VV \/ U

qui est par conséquent ^ — ^- — comme devant, d'où on

voit que c'est une même ligne courbe qui se décrit en ces deux façons.

Après cela, pource que BL et DE {fig. Si) sont égales, DL

et BE le sont aussi; de façon qu'ajoutant LH qui est — TT^,

pv Vu

à DL qm est ^ — =^ — i on a la toute DH qui est

2n ny 2n\/« et en ôtant 6D qui est — , on.a GH qui est

py VJ* , t y*

2n «y 2n\/« »' ce que j'écris par ordre en cette sorte,

GH : 1 !iliî ,

ny et le carré de GH est

y« — py* +

Et en quelque autre endroit de cette ligne courbe qu'on veuille imaginer le point C, comme vers N ou vers Q, on trouvera toujours que le carré de la ligne droite qui est entre le point H et celui où tombe la perpendiculaire du point C sur BH, peut être exprimé en ces mêmes termes et avec les mêmes signes + et — •

^fs

De plus, HI étant -, et LH étant • IL est

n* AnHé à cause de Tangle droit IHL ; et LP étant

IP ou IC est

à cause aussi de Tangle droit IPL. Puis ayant fait CM perpendiculaire sur IH; IM est la différence qui est entre HI et HM

ou CG, c'est-à-dire entre -r et y, en sorte que son carré

toujours

qui étant ôté du carré de IC, il reste

^ s p\/u 2my ,

is 1* «a y

pour le carré de CM, qui est égal au carré de GH déjà trouvé. Ou bien en faisant que cette somme soit divisée comme l'autre par nVi on a

— n*y^ + 2my' — p \/uy^ — ^»* + r* y'

puis remettant

—ry^ + Çy^ — 7 /> V pour ny , et ry^ + 2 \/uy^ + -^— -V'

pour 2m y' ; et multipliant Tune et l'autre somme par nVon a

égala

c'est-à-dire qu'on a

D'où il paroit que les lignes CG, NR, QO, et semblables, sont les racines de celte équation qui est ce qu*il falloit démontrer.

L'invention de quatre moyennes proportionnelles.

Ainsi donc si on veut trouver quatre moyennes proportionnelles entre les lignes a et 6 ayant posé x pour la première, l'équation est

x^ — a*6 = 0, ou bien x^ — a^bx = 0.

Et faisant y — â = a:, il vient

+ a» 4- a«6 = 0 ; c'est pourquoi il faut prendre 3a pour la ligne AB, et

V y/ a* + ab

pour BK ouïe côté droit de la parabole, que j'ù nommé n, et — \/a* -f- ab pour DE ou BL. Et après avoir décrit la ligne i^ourbe ACN sur la mesure de ces trois, il faut faire

I II 6a* -t- a»6

2;?. v/a* + ab

et

Hl = — r- + -r v/a* + «* H ==

et .^

LP == ~ y/l5a« + 6a /a» + aô ;

car le cercle, qui ayant son centre au point I passera par le point P ainsi trouvé, coupera la courbe aux deux points G et N, desquels ayant tiré les perpendiculaires NR et GG, si la moindre NR est ôtée de la plus grande GG, le reste sera or, la première djBS quatre moyennes proportionnelles cherchées.

Il est aisé en même façon de diviser un angle en cinq parties égales, et d'inscrire une figure de onze ou treize côtés égaux dans un cercle, et de trouver une infinité d'autres exemples de cette règle.

Toutefois il est à remarquer qu'en plusieurs de ces exemples il peut arriver que le cercle coupe si obliquement la parabole du second genre^ que le point de leur intersection soit difficile & reconnoître, et ainsi que cette construction ne soit pas commode pour la pratique ; à quoi il seroit aisé de remédier en composant d'autres règles à l'imitation de celle-ci, comme on en peut composer de mille sortes.

Mais mon dessein n'est pas de faire un gros livre, et je tâche plutôt de comprendre beaucoup en peu de mots, comme on jugera peut-être que j'ai fait, si on considère qu'ayant réduit & une même construction tous les problèmes d'un même genre, j'ai tout ensemble donné la façon de les réduire à une infinité d'autres diverses, et ainsi de résoudre chacun d'eux en une infinité de façons ; puis outre cela, qu'ayant construit tous ceux qui sont plans en coupant d'un cercle une ligne droite, et tous ceux qui sont solides en coupant aussi d'un cercle une parabole, et enfin tous ceux qui sont d'un degré plus com-

posés en coupant tout de même d'un cercle une ligne qui n'est que d'un degré plus composée que la parabole, il ne faut que suivre la même voie pour construire tous ceux qui sont plus composés à Tinflui : car,en matière de progressions mathématiques,lorsqu'on a les deux ou trois premiers termes,il n'est pas malaisé de trouver les autres. Et j'espère que nos neveux me sauront gré, non seulement des choses que j'ai ici expliquées, mais aussi de celles que j'ai omises volontairement, afin de leur laisser le plaisir de les inventer.