r« — &r + 35 =0, il faut écrire en son lieu

y« — 8y* — i24ya - 64 — 0,

car la quantité que j'ai nommée p étant — 4, il faut mettre — 8^ pour %py^ ; et celle que j'ai nommée r étant 35, il faut mettre (16 — 140) y^, c'est-à-dire — 124y« au lieu de (p* — 4r) y* ; et enfin q étant 8, il faut mettre — 64 pour — y*. Tout de môme, au lieu de

+ a:* — Via? — 20a: — 6 = 0, il faut écrire

car 34 est double de 17, et 313 en est le carré joint au quadruple de 6, et 400 est le carré de 20. Tout de même aussi au lieu de

DCSC4RTBS. — Géométrie. 6

il faut écrire

y« ^ [a^ — 2(î*) y* + (c* — a*) y^ — a^ — 2a*c* — aV* = 0;

car/} est

5 a* — c^ et jd' est - a* — aV 4- c*, et 4r est — - a* -f aV,

et enfin — y* est — a* — 2aV — a*c*.

Après que Téquation est ainsi réduite à trois dimensions, il faut chercher la valeur de y* par la méthode déjà expliquée ; et si elle ne peut être trouvée, on n'a point besoin de passer outre, car il suit de là infailliblement que le problème est solide. Mais si on la trouve, on peut diviser par son moyen la précédente équation en deux autres, en chacune desquelles la quantité inconnue n'aura que deux dimensions et dont les racines seront les mêmes que les siennes ; à savoir, au lieu de

+ x^ ... pa:^ ... qx ... r =0,

il faut écrire ces deux autres

Et pour les signes 4. et — que j'ai omis, s'il y a 4. p en

Téquatlon précédente, il faut mettre 4- r jo en chacune de

celles-ci, et — ^p s'il y a en l'autre —/); mais il faut mettre

4- r^ en celle où il y a — yx, et — i- ^^ celle où il y a 4- yx, lorsqu'il y a + y en la première ; et au contraire, s'il y a — y, il faut mettre — ^ ^vl celle où il y a — yx. et 4- X- en celle

OÙ il y a + yx. Ensuite de quoi il est aisé de connottre toutes les racines de réquation proposée, et par conséquent de construire le problème dont elle contient la solution, sans y employer que des cercles et des lignes droites. Par exemple, à cause que faisant

y« — 34y* + 318y« — 400— 0 pour

X* — ITar* — ÎOr — 6 =s 0,

on trouve que y^ est 16, on doit, au lieu de cette équation

+ a:* — ilx^ — 20a: — 6 =0.

écrire ces deux autres

+ a:* — 4ar — 3 = 0,

car y est 4, r y* est 8, p est,i7, et q est 20, de façon que

+ -2y'--2/'-|fait-3,et + iy'-|;, + |fait + 2.

Et tirant les racines de ces deux équations, on trouve toutes les mêmes que si on les tiroit de celle où est a:^ à savoir, on en trouve une vraie qui est \/l -f 2, et trois fausses qui sont

v/7 — 2, 2 + v^, et 2 — v/2.

Ainsi ayant

pource que la racine de

est derechef 16, il faut écrire

ar^ - 4ar 4- 5 = 0 et

a:« + 4ar 4- 7 =- 0

Car ici

Et pource qu'on ne trouve aucune racine, ni vraie ni fausse, en ces deux dernières équations, on connoit de là que les quatre de Féquation dont elles procèdent sont imaginaires, et que le problème pour lequel on Ta trouvée est plan de sa nature, mais qu'il ne sauroit en aucune façon être construit, à cause que les quantités données ne peuvent se joindre. Tout de même ayant

pource qu'on trouve a' + c* pour y*, il faut écrire

car y est

/â> + ?, et + ^ y« + 2 P ®^' 4 ^^ ®^ 1: ®^^ 2 ^ v/»* H- ^V

d'où on connoit que la valeur de z est

- v/a« + c^ + V — - a« + - c* + - a y/^Tc»' ou bien

Et pource que nous avions fait ci-dessus ^ + - « «« x, nous

apprenons que la quantité x^ pour la connoissance de laquelle nous avons fait toutes ces opérations, est

+ |« + V^iû«+ic«-V/jC«-^a» + ^av/^T^.

