remplacer sin e par s et écrire
Évaluons maintenant la différence wi' — mm'=d{mm'). o
D'abord les différences mm' — m p et nn' — nq sont du troisième ordre (32) ; on a donc d (mm') = n'q — m'p.
Mais, dans le rectangle m'pqh, la différence entre les côtés pm' et qh est du troisième ordre (18) ; par suite nq — m'p est égal à n'h ; il vient donc finalement d {mm') = n'h = s.dp. Posons cette première équation :
d(mm') = e.dp (1)
OÉOMÉTAIE. 3
Or, on a, d'après la définition même de la fonction ç(p), (39) fnm = ç (p) do, d*où l'on déduit, en diflérentiant :
d {mm') = ç' (p) dp.dw (2)
La comparaison des formules (1) et (2) donne :
e=ç'(p)do (3)
Les excès angulaires du contour mm nn et du rectangle m pgA
ne diffèrent que d'un infiniment petit du troisième ordre (21).
Si g est la courbure de la surface, l'excès du rectangle est (19)
m'p.m'h mm' ,m'n o(g)do.do r, . . , , ,
— £— — ==- =7 = JLii— -i — . L excès du contour mm n n
se réduit, comme on le voit facilement, à la courbure de mm' moins
la courbure de nn', c'est-à-dire à — de, ds étant l'accroissement de e
quand on passe de p à p + dp. On a donc ds = — i7 9(p)dp.d<i).
Mais la formule (3) donne de = ç" (p) dp.do; on en déduit:
et cette équation différentielle définit la fonction 9.
43. On sait que l'intégration de Téquatiorl (4) conduit à une fonction exponentielle ou circulaire.
Supposons d'abord K positif et égal à u^, l'intégrale de l'équation (4) peut s'écrire ç (p) = au sin - + bu cos-; mais on doit
avoir, pour p infiniment petit, (3) ç (p) = p, ce qui exige 6==o et a^==i; donc on a, dans ce cas :
9(p) = wsinJ (5)
Si, au contraire, K est négatif et égal à — u*, on pourra écrire l'intégrale de Téqualion (4) sous la forme :
Ç(e) = 2W [^- — e^«J = u sin hyp. ^ (6)
La formule (5) convient aux surfaces à courbure positive, la formule (6) aux surfaces à courbure négative.
-^ 35 — Du reste, ces deux formules peuvent se réunir dans la suivante :
ç (p) == y^K sin -^ laquelle est toujours réelle, que K soit positif ou
négatif.
44. Si dQ est la courbure géodésique d'un arc de courbe infiniment petit mm' ^=ds (9), la courbure géodésique en un point
de la courbe est le rapport -r- .
La géodésique est évidemment caractérisée par cette propriété que la courbure d9 pour un arc quelconque est nulle.
Les formules précédentes vont nous permettre de calculer la courbure d'un cercle.
La formule (3) 6 = 9' (p)dci), où e est la courbure de l'arc dé cercle mrn de rayon p et rfo l'angle au centre correspondant à ce
même arc, devient, en remplaçant 9' (p) par cos -=, 6= cos -^ rf«.
y'K yK
p Si K est positif, on voit que e est nul en même temps que cos -^,
c'est-à-dire lorsqu'on a-^==rOup=y/Kô;doiic le cerclede rayon
yjlLçk sur une surface à courbure positive est à courbure nulle;
c'est une géodésique. D'où ce théorème fondamental :
Théorème. — Sur une surface à courbure positive t? les géodé-
siques sont des cercles de rayon y/R^-
Si, au contraire, K est négatif, dans la formule s = cos-^d(.),
yK
cos-^, qui est égal à 4 + fg ^ "*" FlR* '^''*>^^ s'annule jamais et par suite il n'y a pas de cercle de courbure nulle ; en d'autres termes, le cercle ne devient jamais une géodésique. 45. Si, dans un cercle de rayon p, s est l'arc correspondant à
l'angle au centres, on a (39)5=9(p) 9, c'est--à-dire5=9.y/k.sin -yp
yK
ou S=»27ty/KGin-^ pour la circonférence entière S du cercle,
Si K est négatif, on a yK sin Jg = 9+ 1^3 K "*" î^ h "*"'"'
donc ç augmentant indéfiniment il en est de même de s et de S. Ainsi, sur une surface à courbure négative, la circonférence d'un cercle croît indéfiniment avec le rayon du cercle.
