II. — Excès angulaire; aire d'un contour fermé

9. Si plusieurs segments ou arcs géodésiques sont placés bout à bout à la suite les uns des autres, sans être situés sur une même géodésique, ils forment une ligne polygonale ; lorsque cette ligne se ferme, on a un polygone. Le polygone à trois côtés est le triangle, le polygone à quatre côtés le quadrilatère.

Dans un polygone deux côtés successifs forment un angle dit angle intérieur; le supplément de cet angle est dit angle extérieur. Soient A et A' un angle intérieur et l'angle extérieur correspondant d'un polygone de n côtés, on a, d'après cela, A -f- A' = tu et, pour donner à cette formule toute sa généralité, nous admettrons que A' est négatif lorsque A est un angle rentrant, c'est-à-dire plus grand que tu.

Nous désignerons par E et nous appellerons excès angulaire de ce polygone l'expression E-= S A — (n — 2) tu qu'on peut aussi écrire, en verlu de la relation A =tu — A', E = 2tu — SA'.

L'excès angulaire peut être positif ou négatif.

La tangente à une courbe en un point M est la position-limite de la géodésique déterminée par le point M et un autre point voisin M' de la courbe, quand on suppose que le point M' ^ient, en restant sur la courbe, se confondre avec le point M.

Prenons sur une courbe fermée un ensemble de points infini^ment voisins les uns des. autres M, M', etc., et formons un polygone, dit circonscrit à la courbe, au moyen des tangentes en M, M', etc.; l'angle extérieiir dç formé dans ce polygone par les deux tangentes en M et M' est appelé la cour- îl-rr^rr— — ^ bure géodésique de l'arc MM' de la courbe. -^'^'^^ ^^^C^ L'excès angulaire du polygone circonscrit est ng. s.

d'après la formule précédente 2x — Sdç; l'excès de la courbe sera par définition la limite de l'expression 2 tc — /dç, /dç s'entendant de tout le contour.

Cette même intégrale /dç, étendue seulement à un arc fini de la courbe, s'appelle la courbure géodésique de cet arc.

10. Lorsque deux polygones, que nous appellerons polygones partiels, sont juxtaposés de façon à avoir en commun un certain nombre de côtés consécutifs, on forme, en supprimant ces côtés communs, un nouveau polygone P, dit polygone total.

Soient 2Â et 2 A^ la somme desangles intérieurs de chacun de ces polygones p et p^ que nous supposerons avoir respectivement n et n^ rôtés, dont K côtés communs ; soient enfin e et^j les excès angulaires de ces deux polygones p et p^, E l'excès du polygone total P.

On a (9) :

e = SA — (îi — 2) TC et e^ -= SAj — (n^ — 2) tu.

Mais, dans le polygone total P, la somme des angles est évidemmentSA+SAj — 2(K — l)7cetlenombredesescôtésn-l-n, — 2K; on a donc pour son excès angulaire (9) :

E = SA + SA, — 2(K — l)7c-(n-|-n,^2K — 2)7u ou bien :

E = S A — (n — 2) TU H- S A , — (n, — 2) TU = e + ^1 . Ainsi l'excès du polygone total est la somme des excès des

polygones partiels ; la démonstration sëtend évidemment de proche en proche à un nombre quelconque de polygones partiels. Donc :

Théorème. — Lorsqu'un polygone total est formé par la juxtaposition de plusieurs polygones partiels, l'excès du polygone total est égal à la somme des excès des polygones partiels.

Et cela s'étend sans difficulté, par la méthode infinitésimale, à des contours quelconques autres que les contours polygonaux.

Mais il faut bien remarquer, à ce sujet, que si un contour est composé d'arcs de courbe au lieu de côtés géodésiques, son excès sera e = SA + Sa — (n — 2)7C, A étant un angle intérieur et a la courbure géodésique d'un des arcs formant côté, c'est-à-dire (9) l'intégrale fdf étendue à cet arc.