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La fonction F,(€,) étant holomorphe à l'extérieur de (F) et, de plus, identiquement nulle d’après (27), on peut en annuler les coefficients dans

le développement, suivant les puissances de ;: On trouve ainsi les rela-

tions (28), valables seulement dans cette région.

Mais à cause de l’analyticité de la fonction F,(£,), si elle est nulle dans une région d’aire finie, elle le sera dans tout son domaine d’existence, ce qui rend les relations (28) valables dans tout le plan extérieur à D.

Les fonctions holomorphes conduisent aux relations (")

20 fCe) de —=0 (rREOME)

Une autre forme de la condition (27) peut être déduite immédiatement si /(z)satisfait à une condition de Hôlder. On n’a qu'à comparer les relations (25) et (26), ou écrire que

lim Fr =M)=0.

On en déduit l'équation intégrale suivante :

HER ST : HE LEE 2UT Je Fm A T DECO

J(50) - IE das - Su ge) COPA 2 2UR Je 5 — TU TELE

où l'intégrale de contour est prise au sens de valeur principale.

L'étude que nous avons faite met en évidence une sorte d'opération nouvelle qui nous conduit à une fonction holomorphe (x) lorsqu'on en connait la dérivée aréolaire.

Si l’on remarque que la plus générale fonction holomorphe (x) dont la

ou bien

(*) Ce résultat a été trouvé par M. Walsh, sa méthode étant d'ailleurs différente de celle que nous avons donnée et introduisant une restriction supplémentaire consistant en une condition de Lypschitz [Voir Sur les valeurs limites d'une fonction analytique. (C. R. Acad. Sc, 1, 178, p. 58)]. ”