Exemple de Tusage de ces rédactioiui.

Mais afin qu'on puisse mieux connottre l'utilité de cette règle il faut que je l'applique à quelque problème. Si le carré AD {fig, 26) et la ligne BN étant donnés, il faut

prolonger le côté AC jusques & £, en sorte que EF, tirée de E vers B, soit égale à NB : on apprend de Pappus, qu'ayant premièrement prolongé BD jusques à 6, en sorte que DG soit égale à DN, et ayant décrit un cercle dont le diamètre soit BG, si on prolonge la ligne droite AC, elle rencontrera la circonférence de ce cercle au point E qu'on demandoit. Mais pour ceux qui ne sauroient point cette construction, elle seroit assez difilcile à rencontrer; et^ en la cherchant par la méthode ici proposée, ils ne s'aviseroient jamais de prendre DG pour la quantité inconnue^ mais plutôt GF ou FD, à cause que ce sont elles qui conduisent le plus aisément à Téquation; et lors ils en trouveroient une qui ne seroit pas facile à démêler sans la règle que je viens d'expliquer. Car posant a pour BD ou CD, et c pour EF, et x pour DF, on a CF = « — ar, et

comme GF ou a — x est à FE ou c, ainsi FD ou x est à BF, qui par conséquent est . Puis à cause du triangle rectangle BDF dont les côtés sont Tun x et Tautre a^ leurs carrés^ qui sont x^ + a^, sont égaux à celui de la base, qui

est -^ 'j; de façon que, multipliant le tout par

X ""^ itlÂrX "T" U

X — tax -\- a*, on trouve que Téquation est

x^ — 2ax» H- %a^x^ — Sa'x + a* = c* a:», ou bien

x^ — ^ax^ + (2a^— c') a^ — 2a»ar + a* — 0 ;

et on connolt par les règles précédentes que sa racine, qui est la longueur de la ligne DF, est

Que si on poçoit BF, ou CE, ou BE, pour la quantité inconnue, on viendroit derechef à une équation en laquelle il y auroit quatre dimensions, mais qui seroit plus aisée à démêler, et on y viendroit assez aisément; au lieu que si c*étoitDG qu'on supposât, on viendroit beaucoup plus difflcilement à Téquation, mais aussi elle seroit très simple. Ce que je mets ici pour vous avertir que, lorsque le problème proposé n'est point solide, si en le cherchant par un chemin on vient à une équation fort composée, on peut ordinairement venir à une plus simple en le cherchant par un autre.

Je pourrois encore ajouter diverses règles pour démêler les équations qui vont au cube ou au carré de carré, mais elles seroient superflues ; car lorsque les problèmes sont plans on en peut toujours trouver la construction par celles-ci.

Règle générale pour réduire lea équationB qal passent le

carré de oarré.

Je pourroLS aussi en ajouter d'autres pour les équations qui montent jusques au sursolide, ou au carré de cube, ou au delà, mais j'aime mieux les comprendre toutes en une, et dire en général que, lorsqu'on a tâché de les réduire à même forme que celles d'autant de dimensions qui viennent de la multiplication de deux autres qui en ont moins, et qu'ayant dénombré tous les moyens par lesquels cette multiplication est possible, la chose n'a pu succéder par aucun, on doit s'assurer qu'elles ne sauroient être réduites à de plus simples; en sorte que si la quantité inconnue a trois ou quatre dimensions, le problème pour lequel on la cherche est solide, et si elle en a cinq ou six, il est d'un degré plus composé, et ainsi des autres.

Au reste, j'ai omis ici les démonstrations de la plupart de ce que j'ai dit, à cause qu'elles m'ont semblé si faciles que, pourvu que vous preniez la peine d'examiner méthodiquement si j'ai failli, elles se présenteront à vous d'elles-mêmes; et il sera plus utile de les apprendre en cette façon qu'en les lisant.

Façon générale pour construire tous les problèmes solides réduits à une éc|[uation de trois ou quatre dimensions.