Deux rayons du cercle peuvent toujours être considérés comme deux géodésiques quelconques se coupant au centre de ce cercle; pour que ces deux rayons eussent un second point de rencontre, il faudrait que, pour une valeur de ç autre que zéro, Tare de cercle compris entre les deux rayons devînt nul ; nous venons de voir que c'est impossible. Donc :
Théorème. — Sur les surfaces à courbure négative deux géodésiques ne peuvent se couper qu'en un point.
Si K est positif, sin -^ prend sa valeur maximal pour -7^ = ^,
yK yK. -^
c'est-à-dire précisément quand le cercle devient une géodé-
sique (44) ; on a alors S = 2TCy/K.
Ainsi, sur les surfaces à courbure positive, la géodésique est
un cercle de rayon -r^ et a pour longueur totale 27Cy^K; c'est une courbe finie.
K étant toujours supposé positif, la formule 5 = 9 y'K sin -^
montre que les deux rayons du cercle qui forment l'angle 9 se coupent d'abord au centre du cercle, pour p = o,puis aussi pour
--= = 7u, puisqu'alors sin -^ est nul.
yK yK
Or ces deux rayons sont deux géodésiques de longueur 2 tu ^K; ces géodésiques se coupent donc pour p = 7Uy/K, c'est-à-dire en leur milieu à partir de leur premier point de rencontre. Donc :
Théorème. — Sur une surface à courbure positive, deux géodésiques qui se coupent en un point s'y coupent toujours en un second point, et ces deux points divisent chaque géodésique en deux parties égales.
Corollaire. — Toutes les géodésiques qui passent par un point se rencontrent en un second point. Soient et 0' deux points de ce genre, nous les nommerons points symétriques ; ces deux points
drvisenl loule géodésique qui les contient en deux arcs égaux de longueur iz y/K.
Si est le centre d'un cercle de rayon p, tous ses rayons passant par passent aussi par son symétrique o' et comme oo' est égal à TCy/K, le cercle peut aussi être considéré comme ayant pour centre o' avec un rayon égal à7Uy/K — p. Ce cercle devient une
géodésique pour p = ^ y/K ; dans ce cas, le rayon relatif au second
centre o' est tt y/K — ^ v^K = ô y/K
Ainsi la géodésique a deux centres, mais même rayon ^y/K par
rapport à ces deux centres.
Nous avons vu que la ligne la plus courte entre deux points est un arc de géodésique (30) ; or ces deux points, sur les surfaces à courbure positive, déterminent une géodésique finie qu'ils divisent en deux arcs ; c'est évidemment le plus petit de ces deux arcs qui est la ligne la plus courte ; c'est cet arc géodésique que nous appellerons la distance des deux points considérés. Les deux arcs ne sont égaux que si les deux points sont symétriques et leur distance est alors tc y/K ; à part ce cas, la distance est toujours inférieure à Ti: y/K.
Soient deux cercles de centre o et o^ et de rayons p et p^ (nous prenons ici le plus petit des deux rayons de chaque cercle) ; désignons par d la distance des centres ; on démontre très facilement que, pour que les deux cercles se coupent, il faut et il suflfit qu'on ait p + Pi>>rf>>p — Pj. Supposons que les deux cercles soient
des géodésiques ; on a alors p == p^ r= - y/îf et la condition ci-dessus
devient TU y/K!>d>o; elle est toujours remplie, puisque d est inférieur à TUy/R. Donc :
Théorème. — Sur une surface à courbure positive deux géodésiques se rencontrent toujours.
Dans le cas particulier où Ton a d = TUy/K, les deux centres sont deux points symétriques, centres des deux géodésiques confondues en une seule.
46. Revenons à la figure précédente (42) ; traçons l'arc géode-
sique infiniment pelit m7i' ; on a, dans le triangle rectangle mm'n' (35), rwn'* = ds^ = m'?i'* + mm'*, c'est-à-dire :
d5« = dp* + ç (p)* do».
C'est l'expression de l'élément linéaire sur les surfaces identiques; dans cette expression 9 (p) désigne, bien entendu (43),
la fonction y/R sin -j-.
