AA

Calculons le terme exprimé par l'intégrale double. Pour cela, traçons un contour C’ assez voisin de C, et désignons par D'le domaine qu'il limite. Entourons en même temps le point € d’un petit cercle ©. Le terme

Re ane h(e) j Te Dent Fe peut être rendu, par Le choix convenable du contour C, aussi petit que l’on

voudra, de même le terme analogue relatif au cercle 5. Quant à celui relatif au domaine D'— à, on aura

h\ a 2iT es mr as Lac de Fi ee ff ne = de se ne L Vue e dE ne, DUT TENTE 0) 7: se Lo ER DOME ee. do | Core Le EN)

Or il est facile de voir que lorsque le rayon de à tend vers zéro, les deux derniers termes tendent aussi vers zéro. Le changement d'ordre est donc légitime.

Considérons la fonction er qui est continue dans D’; de plus, elle y

admet des dérivées partielles du premier ordre continues.

(*) Cette formule est l'extension de la formule (6), établie seulement pour les foncions particulières de M. D. Pompeiu.

Nous établirons rigoureusement plus loin qu'elle est valable pour toute fonction holomorphe (x).

DER Par l'application de la définition restreinte, on voit aisément que la

dérivée aréolaire en est

(ee Appliquons-y la formule GO

re RD dt CT Jette) (LEE) … (CEST: )

Si l’on en tire le terme relatif à l'intégrale double et qu'on l’introduise dans l’expression de À, celle-ci devient

1 s 7e dz - : = fr ja [| … 2 Je — (27) Je (t—z)(t —€) £ É 72) I de ie = — dz MATE een (Corm)E Z

2iT ere 2iT

Portons cette valeur de A dans l'expression de (0) et faisons tendre C' vers C. Il vient

D (:) ! f(z) ss I = = Do £ (7) à ou bien è DE D} TORRES = D; (EE) NI —. eds+ / — da,

la deuxième forme mettant en évidence la structure de la fonction. Cette formule exprime donc les valeurs d’une fonction à dérivée aréolaire holomorphe, connaissant ses valeurs ainsi que celles de sa dérivée aréolaire le . 1 D ns 4 , * 1 ÿ sp « re ) long d’un contour fermé simple rectifiable, exprimées par deux fonctions

continues de 3.

Il est bon de remarquer que nous n’avons fait aucune supposition relative

à l'existence des dérivées partielles de f(3). Or, il résulte de la formule (7) que cette fonction admet des dérivées

partielles de tous les ordres.

La définition de M. Calugaréano y est donc applicable, ce qui simplifie

les opérations.

CE En effet, on peut dire que f(£) satisfait à l'équation

of (0 dz

ou bien OT ue ne

qui par intégration donne

Ste) et QE A)

où P,(€) et D, (€) sont deux fonctions holomorphes.

L’analogie entre ces fonctions et les fonctions linéaires d’une variable est évidente.

On voit bien encore une fois que les fonctions holomorphes d, et D, y jouent un rôle de constantes.

D'une manière générale, la recherche d’une fonction dont la n°"° dérivée aréolaire soit holomorphe conduira à des fonctions généralisant les polynomes ordinaires; nous les appellerons dans la suite polynomes aréolaires.

En particulier, le polynome du premier ordre conduit à un système d'équations aux dérivées partielles, l'extension du système de Cauchy. En effet on a

Rp Ce Rte

= PE ee . EE SRE rL TS 7 2 | 0x dy 72 2? | 0x dy ë Fn 27 | dx € De e Of :

Of n dy les puissances symboliques ayant la même signification que dans toutes les questions du même genre.

Dire que la deuxième dérivée est nulle revient à écrire le système suivant :

RENTE P 8) ox. “dx dy dy A0 4 dQ dP d:Q

Se RAS — te 0)

dx" * 0x dy dy!

Or, puisque

73 Ed ” # ro dt?

on aura en même temps CN À — Le] dt? dE?

Mais, en général, an f' A" ge - DA 0 J

(7e dE"

Cars par conséquent, les fonctions P et Q satisfont en particulier aux équations (9) APE een O6

donc ce sont des fonctions biharmoniques.

Ces remarques mettent en lumière un autre aspect du problème qui nous préoccupe.

L'intégration du système (8) et la recherche d’un polynome aréolaire du premier ordre ne sont que les deux faces d’une même question.

Or ilest parfois préférable de substituer au problème brut relatif au système (8) celui concernant le polynome aréolaire correspondant.

5. Les considérations faites au sujet des polynomes aréolaires laissent entrevoir la possibilité d'une extension systématique de la théorie des fonctions, que nous allons considérer comme un premier échelon auquel nous apprendrons à en faire succéder une infinité d’autres.

En effet, au lieu de nous borner aux polynomes du premier ordre, nous pouvons passer au cas général, en suivant la même voie.

On aura d’abord pour n — 2

D°f se Do? RON, ou bien D Df Ta Da ee —2/h;(C), d’où

D j,(e) + sË CE), h,(Q) et h,(€) étant holomorphes. Mais on peut écrire

LR > os Dee = pl) e sEn(o= EIERG] Par conséquent D Ru Se palf thx, ]=0o ou bien 2 ù hi) CRUE Ah; (CE)

avec ,(€) holomorphe.

Le même procédé répété suffisamment nous conduira à l’expression suivante du polynome aréolaire d'ordre n :

(10) HAE OMC) eee AE)

THÉODORESCO, S)

DE ae qui montre qu'une telle fonction admet dans une région où tous ses coe fftcients sont holomorphes des dérivées partielles de tous les ordres.

