V. — Surfaces quelconques a courbure constante

48. Revenons maintenant à ce que nous avons dit, au début de celte élude, relativement à l'égalité à deux et à trois dimensiQns(2). Ainsi que nous l'avons dit (3), il y a cette différence entre les surfaces identiques que nous venons d'étudier et les surfaces plus générales à courbure constante que, sur les premières, les figr.res sont égales d'une égalité à trois dimensions, tandis que, sur les autres, les figures sont égales d'une égalité à deux dimensions.

Nous allons montrer succinctement comment et avec quelles restrictions les démonstrations et les formules des surfaces identiques restent valables pour les surfaces à courbure constante.

D'abord toute la partie de cette étude où il n'est question que de figures infiniment petites, c'est-à-dire que de géomélrie infinitésimale, subsiste telle quelle lorsqu'on abandonne la notion de l'égalité à trois dimensions et la définition des surfaces identiques pour n'envisager que l'égalité à deux dimensions et les surfaces à courbure constante ; tant qu'il ne s'agit que de géométrie infinitésimale, notre texte, démonstrations et formules, est rigoureusement applicable aux surfaces à courbure constante définies par la notion de l'égalité à deux dimensions (3). On a donc ainsi, pour les surfaces à courbure constante, une géométrie infinitésimale qui est rigoureusement une géométrie à deux dimensions, une géométrie tout à fait indépendante de la troisième dimension.

49. Mais il n'en est plus de même quand il s'agit de figures à dimensions finies ; c'est un point que nous allons mettre en lumière en prenant un exemple aussi simple que possible.

Soit, dans un espace euclidien un plan et une surface cylindrique; le plan est une surface identique, de courbure nulle et la surface cylindrique est une surface à courbure constante dont la courbure est également nulle. Ces deux surfaces de même courbure doivent donc avoir même géométrie à deux dimensions et ne différer que par rapport à la troisième dimension; en d'autres termes, on peut, par des déformations n'intéressant que la troisième dimension, amener l'une de ces surfaces à se confondre avec l'autre. Mais supposons que notre cylindre ait, par exemple,

niî

Fig. 80.

un cercle pour section droite, pour appliquer tout le plan sur ce cylindre il faut enrouler ce plan un nombre infini de fois, de sorte que sur chaque point du cylindre vient se placer une série indéfinie et périodique de points du plan. A ce point de vue, le plan se subdivise en un nombre infini de tranches séparées par des parallèles équidistantes, chaque tranche correspondant à un tour du cyUndre.

Si d est récartement de deux parallèles successives, tous les points du plan m^ m, m,... situés sur une perpendiculaire à ces parallèles et à une distance d les uns des autres viennent se placer sur le même point du cylindre. Sur le plan, les géodésiques sont des lignes droites et donnent, en s'appliquant sur le cylindre, des hélices lesquelles sont des géodésiques du cylindre, un triangle à côtés rectilignes du plan donne donc, sur le cylindre, un triangle géodésique auquel sont applicables toutes les formules de la trigonométrie plane. Mais l»réciproque n'est pas exacte, c'est-à-dire qu'un triangle formé sur le cylindre par trois géodésiques ou hélices qui se rencontrent ne donne pas toujours sur le plan un triangle. Pour le voir, traçons sur une Iranche de notre plan la figure bBKCc dans laquelle les points b et c appartiennent aux deux parallèles qui limitent la tranche, bc étant perpendiculaire à ces parallèles. Supposons de plus que Bb et Ce soient parallèles ; enroulons la figure sur le cylindre ; AB et AC deviennent deux arcs d'hélice, les deux points b et c viennent se confondre en un même point du cylindre, de sorte que la figure se ferme ; enfin Bb et Ce deviennent un seul arc d'hélice. On obtient ainsi sur le cylindre un triangle dont les trois côtés sont des géodésiques. Or il suffît d'examiner les éléments de ce triangle sur le plan pour voir que ces éléments ne satisfont pas du tout aux formules de la trigonométrie plane.

La particularité fondamentale que nous venons de signaler tient uniquement à ce fait que deux points distincts du plan, b et c, n'en donnent qu'un sur le cylindre ; si, au contraire, la section droite du cylindre, au lieu d'être un cercle, était, par exemple, une parabole, le plan s'enroulerait sur le cylindre, chaque point du plan se plaçant sur un point spécial du cylindre; dans ce cas, la

correspondance a bien lieu point par point et le cas signalé sur le cylindre circulaire ne peut pas se produire.

Avec le cylindre parabolique tout triangle plan devient sur le cylindre un triangle géodésique et réciproquement.

50. L'exemple que nous venons de citer suffit pour nous permettre de formuler d'une façon générale les conclusions suivantes :

Lorsqu'on déforme une surface à courbure constante dans l'espace à trois dimensions sans modifier ses dimensions intérieures, c'est-à-dire les grandeurs situées sur la surface même, il peut arriver que chaque point conserve son individualité, c'est-à-dirè que chaque point de la surface primitive corresponde à un point unique de la nouvelle et inversement, comme nous l'avons montré (49) pour le plan et le cylindre parabolique.

Il peut arriver au contraire que la surface, dans sa déformation, se replie sur elle-même une ou plusieurs fois, de telle façon que plusieurs points de la surface primitiveTviennent se confondre en un seul point de la nouvelle surface, comme cela a lieu lorsqu'un plan se déforme en un cylindre circulaire.