Or, quand on est assuré que le problème proposé est solide, soit que l'équation par laquelle on le cherche monte au carré de carré, soit qu'elle ne monte que jusques au cube, on peut toujours en trouver la racine par l'une des trois sections coniques, laquelle que ce soit, ou même par quelque partie de Tune d'elles, tant petite qu'elle puisse être, en ne se servant

au reste qne de lignes droites et de cercles. Mais je me contenterai ici de donner une règle générale pour les tj*ouver toutes par le moyen d'une parabole, à cause qu'elle est en quelque façon la plus simple.

Premièrement, il faut ôter le second terme de Téquation proposée, s'il n'est déjà nul, et ainsi la réduire à telle forme

si la quantité inconnue n'a que trois dimensions ; ou bien à

telle

z* e= ... apz'^ ... a^qz ... «"r,

si elle en a quatre; ou bien, en prenant a pour l'unité, à telle

2^= ... pZ ... Çj

et à telle

Zi ^^^ • • . pz ... qz • . • f .

Après cela, supposant que la parabole FA6 (fig. 27) est déjà décrite, et que son essieu est ACDKL, et que son côté droit est a ou 1 dont AC est la moitié, et enfin que le point C

Fig. $7.

est au dedans de cette parabole, et que A en est le sommet ;

il faut faire CD bs ^ p^ et la prendre du même côté qu'est le

point A au regard du point C, s'il y a + p en Téquation ; mais

s'a y a — p, il faut la prendre de l'autre côté. Et du point D, ou bien, si la quantité p étoit nulle, du point C {fig. 28) 'û

faut élever une ligne à angles droits jusques à E^ en sorte

qu'elle soit égale à - ^. Et enfln du centre E il faut décrire

le cercle FC dont le demi-diamètre soit AE si l'équation n'est que cubique, en sorte que la quantité r soit nulle.

■/■Ts.

Fig, 28.

Fig. »9,

Mais quand il y a + r il faut dans cette ligne AE {fig. 27) prolongée prendre d'un côté AR égale à r, et de l'autre AS égale au côté droit de la parabole qui est 1 ; et ayant décrit un cercle dont le diamètre soit RS, il faut faire AH perpendiculaire sur AEi laquelle AH rencontre ce cercle RHS au point H qui est celui par où l'autre cercle FHG doit passer. Et quand il y a — r, il faut, après avoir ainsi trouvé la ligne AH {fig. 29)^ inscrire AI qui lui soit égale, dans un autre cercle dont AE soit le diamètre, et lors c'est par le point I que doit passer FIG le premier cercle cherché. Or ce cercle FGpeut couper ou toucher la parabole en un, ou deux, ou trois, ou quatre points, desquels tirant des perpendiculaires sur l'essieu, on a toutes les racines de l'équation tant vraies que fausses. A savoir si la quantité q est marquée du signe +, les vraies racines

it>

seront celles de ces perpendiculaires qui se trouveront du même côté de la parabole que E le centre du cercle, comme FL; et les autres, comme GK, seront fausses. Mais au contraire, si cette quantité q est marquée du -signe —, les vraies seront celles de Tautre côté, et. les fausses ou moindres que î ' rien seront du côté où est E le centi'e du cercle. Et enfin si ce

cercle ne coupe ni ne touche la parabole en aucun point, cela témoigne qu'il n'y a aucune racine ni vraie ni fausse en Téquation, et qu'elles sont toutes imaginaires. En sorte que cette règle est la plus générale et la plus accomplie qu'il soit possible de souhaiter.

Et la démonstration en est fort aisée; car si la ligne GK {fiff'^7), trouvée par cette construction, se nomme 2, AK sera z\ à cause de la parabole en laquelle GK doit être

moyenne proportionnelle entre AK et le côté droit qui est 1 ;

puis, si de AK j'ôte AC qui est -, et CD qui est - p, il reste DK

OU EM qui est 2* — âP — 3> dont le carré est

et à cause que DE ou KM est - q, la toute GM est z + q,

dont le carré est

z^ + qz -^ - q^\

et assemblant ces deux carrés on a

pour le carré de la ligne GE, à cause qu'elle est la base du triangle rectangle EMG.

