APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL DIFFÉRENTIEL

1* Théorie des tangentes aax courbes planes. (2 leçons.)

Formule fondamentale pour la théorie rectiligne des tangentes. Double liaison générale de cette théorie avec celle des maxima.

Application à la courbe algébrique dont la somme (ou toute autre fonction) des distances de chaque point à divers points fixes demeure constante : construction très-remarquable que Leibnitz en a tirée.

Applications spéciales à la logarithmique et à la cyclolde.

Formule générale pour la théorie polaire des tangentes, obtenue, soit directement, soit d'après la formule rectiligne.

Applications spéciales aux spirales d'Archimède et de Jacques Bernouilli.

Théorie des asymptotes, d'abord en coordonnées rectilignes, puis en coordonnées polaires. Diverses applications.

Théorie générale des points d'inflexion, d'après la considération des tangentes : principal caractère analytique de ces points.

Théorie des points multiples, et par suite, des points conjugués, des points saillants^ et des pomts àî'arrét.

20 Théorie de la courbure des courbes planes. (5 leçons.)

Appréciation générale de l'objet propre, de la haute importance, et de la difficulté supérieure d'une telle recherche.

Première notion fondamentale, propre à constituer la théorie mathématique de la courbure, d'après Tidée de flexion.

Seconde notion fondamentale, susceptible de la même destination, d'après la conception du cercle osculateur.

Identité nécessaire de ces deux méthodes géométriques. Introduction spontanée de l'analyse diflérentielle dans leur formulation.

Formules générales du rayon, et par suite du centre, de courbure, d'après la première méthode.

Formules générales du centre, et par suite du rayon, de courbure, d'après la seconde méthode.

Notion générale de la développée, envisagée comme complétant et perfectionnant la théorie mathématique de la courbure. Propriétés fondamentales de cette courbe auxiliaire. Formation de son équation d'après celle de la courbe primitive.

Application à la développée de la parabole ordinaire. Indication et appréciation, à cette occasion, du mode suivant lequel la théorie des

■tiofpte* devi«ndnjl, ca certaîiu cas. acceuiUe à Faaairie ordi-

ipplication de U ihforie de :icatioii de aoa usage poa' '~ ^rbure de la crdoide oi

pée. Râunion d'une lel. .

iùide. Aperçu ii>oniin£ de M prîDdpile propriété dfDamïqoe. prii te principe tpécial d'Huj^beos.

'onnule générale pour la théorie polaire de la courbure, obtenue. [ dirccicmeat, loit d*apris la formule rectili^e. ippliciliODi tpéciiiei aui ipiralei d'Archimède et de BentouïUi. lion remarquable qui en r&uJce pour la développée de la ^>iraJc arithmiquc, et d'où tuit la rtctiâcaiion de cette courbe, ^ntidérations générales sur la recherche inrene des JÉTclopites par lesdéceloppées. Exempif exceptionnel relatif au wrcle, :aractéris3n( les cas où cette question, quoique naturel lement du lortdu calcul intégral, deiicni quelqueroiï accessible au seul calcul ërenneL

lalogie fondamentale avec celle de*

. . . , ecberche des caustiques par réflexion,

is du parallélisme des rayons incidents. Indicalioa des atique* par rffraciion.

'bforie générale de Leibnitz sur les courbes emv/qppei. Application

[élhode générale de Lagrange pour former un iTStime de courbes ceprible d'une enveloppe donnée. Appréciation, analrtique et géoinqixe, de la vraie subordination des enveloppées à l'enveloppe, liéorie fondamentale de Lagranee sur les divers degrés de contact

courbes planes. Caractères, d^bord anal}^iques, puis géométris, des dinérenis contacts. Fixation du genre d'osculation propre i que espèce de courbes.

pplication générale de la théorie précédente à l'étude luaibéinati-

de ta courbure. Limitation naturelle d'une telle comparaison i la ioo du cercle oicutateur. Reproduction spontanée des formules aneures, et vérification analytique des propriétés générales de la

idicatioQ d'une nouvelle classe de points singuliers où le cercle ilateur a un contact du troisième ordie avec la courbe proposée, nparaison générale de ces points à ceux de moindre ou ptu* grande

■raclirei analytiques, reclilignes on polaires, des points de reattment. Reproduction analogue des caractères propres aux Jn-

pplication de l'ensemble de la géométrie différentielle à la discus- I perfectionnée des courbes planes, surtout transcendantes. Eiem-

I relitits aux courbe» y =" ^^i X "■ '^"^^i X^ =" cos x, y^ ,

3» Théorie des courbes à double courbure. (3 Uçons,)

Théorie des tansentes à ces courbes, soit d'après les courbes planes, soit directement. Applications à l'hélice, et à Tépicyclolde sphérique.

