PORTE RER
dérivée aréolaire est o(©), est donnée par oi
(29) ft) RE) - Re des,
on peut considérer cette opération comme la recherche d’une primitive, la fonction holomorphe A(©) jouant le rôle de la constante arbitraire dans le calcul infinitésimal ordinaire.
L'intégrale définie a pour analogue la formule (23), mais il faut toutefois remarquer que la restriction de prendre une suite continue de valeurs le long de C peut conduire à un problème impossible.
Dans les applications pratiques, ce problème mérite une attention spéciale, car il a des interprétations physiques qui ne manquent pas d'intérêt.
4. Parmi les propriétés générales des fonctions holomorphes («), signalons les deux théorèmes suivants, qui font la liaison entre ces fonctions et les fonctions holomorphes ordinaires d’une part, et d’autre part montrent la possibilité d'une extension nouvelle de la notion de dérivée aréolaire, qui fera l’objet du chapitre suivant :
St une fonction continue f(s) admet une fonction continue o(z) comme dérivée aréolaire en chaque point d'un domaine D, sauf peut-être sur un ensemble dénombrable (sur lequel elles restent toutes les deux continues), cette fonction est holomorphe (a) dans le domaine D et sa dérivée est partout o(z) (").
Désignons par £,, &, ...,(h, ... les points de l’ensemble dénombrable considéré.
À chaque point €, attachons le plus grand carré de centre €, et tel qu'à tout € donné, on puisse écrire :
nr. £ HORMONE RRTTOERTOIES
on
pour tout point Ü intérieur (ou du contour).
De plus, en chaque point où la fonction est monogène (x), on peut faire su , Q correspondre un carré 0, Lel qu'on ait
I NC EMA EEE 2 | He Ja LJ Jetrde)<f [as
selon la définition de la dérivée aréolaire.
(?) Extension d’un théorème de M. D. Pompeiu (voir sa Thèse Sur les singularités des fonctions analytiques, Paris, 1905).
, THÉODORESCO, 6
Jos
Les carrés considérés peuvent être ou bien intérieurs à D, ou bien écornés par le contour C.
On aura évidemment
He dz ei f(En) ds = 0.
Yn Donc | f J(s) ds =| [ LPC) — f(Gr)] ds | < AT | r, étant la longueur du côté du carré y,..
Ensuite,
| f ILo(e) — p(6)] do < - . (œr—= aire du carré),
| Ôn 5 d’où
€ << Ant |O(En)| an.
ff ets ds Il s'ensuit que I I a J fade 2 [ fete) do
Evidemment un même carré peut contenir plusieurs de ces points. même une infinité.
c € 2 4 <e Der nt Re F- Gare
Si, dans la somme que nous allons effectuer, on considère dans le premier membre une seule fois les termes provenant d’un certain carré, tandis que dans le second on les compte tour à tour, l'inégalité sera plus accentuée.
Écrivons d’abord la contribution d’un carré écorné, relatif à un point ?,.
On aura
Jo 2 ff ado
Quant aux points de monogénéité (x), ils donnent
J Len ——— (3) ds — - ») de = Ai ) d a J et) 6)
Faisons la somme pour tous les carrés, en supposant qu'on a partagé le domaine D en un nombre convenable de régions (carrés ou portions de carrés).
c l c Le n ; ue Ts = OUT ( Pat 5 ) an Ln + | 2 En) Un
<< EX (a — aire de à).
one On obtient
1 AN er I in J ras 2 [ feterdo
en désignant par :
or À Q M 72 << BE NES De E— O + —E€, T T
r une limite supérieure des côtés des carrés,
À la longueur du contour rectifiable C,
Q l’aire du domaine D,
w l’aire du domaine qui enferme l’ensemble dénombrable, M une borne supérieure de la fonction (3) dans D.
Or, le premier membre est une constante indépendante de € et w. D'ailleurs celui-ci peut être rendu inférieur à €, car un ensemble dénombrable est de mesure nulle.
Il s'ensuit que I JL a Je ds — à [ [et do 0
pour tout couple C, D; donc, en vertu d’un théorème souvent employé, fs) est holomorphe (x) et sa dérivée aréolaire est bien o(3).
Passons à un cas plus général, celui d’un ensemble de mesure superficielle nulle.
Supposons que f(3), continue dans un domaine D, satisfasse, en plus, à
une condition de Lipschitz, de la forme fs) — (a) <Mfz— 3]
en chaque point du domaine.
Dans ces conditions on peut énoncer le théorème suivant :
Si une fonction f(z), continue et satis faisant à une condition de Lipschits, admet une fonction continue o(z) comme dérivée aréolaire en chaque point d’un domaine, sauf peut-être sur un ensemble de mesure nulle, elle est holomorphe (a), et sa dérivée est partout égale à o(z).