Il est bien clair que ce mode de déformation augmente le nombre des points d'intersection de deux lignes, par exemple de deux géodésiques de la surface primitive, car si l'on prend deux points m et m' de la surface primitive qui viennent se confondre en un point unique p. de la nouvelle surface, deux géodésiques quelconques passant respectivement par m et m sur la première surface, concourront sur la seconde en [x, ce qui donnera une intersection de plus^

Ainsi, quand la surface primitive enveloppe plusieurs fois la surface déformée, le nombre des intersections des géodésiques augmente sur celle-ci. Donc, si ABC est un triangle géodésique de la seconde surface, il ne correspondra pas à un triangle géodésique de la surface primitive lorsqu'un de ses sommets A sera la réunion de deux points distincts de la surface primitive. Il en résulte que lès formules trigonométriques relatives aux triangles géodésiques de la première surface ne peuvent pas s'étendre indistinctement à tous les triangles géodésiques de la seconde.

Par conséquent, la Irigonométrieque nous avons établie sur les surfaces idenliques s'étendra bien aux surfaces à courbure cons-

tante correspondant point par point aux premières, mais seulement à ces surfaces-là.

Mais une convention très simple et à laquelle, du reste, on a souvent recours en géométrie, va nous permettre de tourner cette difficulté.

Supposons que la surface à courbure constante S^ soit enveloppée n fois par la surface identique de même courbure S ; nous considérons la surface S^ comme formée de n feuillets sans épaisseur, absolument comme une feuille de papier supposée sans épaisseur enroulée n fois sur elle-même. Cela posé, nous ne considérerons pas comme se coupant en un point M deux géodésiques qui, au voisinage de M, seraient séparées par un ou plusieui*s feuillets. Avec cette hypothèse disparaissent les intersections nouvelles introduites par l'enroulement de la surface sur elle-même, et, seules, les intersections primitives nous donneront, sur la nouvelle surface, de véritables triangles géodésiques auxquels seront applicables toutes les formules trigonométriiiues établies sur la surfaces.

51. Dans les considérations précédentes nous avons introduit la notion de l'espace à trois dimensions. Revenons maintenant à la géométrie à deux dimensions ; ainsi que nous l'avons déjà fait remarquer (48), la géométrie infinitésimale à deux dimensions est la même et s'établit de la même façon pour les surfaces identiques ou les surfaces à courbure constante ; l'égalité à trois dimensions qui sert de base à la définition des surfaces identiques peut, dans toutes nos démonstrations de géométrie infinitésimale, être remplacée par l'égalité à deux dimensions.

Ainsi donc, tant qu'il ne s'agit que de géométrie infinitésimale, l'exposé de la géométrie à deux dimensions des surfaces à courbure constante ne diffère absolument en rien de l'exposé que nous avons donné dans le courant de cette élude.

Mais il n'en est plus de même dès qu'on aborde les figures à dimensions finies ; et cependant, là encore, la géométrie à deux dimensions que nous avons établie s'adapte, lorsqu'on examine de près nos démonstrations, aux surfaces à courbure constante quelconques.

Revoyons en effet nos démonstrations précédentes (42 et suî-

vants) en supposant que nous raisonnions sur des surfaces à courbure constante. Reprenons, par exemple (46), la formule sin9.9(9) = consl. qui nous a conduit à la formule trigonométrique :

sinA sinB sinC

La démonstration suppose expressément que lorsque, dans le triangle ABC, le point B décrit le côté BG, le côté AB vient, par un déplacement continu, prendre la position AC ; car s'il y avait discontinuité dans le déplacement du côté AB, Fapplication de la formule sin9ç(p) = const. cesserait d'être légitime. La formule trigonométrique 8 (47) donne lieu à la même remarque.

Il suit de là que nos formules trigonométriques ne sont démontrées que pour certains triangles seulement, ceux où deux côtés consécutifs quelconques peuvent être amenés à coïncider par un déplacement continu. Nous insistons sur ce point que nous sommes conduit à cette distinction fondamentale uniquement par des considérations de géométrie à deux dimensions.

Cela posé, soient trois géodésiques se coupant aux points A, B et C ; le point A restant fixe, déplaçons le point B sur la géodésique BC de façon que le point B vienne en C ; la géodésique AB se déplacera elle-même ; or si, le point B étant en G, AB ne coïncide pas avec AG, nous en conclurons que le triangle ABC n'est pas de ceux auxquels s'applique notre trigonométrie, et pour simplifier la question nous conviendrons de dire que, seuls, les sommets des triangles qui satisfont à notre trigonométrie sont des points de rencontre de géodésiques, les autres points correspondant à des rencontres fictives, c'est-à-dire, appartenant si l'on veut, à des géodésiques qui, au voisinage d'un point de ce genre, sont situées sur des feuillets différents de la surface.

Ainsi nous sommes bien ramenés, et cela en nous plaçant uniquement au point de vue de la géométrie à deux dimensions, à cette décomposition de la surface en feuillets superposés, décomposition que nous avions d'abord montrée en géométrie à trois dimensions.

A litre de vérificalion, reprenons (49) le triangle géodésique

— reformé sur une surface cylindrique par l'enroulement de la figure plane ôBAGc; si A'B'C est ce triangle sur le cylindre, on constate immédiatement que si un point M décrit BG, la géodésique AM supposée coïncider d'abord avec AB ne pourra après un déplacement continu venir coïncider avec AG, ce qui est bien d'accord avec ce que nous a donné notre discussion en géométrie à deux dimensions.

Sous le bénéfice de cette discussion, nous pouvons donc considérer la théorie exposée dans ce travail comme constituant strictement la géométrie à deux dimensions des surfaces à courbure constante, ces surfaces étant définies à l'aide de la notion primordiale (3) de l'égalité à deux dimensions.

G'est précisément le résultat que nous avions en vue. Ajoutons, pour terminer, que celte géométrie à deux dimensions, par cela seul qu'elle est indépendante de la troisième dimension, est valable pour un espace à trois dimensions quelconque, au cas où Ton introduirait dans un de ces espaces à trois dimensions les surfaces dont il s'agit.