Théorie fondamentale du plan osculateur. Diverses formes de son équation générale. Application à Thélice.

Théoriejgénérale de la courbure ordinaire, ou de flexion. Recherche analytique du cercle osculateur.

Établissement direct des formules générales pour la grandeur et la ' direction du premier rayon de courbure. Diverses formes dont elles sont susceptibles. Application à Thélice.

Théorie générale de la seconde courbure, ou de torsion. Sa source naturelle dans la notion du plan osculateur. Formule du rayon correspondant. Application à l'hélice.

Nouvelle conception sur la théorie de la seconde courbure d'après la notion de la sphère osculatrice : comparaison des deux méthoaes ; identité nécessaire de leurs résultats. Condensation possible de toute la théorie des deux courbures autour des seules notions du plan osculateur et de la sphère osculatrice. Recherche analytique de celle-ci.

Extension générale de la théorie fondamentale des contacts curvilignes aux courbes à double courbure.

Comparaison d'une courbe quelconque à l'hélice osculatrice. Nouvel aspect correspondant pour l'ensemble de la théorie de la courbure des lignes non planes. Recherche analytique de cette hélice. Appréciation finale de cette conception.

4* Théorie des plans taDgents, et classement rationnel des sarfaees. (3 leçons.)

Équation générale du plan tangent, d'après sa définition infinitésimale. Deuxième mode ae formation, d'après le lieu des tangentes menées à une surface en chacun de ses points. Troisième mode, d'après la propriété de minimum de la normale.

Plan tangent parallèle à un plan donné, ou contenant une droite donnée. Plan tangent commun à trois surfaces données.

Conception fondamentale de Monee sur l'application naturelle de la théorie des plans tangents au perfectionnement général de la géométrie comparée par l'établissement direct de types différentiels, indépendants de toute fonction arbitraire, pour caractériser chaque famille de surfaces. Correspondance analytique de ces nouvelles équations collectives aux types unis antérieurement introduits.

Application de ces principes aux familles géométriques déjà étudiées par l'analyse ordinaire.

Équation différentielle propre à caractériser toutes les surfaces développables.

Théorie fondamentale de Monge sur les surfaces enveloppes. Différences nécessaires, analytiques et géométriques, de cette notion avec celle relative aux courbes.

Considérations générales sur la formation des familles géométriq^ues d'après cette nouvelle idée mère, qui condense à un degré supé« rieur toutes les comparaisons antérieures.

Développement analytique de cette théorie dans le seul cas de deux

» variables. Modede formatian de l'équation dit :haque famille.

lion spéciale aux diverses familles antérieures et i X dont l'axe est plan.

S* Théorie de la courtnire des surbces.

: sénérale des divers contacts des surhces. Sa

e avec celle des contacts curvilignes.

ilion de celte théorie à l'étude de la courbure dei

leur comparaison avec la sphère. Défaut radical

re l'ofllce géométrique de la sphère oeculairice i

lulateur. Nécessité correspondante d'étudier, ench

bce quelconque, une infinité de rayons de courbi

le jjénérale du rayon de courbure de toute sectior

ationdet deux rayons principaux.

uction spontanée du caractère différentiel des su

les.

t d'Euler sur la marche générale des rayons de

, résumée par une construction remarquable. Disc

courbe correspondante est elliptique, hyperboliqui

appréciation d'une prétendue indicatrice.

me complémentaire de Meunier sur la courbure d(

iiion de ces diverses notions à quelques exemptes, iceî = j:r-

on générale des ligna de courbure. Exposition ani : de Monge à ce sujet. Importance de cette dét< téctionner l'ensemble de 1 étude de la courbure t

ion directe et spéciale des lignes de courbure pi les plus usuelles.

che de la surface qui contient les centres de co sections principales.

e générale des lignes déplus grande pente. Leur ri lux lignes de niveau. Détermination spéciale de» >tication de celte théorie à la surface j s xy-

Traité de Géométrie analytique (64 leçons).... ne du Cours d'Algèbre supérieure (aS leçons),. . ne du Cours de Calcul différentiel (3i leçons) ..

PARIS. - mPBIHERIE DB TAIN ET THUNOT,

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