PORTE
Mais le premier membre est une constante indépendante de € et qui peut être rendue aussi petite que l’on veut, donc on a la relation suivante :
(19) sa JE [fe do=0
pour toute fonction holomorphe (x) et sa dérivée aréolaire. Appliquons-la à un contour fermé y, compris dans un cercle de rayon 7, pour lequel on à
[p(z) — oz) | Le ou bien p(s) = (3%) + (3) MED UE
On déduit aisément
I o(z ; te) 7 OL De [ fau à f fete) de; : ?(So) f- CA UE — [rte de En ff du A ef fa 21T y T 5 T 5
qui est valable pour tout point 3, du domaine D, en vertu de la continuité uniforme de o(z), et prouve que le rapport (1) converge uniformément vers la dérivée aréolaire pour toute fonction holomorphe (x.).
Nous allons en démontrer la réciproque :
donc
St pour une fonction f (3), le rapport (1) converge uniformément dans un domaine D, la fonction est holomorphe (x), donc sa dérivée aréolatre est contunue en chaque point du domaine:
Soient z, el : deux points assez voisins. En vertu de la convergence uniforme du rapport (1), on peut, à un nombre € donné, faire correspondre un nombre 2 tel que, pour tout contour fermé compris dans un des cercles de centre 3, et z, et de rayon p, on puisse écrire :
< Ë fe [do LS Ja,
ñ L à î ,* L = J(z) ds — (50) ff de Fo RES x 1 - 1 4 si Y POT 7 (5) | f do se [ fu.
EF /Y: D vô, “x ô,
Prenons comme courbes y, et y,, les deux cercles décrits. Les inégalités
ou
ci-dessus peuvent être écrites :
es) f f do = 2 (3) dz + au(x) ff du Crenese) e(s,) ff du= = f{s)de+e(a) f fé tienne)
Par la transformation linéaire 3'— 3+3:,—3:,, on peut rapporter les intégrales au même contour. De même, on peut prendre les deux points z, et 3 assez voisins pour qu'on ait (')
HG fGR2 2) | <p! si [a — 2%] <n:
En retranchant membre à membre les égalités considérées, on obtient
[9 (21) — p(3,) | me f 1f( + 81 — 86) — f(z)|| de | + amep? < 270 + anep?, Ta d’où [o(z1) — p(z0)| 2€ + 20,
ce qui assure la continuité de la dérivée aréolaire.
On peut donc réunir ces deux résultats sous l’aspect suivant :
La condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction continue f(z) soi holomorphe (4) dans un domaine est que le rapport (1) converge uni formément vers sa limite, dans tout le domaine (?).
On a vu, d’ailleurs, que toute fonction holomorphe (x) satisfait avec sa dérivée aréolaire à l’équation fonctionnelle (19).
Inversement, st un couple de fonctions continues f(z) et o(z) sauts fait à l'équation (19), la fonction f(z) est holomorphe (x) dans le domaine D et sa dérivée aréolare est o(z).
En effet, on n’a qu’à écrire cette relation pour un contour fermé convenable et y appliquer la formule de la moyenne à l'intégrale double.
(!) Ce qui est bien possible, car p est indépendant des points du domaine; donc la distance | 3, — z,| n’a aucune influence sur cette quantité. (?) Ce résultat appelle certaines remarques. En théorie des fonctions de variable
réelle, on est amené à démontrer que si la limite du rapport ] ( è
atteinte uniformément, la dérivée est continue; pareillement pour les fonctions holomorphes (voir Cu. DE LA VazLée Poussin, Cours d'Analyse, 1. 1, p. 69). Mais ici les circonstances sont un peu différentes, car au lieu d’avoir la fonction ©(#) définie comme limite de fonctions de points, elle s'obtient comme limite de fonctions de lignes.
ne.
Précisément, la continuité de la fonction (z) conduit à.
lpts)—e(ci<e pour|z—x]|<p.
