-mêmes, tels que celui ci, par exemple : un côté du. triangle est toujours plus petit que la somme des deux autres. — passe encore, lorsqu'ils sont démontrables. C'est là une question d'intégrité et d'élégance, dans l'enchaînement complet d'un système donné. Mais qu'ils veuillent étendre cette exigence jusqu'aux premiers principes, tels que : la ligne droite est le plus court chemiri dun point à un autre, et qu'ils n'admettent des premiers principes qu'à regret, avec une confiance résignée, et même avec défiance, voilà qui est excessif et déraisonnable, car l'évidence immédiate, sans terme moyen, sera toujours plus claire que l'évidence médiate, et ce qui est lumineux par soimême sera toujours plus brillant que ce qui est éclairé par un autre. Du reste, si tout avait besoin d'être démontré, rien ne pourrait l'être; de même que si tous les corps avaient besoin d'être éclairés par un autre, aucun no serait éclairé. Il faut donc savoir arrêter la démonstration aux premiers principes qui n'en ont pas besoin : œjdyv.r, a~rivai.

Voilà pourquoi la tournure d'esprit du mathématicien est si différente de celle du physicien ou du biologiste, l'un demandant toujours la prouve par raisonnement, l'autre, la preuve intuitive ou tangible, et dédaignant les preuves de raison. Voilà aussi pourquoi leur manière de voir et leur langage sont souvent aux antipodes, comme l'idéalisme et le matérialisme. Leurs points de vue restent trop exclusifs, et leurs jugements

DIVERSITÉ DES MÉTHODES ET DES CERTITUDES 36o

en deviennent faux, lis oublient qu'il y a diverses espèces de vérité et de certitude, comme il y a dans l'homme diverses espèces de facultés, qui se complètent, sans s'opposer ni se contredire : l'intuition des sens ou de l'esprit, et le raisonnement. Ce n'est pas leur opposition, mais leur mutuelle union qui fait la force de la pensée.

Si ce sont là des exagérations resrrettables de l'esprit ^ p''^'

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mathématique, il a eu aussi d'heureuses applications, "'fj"',f™"' auxquelles on ne peut qu'applaudir. Le merveilleux instrument du calcul a été appliqué à d'autres sciences que les mathématiques, notamment à la physique et à la mécanique, et les a fécondées au point de les transformer en physique mathématique et en mécanique rationnelle, laquelle n'est qu'un rameau de la physique mathématique.

Ces nouvelles sciences sont au fond identiques à la physique ordinaire, à la physique d'observation, sauf que pour passer des faits observés à leurs hypothèses explicatives, elles font appel au calcul, qui n'est qu'un raisonnement plus précis. Par exemple, entre les observations astronomiques de Kepler et la loi de la gravitation, se sont interposés les merveilleux calculs de Newton. Ainsi les mathématiques, — soumettant les faits astronomiques au calcul, et trouvant des formules qui correspondent aux faits observés, — nous ont donné les lois de la ^gravitation.

Toutefois eardons-nous bien d'attribuer la riofueur et sa ceiu-

o ^ <-'^ lude re-

la certitude des mathématiques pures à ces théories phy- 'a''ve. siques, qui ont emprunté pour se formuler le langage et les procédés des mathématiques. Nous serions dupes des apparences et d'un mirage trompeur. Le calcul n'est qu^un outil, — d'une prodigieuse puissance, sans doute, — mais qui ne saurait changer ni la nature ni

la valeur des matériaux auxquels on l'applique. Si les données des problèmes sont hypothétiques ou incertaines, le calcul ne les rendra pas plus certaines, ni moins hypothétiques.

Aussi a-t-on justement comparé la Mathématique à un moulin, qui peut moudre indifféremment tous les grains qu'on y met, bons ou mauvais, et qui ne peut rendre en farine que ce qu'on lui a donné.

La théorie optique des ondulations, par exemple, quoiqu'elle repose sur le plus formidable faisceau de calculs qu'une théorie physique ait jamais pu rencontrer, n'en demeure pas moins une théorie hypothétique, aujourd'hui même fortement ébranlée par les découvertes récentes, et peut-être sera-t-elle demain reconnue fausse. De même, pour la théorie de l'attraction universelle. Sans doute, tout se passe comme si elle était la vraie explication, mais l'est-elle réellement? On peut le discuter.

Les résultats des calculs mathématiques ne sont indiscutables que lorsqu'ils sont rigoureusement appliqués à des théories physiques également indiscutables. Et c'est la critique de la méthode physique ou expérimentale, qui va nous renseigner sur ce nouveau problème.

II Hâtons-nous de passer à la méthode expérimentale

des sciences physiques : nous pourrons en saisir désor-

Mélliode expéri-

""^sa'^' mais plus complètement la nature et le contraste.

nature. Avec Ics mathématiques nous étions restés à la surface la plus apparente des choses : leur nombre et leur ilgure. Avec les sciences physiques nous allons gagner en profondeur, dans la connaissance des choses de la nature, au risque de perdre quelque peu en clarté. Mais il y a une clarté de fond, bien différente de celle de surface, qui est aussi capable de convaincre et même

biVÈRSITÉ DES MÉTHODES ET DES CERTITUDES 365

d'enthousiasmer le naturaliste et le physicien. Loin de la dédaigner, ils la jugent encore supérieure : le tout est de la conquérir, et sa conquête plus rare est semée de plus d'écueils et de difficultés, comme nous allons nous en convaincre.

Tandis que la mathématique est une science de safia: l'idéal, se construisant un monde idéal, sans s'inquiéter queVia s'il correspond au monde réel, les sciences de la nature, par^sTs

I • iii» I 1» !• 1 causes et

au contraire, cherchent a comprendre et a expliquer le ses lois, monde réel, aussi exactement que possible. La prétention de tous les hommes de génie qui ont fondé ces sciences, d'Aristote à Newton et à Pasteur, a été de nous faire connaître l'univers physique tel qu'il est, et non seulement de nous en faire connaître les phénomènes, mais d'en rechercher les causes et de formuler les lois d'après lesquelles ces causes agissent. C'est la cause qui explique l'effet ; et c'est la loi que permet de le prévoir. Or la prétention de la science a toujours été d'expliquer et de prévoir: et le succès de ses prévisions lui a donné raison. Ainsi, par exemple, l'eau est expliquée par la combinaison de l'hydrogène et de l'oxygène, et c'est la connaissance des lois qui président à cette combinaison qui permet de la reproduire. Un des plus grands physiciens contemporaires, Helmholtz, résumait cette pensée commune à tous les savants lorsqu'il disait: « Ce n'est rien de connaître les faits ; la science ne prend naissance qu'au moment oii leurs causes et leurs lois se dégagent *. »

La mathématique, comme toutes les sciences dignes de ce nom, recherche aussi les causes et les lois. Les lois mathématiques sont les propriétés des nombres et des figures, qui dérivent des définitions données ; les causes ou principes sont les définitions elles-mêmes,