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notion de polynome aréolaire, dont l'étude fait l'objet du premier chapitre.

La dérivée, telle que nous la concevons, c'est-à-dire comme limite du rapport (4), ne coïncide pas toujours avec l'expression (3) de M. Pompeiu.

Aussi, introduisons-nous la notion de fonction holomorphe (a), pour désigner les fonctions continues à dérivée aréolaire continue, extension des fonctions à dérivée ordinaire continue.

Cette idée nous conduit, dans le Chapitre IL, à envisager ce symbole comme une dérivée au sens de Lebesgue de la fonction de domaine,

Pie da,

ce qui est conforme aux tendances actuelles dans les Mathématiques, de diminuer aütani que possible le nombre des hypothèses, tout en respectant les caractères essentiels des résultats déjà acquis.

Il en découle une série de problèmes auxquels nous avons tâché de répondre au fur et à mesure.

Il est certain que si F(D) est absolument continue, on peut affirmer que f(z) admet une dérivée aréolaire intégrable, finie et unique presque partout, auquel cas on a la relation (2), mais la dérivée peut exister même dans des cas plus généraux.

Ayant l'honneur d’intéresser M. G. Bouligand à ces idées, il a bien voulu construire deux exemples, qui mettent en évidence la nature des difficultés qui s’y présentent.

Nous en avons, d’ailleurs, employé le premier pour montrer que la dérivée peut exister sans que F(D) soit absolument continue.

La relation (2), qu'on retrouve à chaque pas dans les extensions obtenues, nous à fait penser à la dérivée extérieure de M. E. Cartan, idée qui va trouver des applications pratiques à la fin du travail et surtout dans un autre mémoire ultérieur.

La deuxième Partie est consacrée aux applications. Nous nous y occupons d’abord de l'existence des dérivées partielles de la

fonction I o(s) es == lo), g(6) se ne £ du où o(#) est continue.

Le symbole g(Q) est pour nous l'intégrale aréolaire et répond au problème fondamental suivant :