FORGE

Ces valeurs, introduites dans la condition aux limites imposée, la transforment en la suivante :

at(s)h(s)+b(s)hA,(s)=c(s) rats} 8, (s) —0(s) ts).

La recherche de la fonction holomorphe A(z)est un problème de Hilbert, qui admet, comme on le sait bien, une solution unique (à deux constantes près).

La connaissance de (3) entraine évidemment celle de u(æ, y) et e(æ, y) ().

Pour revenir au cas envisagé par M. H. Villat, dans son livre précité, on n’a qu’à se donner le long de C la composante normale de la vitesse qui, si le vase est fixe, doit être nulle, donc au + ÿe — 0; si le vase est animé d’un mouvement donné, on aura au + 6v=— V,, avec V,(s) donné.

Il n’y a pas de difficulté non plus, dans le cas où l’on en connaît la composante tangentielle : V,= 6 — bu.

Ces trois exemples, tirés de la Physique mathématique, montrent, une fois de plus, que le rôle de forces massiques dans les problèmes, soit d'équi- Libre, soit de mouvement, est analogue à celur de la dérivée dans un problème d'intégration. Il n'y a que la manière particulière, l'algorithme, qui varie d’un cas à l’autre. C’est bien ce principe, qui nous a conduit à l'emploi de l'intégrale g(C).

7. Les restrictions imposées à la généralité des forces massiques données s'attachent plutôt à l’imperfection relative des instruments de recherche employés qu’à la nature intrinsèque des problèmes examinés dans ce qui précède.

Nous avons d’ailleurs fait allusion à la possibilité d’une certaine extension de la question, ayant en vue le rôle de dérivées joué par les forces massiques dans tout problème d'intégration relatif aux milieux continus.

Dans ce qui suit, nous allons tâcher d'élargir en quelque sorte le cadre classique du problème d'équilibre, afin de pouvoir montrer que la généralité des solutions est en fonction de l'algorithme particulier qu'on veut employer.

IL est en effet évident que le problème d'équilibre peut se poser pour une distribution de forces continues sans plus, ou même pour une distribution seulement intégrable,

(*) Le problème qui nous occupe forme l’objet d'une Note que nous avons publiée dans les Comptes rendus, 1. 190, 1930, p. 916.

ni?

En même temps il est presque évident que le système d'équations aux dérivées partielles ne saurait répondre à cette question.

Nous allons montrer qu'il existe des moyens simples d'envisager ce problème qui, à nos yeux, se pose tout naturellement (‘).

À cet effet, nous ferons appel à la notion de dérivée extérieure de M. Cartan (?).

Soient P(æ, y)et Q(x, y) deux fonctions continues dans un domaine A, R(æ, y) une troisième fonction bornée et intégrable, À une fonction qui admet des dérivées partielles du premier ordre continues. La forme linéaire © = P dx + Qdy admet une dérivée extérieure w'— R[dxdy] si pour tout contonr C (fermé et rectifiable) limitant un domaine D intérieur à À, on a

ne de+Qdy=f fr dx dy.

On démontre que si cette relation a lieu, on a, en même temps,

ar : 9À Où fPreaæ+oa= ff - Q ee ee) dx dy.

C’est à cette formule que nous allons recourir dans le problème suivant :

Étant donné un milieu continu à deux dimensions, établir les équations qui en expriment l'équilibre intérieur, le champ de forces X, YŸ étant supposé borné et intégrable en chaque pornt.

En appliquant les théorèmes généraux relatifs à des systèmes matériels, tenant compte des expressions des efforts, on arrive sans autre restriction au

système suivant :

fetax+ 8x)ds— [ [ex do,

freev+svaaz [fev de,

freuri-yx) +6, -x1ds= f feteY — 9x) de,

(2) C’est d’ailleurs une tendance générale dans la Mécanique des Fluides. Citons seulement les travaux de MM. G. Bouligand et C. W. Oseen : G. BouriganD, Sur divers problèmes de la dynamique des liquides; G. W. Osgex, Neue Methoden ni der Hydrodynamik.

(2) E. Carran, Lecons sur les invariants intégraux, p. 69.

(5) La restriction relative à l'existence d’une tangente unique est superflue, car si y est rectifiable &, 8 sont uniques pour presque tout point du contour.

MOUSE g # A use A LU NOTE LEA à À Se

qui doit être vérifié pour toute région à limitée par un contour y, simple

rectifiable, possédant une tangente unique et intérieur au milieu envisagé. La troisième équation ci-dessus peut être transformée en remarquant

que fetatey, XI) Ba Y:—7X)]ds

— feetay, + BY,)ds = fer(ex, + GX,) ds.

