TION

Par conséquent, on peut déterminer /(£) par la formule

NES * f(z) sf PP) KE) oiT b re T.. fc.

Toute fonction holomorphe (4) peut être exprimée de cette manière. Le cas des fonctions à dérivées partielles continues y est compris.

Remarquons toutefois que les valeurs de /(z) ne peuvent pas être complètement arbitraires sur le contour C, parce que les valeurs de A(z) ne peuvent l'être non plus. En même temps, on peut voir que /(z) n’a pas besoin d’être holomorphe (x) sur C; elle peut être seulement continue comme nous l'avons montré (dans un cas particulier).

Là

9. On peut remarquer que pour obtenir la formule (22), on fait appel à

des opérations indépendantes de la liaison entre f (€) et o(€). Cela nous

suggère une étude plus générale d’un développement tel que (22). Considérons l'expression

F (€) I Îtz) ff o(P 5 = les 2) Re T D —

où f(3) est une fonction continue du point z qui décrit un contour simple, fermé et rectifiable C, o(v) étant également continue dans le domaine D et sur le contour C; € est un point du plan.

Supposons d’abord qu’il soitintérieur à D.

Les deux intégrales représentent des fonctions continues de ©, la première étant même holomorphe au sens classique, comme on le sait. Quant à la deuxième, elle représente une fonction g(£) holomorphe (x) dans le domaine D.

En effet, si l’on pose

2 ds

: do

| She —, — a |e

et si l’on calcule l'expression f g(£) dé le long de tout contour fermé C, ;

tracé dans le domaine D, on arrive, comme on l’a déjà fait au paragraphe précédent pour une expression analogue, à une relation telle que (11), soit

l il + ja Jeoe—E [ fat do =

ce qui nous montre, en vertu du théorème de Morera, que nous avons déjà

THÉODORES CO. ÿ

énoncé, que g(©) est holomorphe (x), sa dérivée aréolaire étant la fonction œ(C).

Dans ces conditions, la fonction F(©), définie par l'expression (23) est holomorphe (4), sa dérivée aréolaire étant la fonction ®(©), lorsque € décrit le domaine D.

Supposons maintenant que € soit extérieur.

L'intégrale relative à C représente dans tout le plan extérieur une foncuüon holomorphe différente de la première. Quant à l'intégrale double, on

peut démontrer la même chose (‘). En effet, calculons / g(£)df, le long | Le

d’un contour C/ extérieur à C, après avoir fait une coupure pour isoler le point à l'infini. On aura aisément

fe@ dt =, C’

ce qui prouve que cette fonction est holomorphe dans tout le plan extérieur. Elle est régulière à l’infini et nulle comme +

Donc, la fonction F,(®) définie par (23) est holomorphe à l'extérieur du domaine D, dans tout le plan.

Il reste à traiter le cas où € est sur le contour C. A cet effet, nous allons étudier d’abord deux problèmes analogues à ceux relatifs aux fonctions analytiques. Soient deux points symétriques par rapport à un point fixe :,, du contour C. Notons-les par

É—%)+n G—so—n.

Calculons l'expression lim{[F(z+n) —F,(5—1n)], lorsque les deux points tendent vers 3,, de manière que le chemin ne soit

Jamais tangent au contour supposé doué d’une tangente unique en chaque point. On a d’abord l'identité