DES

L — Lignes géodésiques.

1. Les surfaces à courbure constante jouent un rôle important dans la géométrie des divers espaces à trois dimensions, puisque cette famille de surfaces comprend notamment le plan, les surfaces développables, les surfaces sphériques et pseudosphériques de Tespace euclidien, et aussi les plans et surfaces sphériques des espaces Riemann et Lobatschewski.

Nous allons montrer ici comment on peut établir, directement et sans s'appuyer sur aucune géométrie antérieure, la géométrie synthétique de toute cette famille de surfaces.

Enfin, nous dirons, pour bien préciser le but et la portée de ce travail, que nous ne faisons ici que de la géométrie à deux dimensions ; en d'autres termes, nous n'envisagerons dans les figures appartenant à une surface que les éléments de ces figures situés sur la surface même en faisant abstraction de l'espace à trois dimensions dans lequel est placée la surface.

Remarquons à ce sujet que l'on procède généralement de cette manière dans l'exposé de la géométrie plane ordinaire : cependant il n'en est pas toujours ainsi ; par exemple, lorsqu'on démontre par la superposition l'égalité de deux triangles, on ne distingue pas le cas où la superposition peut s'effectuer par le ghssement de l'un des triangles dans le plan du cas où il est né-

cessaire de faire sortir le triangle du plan pour le retourner sur lui-même dans l'espace à trois dimensions.

Ici nous nous abstiendrons de toute démonstration supposant l'espace à trois dimensions,

2. En géométrie ordinaire, on admet la nolion primordiale de l'égalité des figures, cela avant de savoir mesurer les diverses grandeurs qui constituent la forme de ces figures : notre but n'est pas ici de discuter l'origine ou la légitimité de cette notion, que nous admettrons purement et simplement comme il est d'usage de le faire en géométrie ordinaire ; toutefois, nous ferons une distinction.

Imaginons un cercle se déplaçant dans un plan en restant égal à lui-même ; puis concevons le même cercle et le même mouvement sur le plan enroulé suivant une surface cylindrique ; les éléments de la figure situés sur la surface cylindrique sont les éléments mêmes qui étaient situés sur le plan; on peut donc dire, et c'est là une définition, que le cercle considéré, en se déplaçant sur le cylindre, y reste égal à lui-même, à ne considérer que les éléments de ce cercle situés sur la surface cylindrique ; en d'autres termes, la déformation de ce cercle en mouvement sur le cylindre n'apparaît que lorsque l'on envisage dans ce cercle des éléments non situés sur le cylindre même, c'est-à-dire des éléments empruntés à l'espace à trois dimensions. Nous dirons donc, pour caractériser ce cas, que, sur le cylindre, le cercle dont nous venons de parler reste égal à lui-même, mais d'une égalité à deux dimensions, et nous réserverons pour le cas ordinaire la dénomination d'égalité à trois dimensions.

Il faut bien remarquer que l'égalité à deux dimensions ne se déduit pas nécessairement de l'égalité à trois dimensions ; si nous avons procédé ici de cette façon, c'est parce que l'égalité à trois dimensions est une notion qui nous est familière; mais, en réalité, si nous ignorions la troisième dimension, c'est l'idée d'égalité à deux dimensions qui se présenterait tout d'abord à notre esprit.

3. Prenons dans un espace euclidien, de Riemann ou de Lobatschewski un plan ou une sphère ; la propriété caractéristique de, ces surfaces c'est qu'une figure qui y est située peut s'y mouvoir dans tous les sens en restant égale à elle^-méme, d'une égalité à

Irbis diraensions : c'est ce que nous appellerons des surfaces identiques à elles-mêmes ; ce sont les plus simples parmi les surfaces a courbure constante.

Les autres s'en déduisent de la façon suivante: on déformera les surfaces identiques de manière que la déformation intéresse seulement la troisième dimension, mai& sans modifier les dimensions situées sur les surfaces. D'après cela, la propriété caractéristique des surfaces à courbure constante c'est qu'une figure qui y est située, peut s'y mouvoir dans tous les sens en reslant égale à elle-mênie, d'une égalité à deux dimensions. Telle est la définition générale des surfaces à courbure constante.

Cette définition estévidemment celle qu'il conviendrait d'adopter pour établir une géométrie à deux dimensions, comme nous l'avons annoncé plus haut.

Au contraire, la définition d'une surface identique, définition basée sur la notioa de l'égalité à trois dimensions, relève évidemment de la géométirie à trois dimensions.

Toutefois, pour éviter certaines complications dans le raisonnement, nous établirons d'abord la géométrie des surfaces identiques, puis nous verrons dans quelles conditions et sous quelles réserves on peut passer de ces surfaces aux surfaces les plus générales à courbure constante.

4. Nous appellerons ligne géodésique ou simplement géodésique d'une surface identique une ligne telle que par deux points il en passe toujours une et généralement une seule; soit une ligne géodésique : cette ligne constitue évidemment une figure laquelle, d'après la définition même des surfaces identiques, peut être déplacée sur la surface à laquelle elle appartient en restant égale à elle-même, c'est-à-dire en conservant sa forme et toutes les propriétés inhérentes à cette forme ; donc cette ligne conservera, en particulier, dans son déplacement, la propriété caractéristique d'être déterminée par deux points, laquelle propriété nous a servi à la définir. Il en résulte que sur une surface identique toute ligne égale, c'est-à-dire superposable, à une géodésique particulière est également une géodésique de la surface.