Le +

En effet les fonctions +, y admettent des dérivées partielles du premier et du second ordre.

Donc, en vertu des deux premières équations écrites et compte tenu de la formule établie précédemment, on aura

fety+6vyas= f [try + vi de, fréex+xaas= f forex + X,) do,

ce qui conduit aisément à la relation

JÉ-xod=0 pour tout domaine à.

La continuité des fonctions X, et Y, entraîne leur identité dans tout le milieu. Par suite, X, = Y,.

Les équations d'équilibre intérieur deviennent donc, pour tout milieu, à

deux dimensions :

fex+ Bras fi eX do,

fax ED = [ oY do.

Le problème qui nous intéressera dans la suite est le suivant :

Supposons que dans un certain milieu on ait partout X,—— Y,, et que l’on connaisse le long de son contour une relation linéaire de la forme

a(s)X,(s)+b(s)Y,(s)=c(s), a(s), b(s), c(s) étant trois fonctions continues données.

Dans ces conditions 1 s'agit d'intégrer le système ci-dessus qui donne la distribution des efforts dans le cas d'équilibre.

Il n’est pas difficile de voir que si l’on pose

Xy+ EYi= f(z) et —X+1IY—o2to(s),

Ce QE V y Le a Jia E f fetrrae=o.

on aura

Or, étant données deux fonctions X, Y, bornées et intégrables dans D, on peut trouver deux fonctions X,, Ÿ, continues dans le méme domaine et telles que l'équation ci-jointe soit vérifiée pour tout couple , à.

On aura, on le sait bien,

= RE [EN dv none:

Si, le long de C, on connaît une relation linéaire de la forme indiquée, le problème sera ramené à un autre, auquel nous avons souvent fait appel, c'est-à-dire à un problème de Hilbert concernant la fonction A(z).

En conclusion, on peut, sans passer aux équations aux dérivées partielles dont on fait usage dans la Mécanique des fluides, considérer des problèmes d'équilibre exprimés directement par les équations générales tirées des théorèmes généraux relatifs aux systèmes matériels.

Dans l'exemple traité, on a pu de cette manière, faire sur les forces massiques des suppositions bien plus larges que celles habituelles, ce qui a permis d'envisager une solution qui, tout en restant uuique et continue, ne doit plus admettre que des dérivées partielles continues.

En même temps, on en déduit l’utilité pratique de l'algorithme employé, qui s’y introduit nécessairement, se rattachant, pour ainsi dire, à la nature des choses.

Reprenons, pour être dans un cas tiré de la pratique, le problème d'élasticité traité au paragraphe 4.

On y supposait l'existence des dérivées du second ordre oz 2 , se ae

DOTE AO ainsi que leur continuité. Nous allons nous en dispenser, en raisonnant comme suit :

8. Les équations d'équilibre d’un milieu à deux dimensions sont :

foa+T sds= [ [ex de, fe a+ N6)ds= f fev de

— 102 — L Supposons qu'il s'agisse d'une plaque élastique D limitée par un contour

fermé simple et rectifiable C.

Les forces données X, Y sont représentées par deux fonctions bornées et

intégrables dans le domaine D.

On sait que, si u, v désignent les déplacements et que l’on pose

du” dP

en admettant, par conséquent, l'existence et la continuité des dérivées par-

tielles pour ces fonctions, on a

N = op dv N,—=— )0 — 2} PT de du

Le Ro):

Nous nous proposons de déternuner la distribution des déplacements u, +, en admettant qu'ils possèdent des dérivées partielles du premier ordre continues, lorsque l'on connaît le long du contour © deux relations linéaires de la forme

A(s)u(s)+B(s) v(s)—=C(s), TOMOEMOAOEO)

de du AC S2E Jen

les fonctions À, B, C, a, b, c étant continues.

En introduisant les valeurs de N,, N;, T dans les équations d'équilibre, tout en remarquant que ads — dy, ds — — dx, on obtient sans difficulté :

zh e 2)0 dy + pB, nr à D ge dæ) = f [ex de, Le 24.)0 dx — p8, dy — fret = dx + Cd dy) =fifex de,

Posons, pour simplifier l'écriture,

1+ — = = — = Tr 21 a

et remarquons les termes qui se détruisent par intégration :

[> ques ou ’ 1 2 p. Ja de + Fa = 0,

dp op fretde+ 7 d)= 0

fo+asa + 9, dx — [Lex ï ë fu+bede-0dy=- f farx de.