Mais à cause que cette même ligne GE est le demi-diamètre

bti

du cercle FG, elle se peat encore expliquer eh d*autres termes,

à savoir ED étant - q^ et AD étant - » + -, AE est

l^î + ^pî + lp+i^

à cause de Tangle droit ADE ; puis HA étant moyenne proportionnelle entre AS qui est 1 et AR qui est r, elle est y/r ; et à cause de Tangle droit EAH^ le carré de HE ou E6 est

si bien qu*il y a équation entre cette somme et la précédente, ce qui est le même que

et par conséquent la ligne trouvée 6K qui a été nommée % est la racine de cette équation, ainsi qu'il falloit démontrer. Et si vous appliquez ce même calcul à tous les autres cas de cette règle en changeant les signes + et — selon l'occasion, vous y trouverez votre compte en même sorte, sans qu'il soit besoin que je m'y arrête.

L'invention de deux moyennes proporUonnelles.

Si on veut donc, suivant cette règle, trouver deux moyennes proportionnelles entre les lignes a et ^ {fig. Ji8)^ chacun sait

que posant z pour l'une^ comme a est à z, ainsi :; à-,

et — à -5; de façon qu'il y a équation entre q et —^ c'est-à-dire

Et la parabole FA6 étant décrite, avec la partie de son

essieu ÂC qui est - a la moitié du cAté droit, il faut du point C

élever la perpendiculaire CE égale à - 9, et du centre E par A,

décrivant le cercle AF, on trouve FL et LA pour les deux moyennes cherchées.

La façon de diviser un angle en troia.

Tout de même si on veut diviser Tangle NOP [fig. 30), on hien Tare ou portion de cercle NQPT en trois parties égales,

Fig. SO.

faisant NO = 1 pour le rayon du cercle, et NP = ç pour la sub tendue de Tare donné, et NQ «= jz pour la subtendue du tiers de cet arc, Téquation vient

2*«Br3jz — y.

Car ayant tiré les lignes NQ, .OQ, OT, et faisant QS parallèle à TO, on voit que coihme NO est à NQ, ainsi NQ à QR, et QR à RS; en sorte que NO étant i, et NQ étant z, QR est ««, et RS

est 2*; et à cause qull s'en faut seulement RS ou z^ que la ligne NP qui est q ne soit triple de NQ qui est z, on a

çrB=3z — z*, ou bien

Puis la parabole FAG étant décrite, et CA la moitié de son

côté droit principal étant -, si on prend CD ==- , et la perpen-

diculaire DE =» ^ ?) ^^ ^^ ^^ centre E par A on décrive le

cercle PAyG, il congé cette parabole aux trois points F, g^ et G,

sans compter le point A qui en est le sommet; ce qui montre qu'il y a trois racines en cette équation, à savoir les deux GK

et gk qui sont vraies, et la troisième qui est fausse^ à savoir FL. Et de ces deux vraies c'est gk la plus petite qu'il faut prendre pour la ligne NQ qui étoit cherchée; car l'autre GK est égale à NV la sub tendue de la troisième partie de l'arc NVP, qui avec l'autre arc NQP achève le cercle. Et la fausse FL est égale à ces deux ensembles QN et NV, ainsi qu'il est aisé à voir par le calcul.

Chie tons Us problèmes solides se penvent réduire à ces

deux coxistruotions .

Il seroit supe]*flu que je m'aiTêtasse à donner ici d'autres exemples, car tous les problèmes qui ne sont que solides se peuvent réduire à tel point qu'on n'a aucun besoin de cette règle pour les construire, sinon en tant qu'elle sert à trouver deux moyennes prpportionnelles, ou bien à diviser un angle en trois parties égales, ainsi que vous connoltrez en considérant que leurs difRcultés peuvent toujours être comprises en des équations qui ne montent que jusques au carré de carré ou au cube, et que toutes celles qui montent au carré de carré

se réduisent au carré par le moyen de quelques autres qui ne montent que jusques au cube, et enfin qu'on peut ôter le second terme de celles-ci ; en sorte qu'il n'y en a point qui ne se puisse réduire à quelqu'une de ces trois formes :

Z^ mm ^ pg ^ q,

z^ ^^ ^ pz — q.

