INTRODUCTION

L'idée d’étendre le cadre de la théorie des fonctions a préoccupé les mathématiciens, comme il était bien naturel, dès que la théorie classique a été édifiée.

Toutefois, étant donné le fait que les propriétés des fonctions holomorphes découlaient de l’existence d’une dérivée unique en chaque point, on a considéré longtemps comme inutile Loute extension au domaine des fonctions pour lesquelles cette notion n’avait pas de sens.

Or, ce qui caractérise une fonction holomorphe dans l’ensemble des fonctions continues f(z)—P(x,y)+1Q(x,7y), est l'intégrale de Cauchy

(1) fre

pour tout contour fermé rectifiable tracé dans le domaine d’holomorphisme. En effet, cela découle du théorème de Morera, qui peut servir à partager les fonctions f (z) en deux catégories.

Le premier qui s’est demandé ce qui se passe, dans le cas où l'intégrale de Cauchy n’est plus nulle, a été M. D. Pompeiu qui en 1912 a repris la

THÉODORESCO. 1

formule de Riemann

(2) a Jo ds 2 f [etc =,

Sr | OPA NE TOO PRES (3) MOTS (SE D Fe 9y)

et a remarqué que l’on a

f rte):

(4) pa) == lim

aire de D

lorsque le contour C se resserre indéfiniment autour du point 3,, en supposant que les fonctions P(x, y)et Q(x, y) admettaient des dérivées partielles du premier ordre continues.

Il appela cette limite dérivée aréolaire de f (=).

Il est remarquable que pour rentrer dans le cadre classique on n’a qu'à supposer la dérivée aréolaire partout nulle, ce qui montre que pour celui qui ferait la théorie de cette dérivée, les fonctions holomorphes doivent jouer le rôle de constantes.

L'idée de M. Pompeiu, bien que très séduisante, n’a pas reçu des développements systématiques.

Elle a été reprise en 1928 par MM. M. Nicolesco et G. Calugaréano qui ont étudié la dérivée aréolaire et l’ont appliquée à de diverses questions.

D'autre part, nous avons remarqué en 1929 qu'elle peut être utilisée avec fruit à l'intégration du système des plaques planes élastiques soumises à certaines conditions aux limites.

C'est d’ailleurs dans cette observation ainsi que dans la remarque cidessus que se trouve l’origine du présent travail, qui a pour but l'étude systématique de la dérivée aréolaire conçue comme opération indépendante de la dérivée partielle.

Les applications, auxquelles nous en avons consacré la seconde Partie, mettent en évidence l'utilité de cette notion.

Le problème qui se présente tout naturellement, dès qu'on eut remarqué le rôle de constantes que joueront les fonctions holomorphes dans cette théorie, est la recherche des fonctions à dérivée aréolaire holomorphe.

Ce seront les analogues des fonctions linéaires, et conduiront à la