Attachons, comme précédemment, à chaque point de l’ensemble un carré, tel qu’on ait [p(E)— p(G)l<e.
Faisons la division du domaine de telle sorte que chacun des points de l’ensemble soit intérieur à un carré. Le procédé de division peut être poussé autant que l’on veut, de manière que l’ensemble exceptionnel soit enfermé
MR dans un nombre fini ou une infinité dénombrable de carrés d’aire totale 6 €
On aura pour ces carrés
frere)
fu) — f()]dz| < 8r?M 2
ou, si le carré est écorné,
fre )dz | <
étant l’arc qui le traverse.
En même temps, | ec do A
ce J/©) az à [ fetmdo) <
ou, pour un carré écorné,
a(4r +1)MrV,
<eax+|p(G)|x
Donc
br es ee Lee T T
-Gr+DrMW , EUR 1?(&)1 ΠT T &
En tenant compte de tous les carrés, attachés soit aux points réguliers, soit aux points de l’ensemble de mesure nulle exceptionnel, on aura
Re ) dz — 2j {et do OU:
Q est l'aire de D;
w, l'aire de la suite d’intervalles enfermant l’ensemble ; o, la borne supérieure des côtés des carrés;
À, la longueur totale des arcs qui traversent les carrés; N, la borne supérieure de [9(G)|.
En mtmmencrel. À
, 4MV2,,, MÀVv2 (e+ N) T T T
De cette inégalité, où le premier membre est constant, tandis que le second peut être rendu aussi petit que l’on veut, on déduit
je J JG ds — x J Jets) do #0
qui prouve le résultat énoncé.
RAA
Donnons, pour terminer, un autre théorème, se rattachant aux séries uniformément convergentes de fonctions holomorphes (a).
St une série de fonctions holomorphes (x) est uniformément convergente dans une région du plan, la série des dérivées aréolaires est aussi convergente uniformément et la somme de la série est une fonction holomorphe (x), dont la dérivée aréolaire est la somme de la série des dérivées.
Soit, en effet, la série fitz) + faits) +...+ frn(z) +...
et soient o,(3), o:(3), ..., o,(z), ... les dérivées aréolaires des termes successifs.
On aura, d’après la définition de la fonction holomorphe (x),
Ë frs - En fa A É [as DA T à 26 4/5 |
si l’on choisit un cercle à assez petit pour tout point du domaine considéré. | On en tire
fa faune & ff = ffe= RE Fe CNET
Mais la convergence uniforme permet de trouver un entier N, tel que
S fa) < 2] [a
n=N+1 étant arbitraire.
Donc, I É I = € = D gn(%0) hés ef Date) as|+ x [fée n=N+1 is n=N+1 conduit à
Ç € nl ; D: On(%0) Re de
l'étant la longueur du cercle.
Mais « et n sont bien indépendants du point 3, considéré, ce qui montre que la série des dérivées aréolaires est uniformément convergente aussi.
ire
Notons par F(:)et D(z) les sommes des deux séries. Calculons
I 7 - INA AE D(c) do.
et (z)c | Ê (e) do
On aura, en vertu de la convergence uniforme,
ll , 4 FRS L h > = DA ÉAHCLE ef fente do | =
HE
dans ces conditions, il est manifeste que F(3) est holomorphe (x) et que sa dérivée aréolaire est D(z).
Ce théorème nous permettra l'extension des règles de dérivation à bien des fonctions usuelles.
Soit, par exemple, à calculer la dérivée aréolaire d’un quotient de fonc-
tions holomorphes (x).
Montrons d’abord que l’inverse d’une fonction holomorphe (+) a pour
dérivée D nu 1 Df Do | f J° Do en tout point où f < 0.
Ea effet, soit M une borne supérieure de f dans une petite région autour d’un point où elle est bornée. On aura
n'as I EURE Un Rte A M—f. (M—f}.
FU MMS) M MS ML M EN EER
Cette série étant uniformément convergente, et chaque terme étant holomorphe (x) dans la petite région considérée, on aura, en dérivant terme à
terme (eS; 10; Li EE 5 . M — f Df ss I Df Dome a M up RDS f° DS
On en déduit rm rlnee- 561]
en tout point où le rapport æ est borné.
(1) Nous allons démontrer dans le chapitre suivant que la règle de dérivation d'un produit est encore valable pour la dérivation aréolaire, |
Il n’est pas difficile de voir qu'on aura aussi
D Pres Un — Df ps L/] —m| f] D:
ro) — pf =
Dans Der
D ri Df
De in