Or si on a jz* =a — /)z H- ç', la règle dont Cardan attribue l'invention à un nommé Scipio Ferreus nous apprend que la racine est

Comme aussi lorsqu'on a a* = 4- jd2? + y, et que le carré de la moitié du dernier terme est plus grand que le cube du tiers de la quantité connue du pénultième, une pareille règle nous apprend que la racine est

D'où il paroit qu'on peut construire tous les problèmes dont les difficultés se réduisent à Tune de ces deux formes, sans avoir besoin des sections coniques pour autre chose que pour tirer les racines cubiques de quelques quantités données, c'est-à-dire pour trouver deux moyennes proportionelles entre ces quantités et l'unité.

Puis, si on a ;s' =» -f pz + y, et que le carré de la moitié du dernier terme ne soit point plus grand que le cube du tiers de la quantité connue du pénultième^ en supposant le cercle

NQPV dont le demi-diamètre NO soit \ t^P, c'est-à-dire la

moVeDDe proportionnelle entre le tiers de la quantité donnée J9 et Tunité, et supposant aussi la ligne NP inscrite dans ce

cercle qui soit —, c'est-à-dire qui soit à Tautre quantité don-

née q comme Tunité est au tiers de p, il ne faut que diviser chacun des deux arcs NQP et NVP en trois parties égales, et on aura NQ la subtendue du tiers de l'un, et NV la subtendue du tiers de Tautre, qui jointes ensemble composeront la racine cherchée.

Enfin si on a 2' == jojs — qy en supposant derechef le cercle

NQPV dont le rayon NO soit yr/), et l'inscrite NP soit X?,

NQ la subtendue du tiers de Tare NQP sera Tune des racines cherchées, et NV la subtendue du tiers de l'autre ai*c sera l'autre. Au moins, si le carré de la moitié du dernier terme n'est point plus grand que le cube du tiers de la quantité connue du pénultième; car s'il étoit plus grand, la ligne NP lie pourroit être inscrite dans le cercle, à cause qu'elle seroit plus longue que son diamètre, ce qui seroit cause que les deux vraies racines de cette équation ne seroient qu'imaginaires, et quil n'y en auroit de réelle que la fausse, qui, suivant la règle de Cardan, seroit

Vc. 1, + v/i,.|,p3 ^ s/c. i,v/*,.|^^..

La façon d'exprimer la valeur de toutes les racines des équations cubiques, et ensuite de toutes celles qui ne montent que Jusques au oarré de carré.

Au reste, il est à remarquer que cette façon d'exprimer la valeur des racines par le rapport qu'elles ont aux côtés de certains cubes dont il nV a que le contenu qu'on connoisse,

n'est en rien plus intelligible ni plus simple que de les exprimer par le rapport qu'elles ont aux subtendues de certains arcs ou portions de cercles dont le triple est donné ; en sorte que toutes celles des équations cubiques qui ne peuvent être exprimées par les règles de Cardan, le peuvent être autant ou plus clairement par la façon ici proposée.

Car si, par exemple, on pense connoître la racine de cette équation

à cause qu'on sait qu'elle est composée de deux lignes dont

l'une est le côté d'un cube duquel le contenu est - q, ajouté

au' côté d'un carré duquel derechef le contenu est r ?' ~ ô^PS

et l'autre est le côté d'un autre cube dont le contenu est la

différence qui est entre 5 y et le côté de ce carré dont le con-

tenu est - y* — 97 -P*' î^^ ®^^ '^^^ ^® qu'on en apprend par

la règle de Cardan. Il n'y a point de doute qu'on ne connoisse autant ou plus distinctement la racine de celle-ci

z' = 4- qz—p, en la considérant inscrite dans un cercle dont le demi-diamètre est y r p, et sachant qu'elle est la subtendue d'un arc

dont le triple a pour sa subtendue — . Même ces termes sont

beaucoup moins embarrassés que les autres, et ils se trouveront beaucoup plus courts si on veut user de quelque chiffre particulier pour exprimer ces subtendues^ ainsi qu'on fait du chiffre v/C. pour exprimer le côté des cubes.

Et on peut aussi ensuite de ceci exprimer les racines de toutes les équations qui montent jusques au carré de carré

par les règles ci-dessus expliquées ; en sorte que je ne sache rien de plus à désirer en cette matière : car enfin la nature de ces racines ne permet pas qu'on les exprime en termes plus simples, ni qu'on les détermine par aucune construction qui soit ensemble plus générale et plus facile.

Pourquoi les problèmes solides ne peuvent être construits sans les sections conicpies, ni ceux qui sont plus composés sans quelques autres lignes plus composées.