Notons encore (1 +£)0—0,, multiplions la première relation par ret ajoutons-y, membre à membre, la deuxième. On trouve

+5.) (de + id) = f fix iv de, Y ù

d'où, si l’on pose

de même

Il vient

0, +10 f(3) X+iY —o(z) el z—=X+iIYy:

fe jus 2 f faut

pour tout contour fermé .

Maintenant, la détermination de la fonction /(z3)est simple. Le problème de Hilbert relatif à la fonction A(z), tirée de la formule

: °xX NE f)= ha) (EEE de, D

conduit à une solution unique, à deux constantes près. On aura de cette manière 0, et 0,.

Considérons le système

du de 6, dv où 0x dy 1+É 0x dy

Si les fonctions 0, et 0, satisfont à des conditions de Hôlder, on peut en tirer aisément les valeurs de u et e, car on aura

I 0, I [a+ | De Ma) + nn mme Le 3

la fonction H(z) étant obtenue par un problème de Hilbert. Il reste donc, pour achever la démonstration, d'établir ce point accessoire.

A cet effet, remarquons que si 3 est intérieur à D et que l’on décrit un cercle l de centre 3 et de rayon finir, assez petit pour qu'il soit aussi intérieur

ENORNGPN ES ENPRE,

à D, on peut négliger le domaine D — A, car la fonction

: QUE A? Re admet des dérivées partielles du Be. ordre continues au point z, donc

elle satisfait, à plus forte raison, à une condition de Hôlder (4 < 1). Considérons donc L'expression S

ones eee

Soit 3’ un point intérieur au cercle F. Posons |z—3/| = A. On aura

p(r)(z— 27) ÊTE ae À [NE de

Notons 6 — 3 — ce en prenant pour axe des x la direction 33’. Soit M une borne supérieure de |2(e)| dans A. |

On aura MA do dÿ RC RENE “Aie

er dp T o Ve® —aphcosô ER

Posons 9 = ht, et calculons Fed relative à 0 : s dp dt Vo? —2p} —sphooste DETSETS

te

La présence du point singulier 13, pere 0—0, n'est pas gênante, comme on l’a vu à plusieurs reprises.

On trouvera comme résultat :

1 — log(r — h cos9 + Vr? + h?— rh cosû) — log(i — cos9) — log.

En intégrant par rapport à 0, on obtiendra un terme de la forme

rN+2r log + (N, borné et positif), d’où l’on tire

| 03!) — go(3)| <MN À +2MA log z-

Supposons }<{ 1, car la difficulté qu’on craint peut intervenir seulement À -pour les petites valeurs de ce paramètre. cru

: les»

2x % = L' : > + RE Ne A … d 2 L) CRC A ss de É fes Es £ à it Re pa 27 L A A. à 4 Fi Ne AT:

: pe

oo ein 6 Un it TA er es LR

Soit & un nombre compris entre o et 1. L'expression 4-7 log + — tend vers

zéro avec h. Donc il est manifeste que, pour & donné, on peut trouver une valeur de h << 1 telle que l’on ait é Æ

h°-3 log + . Le d'où h log + < h?, ce qui entraîne l'inégalité |So(z’) — go(z)| <KA°.

Cela étant, les fonctions g(z) satisfont à des conditions de Hôlder. En parüculier, leurs parties réelle et imaginaire y satisfont aussi.

En conclusion, l'examen des équations générales d'équilibre permet, au moins dans des cas importants, de traiter le problème directement, sans faire appel aux équations aux dérivées partielles, qui introduisent des restrictions génantes et cachent en quelque sorte le véritable aspect de la question, en imposant des instruments de travail qui ne s’y rattachent pas directement.

Au contraire, la voie que nous avons suivie plus haut s'impose naturellement et n’exige qu'un petit nombre de restrictions à la généralité des données. | En même temps on vérifie l'affirmation faite, sur le rôle des forces mas- __ siques, dans tout problème d'équilibre, qui doit se réduire à un problème d’intégration lorsqu'on en sait trouver l'algorithme convenable.

Vu et approuvé :

: Paris, le 26 mars 1931.

Le Doyen be LA FacuLré Des Sciences, = C. MAURAIN.

Vu et permis d'imprimer :

Paris, le 26 mars 1931.

Le Recteur DE L'ACADÉMIE DE Paris,

S. CHARLÉTY.

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