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L'intérêt que nous attachons à cette remarque consiste dans le fait que, dans les applications, on a à déterminer des fonctions monogènes (4) à l’aide de leurs dérivées aréolaires et des valeurs qu’elles prennent sur un certain contour donné.

À. Reprenons la définition générale (2) que nous avons donnée au paragraphe 1. Un premier problème qui se pose tout naturellement c’est de trouver les fonctions qui ont la dérivée aréolaire holomorphe au sens classique, donc de chercher les fonctions qui généralisent les fonctions linéaires.

En général, cela nous suggère l’idée d'envisager des expressions qui soient les analogues des polynomes.

Commençons par le cas le plus simple, celui des fonctions à dérivée aréolaire holomorphe.

Supposons donc qu'on ait

où A(z) est une fonction holomorphe, en chaque point d’un domaine D ("), limité par un contour simple rectifiable C.

Si l’on connaît le long du contour C les valeurs de /(z) et de sa dérivée

(*) Nous appellerons domaine l’ensemble des points ntérieurs à une ou plusieurs régions du plan, en nombre fini et limitées par des courbes rectifiables fermées simples, de longueur totale finie.

die

aréolaire, on pourra écrire ('}

NES OR JC) y jà HO N Ee s—!f

où € est un point du domaine D, et