11 est vrai que je n'ai pas encore dit sur quelles raisons je me fonde pour oser ainsi assm*er si une chose est possible ou ne Test pas. Mais si on prend garde comment, parla méthode dont je me sers, tout ce qui tombe sous la considération des géomètres se réduit à un même genre de problèmes, qui est de chercher la valeur des racines de quelque équation, on jugera bien qu'il n'est pas malaisé de faire un dénombrement de toutes les voies par lesquelles on les peut trouver, qui soit suffisant pour démontrer qu'on a choisi la plus générale et la plus simple. Et particulièrement pour ce qui est des problèmes solides, que j'ai dit ne pouvoir être construits sans qu'on y emploie quelque ligne plus composée que la circulaire, c'est chose qu'on peut assez trouver de ce qu'ils se réduisent tous à deux constructions, en l'une desquelles il faut avoir tout ensemble les deux points qui déterminent deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données, et en l'autre les deux points qui divisent en trois parties égales un arc donné ; car d'autant que la courbure du cercle ne dépend que d'un simple rapport de toutes ses parties au point qui en est le centre, on ne peut aussi s'en servir qu'à déterminer un seul point entre deux extrêmes, comme à trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes droites données, ou diviser

DiscAiTts. — Géométrie. 7

98 LA GÉOnÉTRIE.

en deux un arc donné ; au lieu que la courbure des sections coniques, dépendant toujours de deux diverses choses, peut aussi servir à déterminer deux points différents.

Mais pour dette même raison il est impossible qu'aucun des problèmes qui sont d'un degré pliis composés que le^ solides, et qui présupposent Tinvention de quatre moyennes proportionnelles, ou. la division d'un angle en cinq parties égales, puissent être construits par aucune des sections coniques ^ C'est pourquoi je croirai faire en ceci tout le mieux qui se puisse, si je donne une règle générale pour les construire, en y employant la ligne courbe qui se décrit par l'intersection d'une parabole et d'une ligne droite en la façon ci-dessus expliquée; car j'ose assurer qu'il n'y en a point de plus simple en la nature qui puisse servir à ce même effet, et vous avez vu comme elle suit immédiatement les sections coniques en cette question tant cherchée par les anciens, dont la solution enseigne par ordre toutes les lignes courbes qui doivent être reçues en géométrie.

Façon générale poor oonstroire tons les problèmes réduits k une expiation qui n'a point plus de six dimensions.

Vous savez déjà comment, lorsqu'on cherche les quantités qui sont requises pour la construction de ces problèmes, on les peut toujours réduire à quelque équation qui ne monte que jusques au carré de cube ou au sursolide. Puis vous savez aussi comment, en augmentant la valeur des racines de cette équation, on peut toujours faire qu'elles deviennent toutes vraies, et avec cela que la quantité connue du troisième terme soit plus grande que le carré de la moitié de celle du second; et enfin comment, si elle ne monte que jusques au sursolide, on la peut hausser jusques au carré de cube, et faire que la

place d'aucnn de ces termes ne manque d'être remplie. Or, afin que toutes les difficultés dont il est ici question puissent être résolues par une même règle, je désire qu'on fasse toutes ces choses, et par ce moyen qu'on les réduise toujours à une équation de telle forme,

y^—py^ + çy^ — ry^ + sy^ — ty + u —0,

et en laquelle la quantité nommée q soit plus grande que le carré de la moitié de celle qui est nommée p. Puis ayant fait la ligne BK {fig. 3J) indéfiniment longue des deux côtés, et

Fig, 51,

du point B ayant tiré la perpendiculaire AB dont la longueur soit X /'^ il faut dans un plan séparé décrire une parabole, comme CDF, dont le côté droit principal soit

que je nommerai n pour abréger. Après cela, il faut poser le plan dans lequel est cette parabole sur celui où sont les

lignes ÂB et BK, en sorte que son essieu DE se rencontre justement au-dessus de la ligne droite BK ; et ayant pris la partit*, de cet essieu qui est entre les points E et D égale à

y il faut appliquer sur ce point E une longue règle en

telle façon qu'étant aussi appliquée sur le point A du plan de dessous^ elle demeure toujours jointe à ces deux points pendant qu'on haussera ou baissera la parabole tout le long de la ligne BK sur laquelle son essieu est appliqué ; au moyen de quoi Tintersection de cette parabole et de cette règle, qui se fera au point C, décrira la ligne courbe ACN, qui est celle dont nous avons besoin de nous servir pour la construction du problème proposé. Car après qu'elle est ainsi décrite, si on prend le point L en la ligne BK, du côté vers lequel est tourné le sommet de la parabole, et qu'on fasse BL égale à DE, c'est-