La définition particulière y est applicable; parmi les smplifications qui en découlent, remarquons que l’on a

DEN CES DT =, Dor+tt Ft den Sn s

Cette observation simplifie d’une part les calculs, et d'autre part conduit à un système d'équations aux dérivées partielles auquel les parties réelle et imaginaire de f(€) doivent satisfaire; on voit, de plus, qu'un polynome aréolaire admet une infinité de dérivées partielles successives.

Le système dont il s’agit est :

DÉLORES R TEE) é DEP SE RS RES LC: DÉC EES ES

CEE 0x dy dant gyt ar 2 dy OMC OT PES Le Pre ES pal CAS P Eee CE C: va me PQ

OLA EE dar dy der D NE NE BTE ps

En particulier

An+1 P 0; Anti Q — Q,

De toutes ces considérations, ainsi que de la forme des fonctions étudiées et des relations trouvées, on déduit qu'il y a une liaison intime entre les polynomes aréolaires et les fonctions holomorphes. On retrouve d’ailleurs cette classe en y faisant n — 0.

Dans ce qui suit, nous allons donner une formule exprimant les valeurs d’un polynome aréolaire d'ordre n, quand on connaït sur le contour C les valeurs de la fonction et de ses dérivées successives, exprimées par des foncions continues du point 3 qui le décrit.

; : D’ ; ï NA Notons pour simplifier Se — //. La fonction / (0) sera de la forme (12) f(E)—=0,+ ED EAU LEO: (D, D, ..., D, étant holomorphes).

(*) Ces fonctions ont été rencontrées la première fois par M. Pietro Burgatti, indépendamment des idées que nous exposons ici, par l'introduction d'un opérateur qui ne diffère pas essentiellement de la dérivée aréolaire (au sens de M. Calugaréano). Voir à ce sujet P. BurGarri, Sulle funsioni analitiche d'ordine n (Boll. Unione Mat. Italiana, Anno 1, n° 1, 1922). s

Considérons les fonctions

LOPEEOES = Lie RCE) ME fa(E),

| OU yet) E pra(e) JEUNES (ny PAR ACER

On aura, en remarquant que o,[ f]=%,[//] et en substituant dans ces expressions les valeurs de f et de ses dérivées tirées de la formule (12), les résultats suivants :

Pol f]= D, (E), DIE Pr ce qui conduit à

toutes ces composantes étant holomorphes.

Appliquons la formule de Cauchy à chaque fonction o;[/f|, et changeons convenablement l’ordre des termes.

On arrivera aisément à l'expression suivante (!) :

NA are À À CPL I &—3z f'(z2) ; (4) = 7 fes + URL Er ere Re en ter 218 Je n! 10 où les fonctions f (3), f'(z), ..., f"(z) sont supposées seulement continues

le long de C.

On a pour tout contour l tracé dans le domaine D les relations suivantes : fotfisld=e (G=o,1,..,n), (#21 Pa

à cause de l’holomorphisme de ces fonctions.

Réciproquement, st n + 1 fonctions continues dans un domaine D, soient

rt Co salsfontautirelations (15) fatfterds =,

(2) Un certain nombre de résultats contenus dans ce chapitre, ont été déjà publiés par nous dans deux Notes à la Reale Accademia dei Lincei (voir Rendiconti, 6° série, vol. XI, 1°" semestre 1930, fasc. 3 et 4).

où | PASI= Ste) — 23 ;r1(3) +... + (— 1} FE

pour tout contour rectifiable fermé (T°) tracé dans ce domaine, f,, est un polynome aréolaire d'ordre n, dont les dérivées successives sont les fonctions f,, ÉRN

En effet, en remarquant que o,[ f| = /,(:), on déduit que /, est holomorphe; en vertu de l’une des relations (15) on aura,

Quilf]= fuite) — 7 fn).

Mais o,,|[ f] étant holomorphe, il suit que /,, (3) est un polynome du premier ordre, et ainsi de suite.

Ce théorème sert ici de théorème de Morera et donneles conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une fonction soit un polynome aréolaire.

6. La forme spéciale sous laquelle se présente un polynome aréolaire laisse à soupçonner la possibilité d’un développement plüs général, en série d'intégrales.

Supposons que la fonction f({) admette des dérivées aréolaires de tous les ordres, continues et également bornées dans un domaine D et sur son contour C.

Alors la fonction (€) admet une infinité de dérivées partielles ordinaires et peut étre représentée à l’intérieur de D, par la série uniformément convergente.

LE ie PTE hoc (16) fo = J as + ve : … er ae PRE + e joe MCE te 21T " n! ARTS Considérons les fonctions BI SUD RAS DETOIRERS

PLIE=TA) E fHi(E) han her) Se LR)

“nf

er, , pe, : D ; Puisque les fonctions f, f', ..., f"— f, sont supposées bornées, on

TA Do’

peut trouver un nombre positif M, tel qu’on ait pour tout indice À et pour

Sos tout point

[FCO <M el LUCE) < M; on en déduit

PPT TFC) | +

|" (E) | — -,.,<Meltl

et, en général, BASTI<M et.

Donc les séries #,;| /] sont uniformément convergentes.

Ces fonctions sont en plus, holomorphes.

En effet, par une dérivation aréolaire, terme à terme, de la série uniformément convergente (‘), on trouve

D M ; ni Do PUITS lim (=) À fr (e)

n> mn

qui est nulle partout, dans les conditions posées. On arrive au même résultat, en ce qui concerne les autres fonctions. Considérons maintenant la série