Donc p(a)= gta) +e/(z), le(z)]<e
La relation (19), appliquée au cercle 9 (ou à un contour intérieur), donne
lPOLECOIR EC < [ fisterido <e f fas 2 J, 3 5 5
Or, une fonction continue est uniformément continue; donc il y a un rayon © qui convient à tout point de D. Les résultats énoncés ci-dessus peuvent être mis sous une autre forme :
La condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction continue f(3) soit holomorphe (x) est qu'il existe une autre fonction continue o(z), telle qu'on ait la relation
Go en [rt ds =? [ fetdo=o
pour tout contour CG, fermé et rectifiable, limitant un domaine D. De plus, o(z) est sa dérivée aréolaire partout.
Ce théorème généralise celui de Morera, relatif aux fonctions holomorphes. On est d’ailleurs dans ce cas pour 9(3)= 0.
Le cas étudié par M. Pompeiu y est compris; on n’a qu’à se reporter à la formule (5) pour voir que l’expression (20) est une extension de la formule de Green.
2. Nous allons en tirer une formule donnant les valeurs d'une fonction holomorphe (4), dans un domaine D, limité par un contour simple fermé et rectifiable C, à l'aide de la dérivée aréolaire, continue en chaque point de D et de la fonction, le long de C.
Soient /(3) la fonction considérée, 9(3) — sa dérivée aréolaire, {un point de D.
Décrivons un contour fermé C’ intérieur à D, qui limite un domaine D’, Entourons-le de deux autres contours fermés C/ et C”’ voisins et respectivement intérieur et extérieur, limitant deux domaines D’ et D”. Soit à le
domaine compris entre C/ et C/’ (D" étant compris entre C/' et C).
ÉHRCTIRE Calculons
left faffefaffenfaff
lorsque le point € décrit le contour C’.
Le P)
La fonction - est continue et bornée en chaque point de D’ et D”, o
peut donc re un changement d'ordre d'intégration aux termes correspondants.
Quant à l'intégrale relative à , on peut s'arranger de telle manière qu'elle tende vers zéro, avec l’aire de ce domaine. Soit e(Q) une borne supérieure de cette intégrale. On aura
Joie Er
: 1 dé 7 ROUS 217 Je PE a Les autres termes donnent successivement
l' étant la longueur du contour C’.
2ÛT FAURE : = . [fx (#) do Je = ne J [+ : ja [> 0,
de telle sorte qu'on ait
1 o(e) ge)doe far [ [Da = JS 2UT Je Re
Mais on peut toujours choisir le contour C/” de manière qu’on ait
1 o(r) do |<e D'—p"
En ajoutant ces deux dernières inégalités et en remarquant que le premier membre ne dépend pas de €, on tire
nu I ;: (9) (21) house fa ff AT
Si l’on écrit la relation (20) pour le contour C/ et que l’on tienne compte de l'égalité (21), on a
Afro {etape
et
do.
ER
L'intégrale double qui y figure est une fonction continue de Ÿ dans tout le plan. M. D. Pompeiu a démontré ce résultat même pour le cas très général où la fonction (+), donnée à priori, est seulement bornée et intégrable (Lebesgue) ().
Or, cela étant, la quantité, dans Le crochet, est une fonction continue, et par suite, d’après le théorème de Morera, holomorphe dans D.
On aura donc CE) += nl “I: Ad do = h({t).
D'APEC
Il nous reste à déterminer cette fonction holomorphe A(£). Supposons connues les valeurs de f({) sur le contour C. On connaîtra par conséquent les valeurs de #(2) sur la même courbe, car l'intégrale double y est parfaitement déterminée.
L'intégrale de Cauchy donne
Mais cette expression se simplifie, car si l’on décrit un contour C, intérieur à C et aussi voisin que l’on veut, on peut écrire
de nie PE tu — = J ao) do | TE — 2T 2T = ENE SINESS)
Mais
I [ ds ds 1 1 ’ S ; : = Æ ——————— ——- — See, S Lee = = Ô, DITS RER) 2ir(r —C) Pr s NW) L [a] 1 |f s {5 [e
puisque les deux points sont à l’intérieur de C et chaque intégrale est égale à 1.
Sivet © sont confondus, on a )
air Je (3 —€)
d’après les propriétés classiques des intégrales de contour. La valeur de A(©) devient dans ce cas
h(&) - JS JG Le ds.
air
(1) Voir Annaes da Academia Polytecnica do Porto, t. VIN, 1013,