à-dire à — ^ ; puis du point L vers B qu'on prenne en la

t même ligne BK la ligne LH égale à — — i,etquedupointH

ainsi trouvé on tire à angles droits du côté qu'est la courbe ACN

la ligne HI dont la longueur soit ,; 1 4- -— — . qui

m pour abréger sera nommé ~; et après, ayant joint les points L

et I, qu'on décrive le cercle LPI dont IL soit le diamètre, et qu'on inscrive en ce cercle la ligne LP dont la longueur soit

s -hp yj u . p^ig gjjgjj J^ centré I, par le point P ainsi

trouvé, qu'on décrive le cercle PCN.

Ce cercle coupera ou touchera la ligne courbe ACN en autant de points qu'il y aura de racines en l'équation, en sorte que les perpendiculaires tirées de. ces points sur la ligne BK,

comme CG, NR, QO, et semblables, seront les racines cherchées, sans qu'il y ait aucune exception ni aucun défaut en cette rëgle.Car si la quantité s étoit si grande à proportion des autres JD, q^ r, /, et w, que la ligne LP se trouvât plus grande que le diamètre du cercle LI, en sorte qu'elle n'y pût être inscrite, il n*y auroit aucune racine en Téquation proposée qui ne fût imaginaire ; non plus que si le cercle IP étoit si petit qu'U ne coupât la courbe ACN en aucun point. Et il la peut couper en six différents, ainsi qu'il peut y avoir six diverses racines en l'équation. Mais lorsqu'il la coupe en moins, cela témoigne qu'il y a quelques-unes de ces racines qui sont égales entre elles, ou bien qui ne sont qu'imaginaires.

Que si la façon de tracer la ligne ACN par le mouvement d'une parabole vous semble incommode, il est aisé de trouver plusieurs autres moyens pour la décrire : comme si, ayant les mêmes quantités que devant pour AB et BL {fig. 3^),

Fig, 8»,

et la même pom* BK qu'on avoit posée pour le côté droit principal de la parabole, on décrit le demi-cercle KST dont le

•ftt

centre soit pris à discrétion dans la ligne BK, en sorte qu'il coupe quelque part la ligne ÀB comme au point S ; et que du point T où il finit on prenne vers K la ligne TV égale à BL ; puis ayant tiré la ligne SV, qu'on en tire une autre qui lui soit parallèle par le point A, comme AG, et qu'on en tire aussi une autre par S qui soit parallèle à BK, comme SC, le point G où ces deux parallèles se rencontrent sera Tun de ceux de la ligne courbe cherchée. Et on en peut trouver en même sorte autant d'autres qu'on en désire.

Or la démonstration de tout ceci est assez facile ; car, appliquant la règle A£ [fig. 31) avec la parabole FD sur le point C^ comme il est certain qu'elles peuvent y être appliquées ensemble, puisque ce point G est en la courbe AGN qui est décrite par leur intersection, si GG se nomme y,

GD sera ^, à cause que le côté droit qui est n est à GG

comme GG à GD ; et ôtant DE qui est — — , de GD, on a

' ^ — pour GE. Pms, à cause que AB est à BE comme

n pn

CE est à GE, AB étant i », BE est ^ — î^.

2^' 2n ny

Et tout de même en supposant que le pomt G (fig, 32) de la courbe a été trouvé par l'intersection des lignes droites SG parallèle à BK, et AG parallèle à SV, SB qui est égale à GG est y\ et BK étant égale au côté droit de la parabole que j'ai

nommé n, BT est ^ , car comme KB est à BS, ainsi BS est

à BT. Et TV étant la même que BL, c'est-à-dire — î— î,

BV est î- — ; et comme SB est à BV, ainsi AB est à BE,

n pn