Désignons par 6 l'angle de mn avec mn et par 9 -t- dS l'angle de mn avec nin\ Nous allons évaluer dQ. L'excès du contour mmn est, comme on le voit facilement, s + dS; or cet excès est du second ordre ; on a donc, en négligeant les infiniment petits du second ordre, £ + de = o ou d9 = — s. Mais on a (42), d'après l'équation (3), e = ç' (p) do et par suite dB=^ — 9' (p) do. D'autre
part, le triangle rectangle mnn donne (35) tg9= — =
mn mn
.9W___^ On en tire-— t = — ^ , . ^ et, en intégrant, /sin 9
dp tg9 9(p)
= — / 9 (p) + constante ou sin 9.9 (p) = constante.
Cela posé, prenons un triangle géodésique quelconque ABC. Si
A nous adoptons le sommet A comme origine des
coordonnées polaires, l'angle B sera l'angle 9 de la
figure précédente et le côté AB ou c le rayon p ;
^ on a donc, en supposant un point M décrivant BC,
Fig. 28. sin B. 9 (c) = sin C. 9 (6); de même pour le côté
AC. D'où finalement la formule :
sin A sinB sinC ,fj.
où 9 (a) pourra être remplacé par sin -dans les surfaces à courbure positive et par sin/i- dans les surfaces à courbure négative (43).
47. On a, d'après ce qui précède, sin 9.9 (p) = sin 9^,9 (po), 9 et p se rapportant à un point quelconque de la géodésique mn et 9 et p^ à un point fixe initial m^ de cette même géodésique ; suppo-
TT
sons, pour simplifier notre formule, que 6^ soit égal à ^, c'est-à-dire
que ce point initial soit le pied de la perpendiculaire abaissée de Toriginé des coordonnées sur la géodésique. On a alors sin 9^= 1
rec-
rfp
tangle mnn' donne mn = — ^=i/l — ^J^, - on en déduit ^ COS0 V 9 (p)>
dp
m m= mn'^= I v 1 57^. Si la surface est à courbure
positive, ç (p) est égal à wsin- et l'intégrale nous donne :
p cos~
mm u mm 0.
cos—^— = ou cos —2 — cos- = cos--
cos ^
Il suffit, pour les surfaces à courbure négative, de remplacer cos. par COS. hyp.
Cette formule est relative au triangle rectangle Omni ; si ce
même triangle est désigné par ABC, A étant l'angle droit la formule
s écrit cos- = cos -.cos- ou cos. h. - = cos. h. -.cos. h. -. u un un u
Celle formule s'étend sans difficulté à un triangle quelconque ABC. Décomposons ce triangle en deux triangles rectangles par la hauteur AH que nous désignerons par h. Le triangle rectangle ABH donne cos - = cos — cos- et, d'après la formule (7),
sin - = sin- sin B: entre ces deux équations éliminons - à l'aide
de la formule sin^ - + cos^ - == 1 il vient :
cos* -
sin*-sin*BH dfï = ^-
u -BH
cos*
— âO — Remplaçons dans cette formule sîn' -, cos*- et cos' — par leurs
il u u
expressions en fonction de tg -ettg — , il vient
n ^ë — =tff-C0Sl{.
Fig. 29. Mais si Ton compare, dans les deux triangles
reclangles AHB et AHC, les formules cos - = ces - cos — et cos-
= cos -cos — , il vient par Télimination de cos - : u n u
cos - p„
cos ^ -= — ï^Tv cos — u BH u
cos — %i
et, en remplaçant CH par a — BH :
b a c , a c^ BH
cos - = coF - cos - + sm - cos - tg — .
Remplaçons enfin tg — par sa valeur tg- cos B, il vient :
cos - = cos - cos - + sm - sm - cos B. (o)
ti u u u u
C'est la formule relative aux surfaces à courbure positive ; pour les surfaces à courbure négative, il suffit de remplacer les sinus et cosinus des côtés par les sinus et cosinus hyperboliques, mais cos B restant toujours cos B.
Les formules (7) et (8) contiennent toute la trigonométrie des triangles géodésiques.
Nous ne développerons pas davantage cette théorie des surfaces identiques, ce qui précède suffisant pour servir de base à la géométrie complète de ces surfaces, étant entendu qu'il s'agit ici de géométrie à deux dimensions.
Rappelons enfin que pour w==oo , ce qui caractérise les surfaces à courbure nulle, les formules ci-dessus sont identiques à celles du plan euclidien.