Réciproquement, deux géodésiques d'une même surface sont toujours deux lignes égales, c'est-à-dire snperposables.

. Soient en effet deux géodésiques G et G' ; on peut toujours déplacer G' de façon à amener deux de ses points sur G ; après ce déplacement. G' est encore une géodésîque; mais alors G' et G sont deux géodésiques qui ont deux points communs et qui par conséquent coïncident. Notre définition de la géodésique prévoit, il est vrai, le cas particulier où par deux points il peut passer plus d'une géodésique ; mais on peut toujours choisir convenablement les deux points de G' de façon à éviter ce cas particulier. Nous pouvons donc formuler le théorème suivant :

Théorème. — Sur une surface identique toutes les lignes géodésiques sont des lignes égales.

5. Ce que nous venons de dire du déplacement d'une géodésique est également vrai du déplacement d'un arc de géodésique : dans son déplacement, un arc de géodésique reste un arc de géodésique et si deux points de cet arc sont amenés sur une géodésique, l'arc vient se confondre avec cette géodésique. On peut aussi déplacer un arc d'une géodésique G de façon à l'amener sur une partie quelconque de cette même géodésique G ; donc :

Théorème. — On peut, sans le déformer, faire glisser un arc de géodésique tout le long de la géodésique à laquelle il appartient.

Soit s un arc de géodésique ; on peut, d'après le théorème précédent, placer n arcs s bout à bout sur une même géodésique où l'ensemble de ces n arcs forme un nouvel arc géodésique S ; si de même S' est un arc géodésique formé de n arcs s, on dit, et

c'est là une définition, que le rapport de S à S' est — ; cela nous

permet de comparer numériquement deux arcs géodésiques quelconques et de mettre en évidence, dans l'arc géodésique, l'idée d'une grandeur mesurable: c'est cette grandeur que nous appellerons plus particulièrement la longueur de l'arc géodésique.

6. Deux géodésiques qui se coupent et qu'on limite à leur point de rencontre forment une figure appelée angle; les géodésiques sont les côtés de l'angle, et le point de rencontre en est le sommet. Deux angles sont égaux quand ils peuvent être amenés à coïncider ; c'est du reste la définition même de l'égalité pour toutes les figures. Si deux angles ont même sommet et un côté commun, on forme un nouvel angle en supprimant le côté commun ; on

peut de même former un angle Â par la juxtaposition de n angles égaux à a ; de même, si l'angle A' résulte de la juxtaposition de n' angles égaux à a, nous dirons que le rapport de A à A' est

exprimé par — ; les angles se comparent ainsi numériquement; il

y a donc dans l'angle une grandeur mesurable. D'une façon générale, l'angle que l'on forme, comme nous venons de l'indiquer, en juxtaposant plusieurs angles égaux ou non, est dit la somme de ceux-ci.

7. Supposons que deux angles juxtaposés BOA et BOG forment une somme telle que, dans l'angle total AOC, les deux côtés OA et OC appartiennent à une même géodésique ; on obtient ainsi un angle particulier ; tous les angles de ce genre sont égaux . Soient en effet deux angles de ce genre AOC et A'O'C ; si l'on fait coïncider les sommets et 0' ainsi que les côtés O'A' et OA, les deux autres côtés O'C et OC, qui sont les prolongements de O'A'et OA, coïncideront aussi, d'après la définition même des géodésiques (4). Donc les deux angles sont superposables, c'est-à-dire égaux.

Soit OD la géodésique qui divise en deux parties égales cet angle AOC, c'est-à-dire la géodésique qui fait j)

avec AG deux angles DOA et DOG égaux entre B >.,^^ eux : OD est la perpendiculaire en à AG et les N

angles DOA, DOG sont des angles droits ; il ré- q7 o "^ suite de ces définitions que tous les angles droits l'ig- 1.

sont égaux, puisqu'ils sont la moitié de l'angle AOG.

Nous désignerons suivant l'usage la valeur de l'angle droit

par ^, sous réserve de l'intei'prétation que nous donnerons ultérieurement à ce symbole ; d'après cela, la valeur de l'angle AOG, égal à deux droits, est n. On déduit immédiatement de là les théorèmes suivants :

Théorème. — Deux angles AOB et GOB supplémentaires, c'est-àdire formés en un point d'une géodésique AG par une géodésique quelconque OB ont pour somme deux droits.

Théorème, — La somme des angles qu'on peut former en un point d'une géodésique AG d'un même côté de cette géodésique a pour valeur deux droits.

Théorème. — La somme des angles qu'on peut former en un point 0, des deux côtés d'une géodé^ique, a pour valeur quatre droits.

8. Deux géodésiques AB et CD qui se coupent en font en ce point quatre angles.

Deux angles adjacents comme COA et COB ont, d'après ce qui précède, une somme égale à tu (7).

Deux angles non adjacents comme AOC et BOD sont dits op- Q posés par le sommet. Or on a évidemment AOC + BOG = 7c et BOD + BOC= tc, d'où l'on déduit ■^A AOC = BOD. Donc:

j^ Théorème. — Deux angles opposés par le som-

Fig. 2. met sont égaux.

Corollaire. — Lorsque des quatre angles formés par deux géodésiques qui se coupent l'un est droit, il en est de même des trois autres, et les deux géodésiques sont respectivement perpendiculaires l'une à l'autre.

Lorsque deux angles ont une somme égale à un droit, ils sont dits complémentaires.