LIVRE PREMIER

et la toute CF sera -^^— = z — • . En même façon AG

que je nomme / est donnée, et BG est / — a:, el à cause du triangle BGT, la proportion de BG à BT est aussi donnée^ qui

soit comme de z à /, et BT sera (LzJl^ et CT =MàJjzIl^

Puis .derechef la proportion de GT à CH est donnée à cause du triangle TCH, et la posant comme de z à g^ on aura

Et ainsi vous voyez qu'en tel nombre de lignes données par position qu'on puisse avoir^ loutes les lignes tirées dessus du point G à angles donnés, suivant la teneur de la question, se peuvent toujours exprimer chacune par trois termes, dont Tun est composé de la quantité inconnue y, multipliée ou divisée par quelque autre connue ; et l'autre de la quantité inconnue x^ aussi multipliée ou divisée par quelque autre connue ; et le troisième d'une quantité toute connue ; excepté seulement si elles sont parallèles, ou Jbien à la ligne AB, auquel cas le terme composé de la quantité 2: sera nul, ou bien à la ligne GB, auquel cas celui qui est composé de la quantité y sera nul, ainsi qu'il est trop manifeste pour que je m'arrête à Texpliquer. Et pour les signes + et — qui se joignent à ces termes, ils peuvent être changés en toutes les façons imaginables.

Puis vous voyez aussi que, multipliant plusieurs de ces lignes l'une par l'autre, les quantités x et y qui se trouvent dans le produit n'y peuvent avoir que chacune autant de dimensions qu'il y a eu de lignes à l'explication desquelles elles servent, qui ont été ainsi multipliées ; en sorte qu'elles n'auront jamais plus de deux dimensions en ce qui ne sera produit que par la multiplication de deux lignes ; ni plus de

trois, en ce qui ne sera produit que par la multiplication de trois, et ainsi à TinOni.

Gommant on trouTe que oe problème est plan, lorsqu'il n'est point proposé en plus de cinq lignes.

De plus, à cause que pour déterminer le point C, il n'y a qu'une seule condition qui soit requise, à savoir que ce qui est produit par la multiplication d'un certain nombre de ces lignes soit égal, ou^ ce qui n'est de rien plus malaisé, ait la proportion donnée à ce qui est produit par la multiplication des autres ; on peut prendre à discrétion Tune des deux quantités inconnues x ou y, et chercher l'autre par cette équation, en laquelle il est évident que, lorsque la question n'est point proposée en plus de cinq lignes, la quantité a:, qui ne sert point à l'expression de la première, peut toujours n'y avoir que deux dimensions; de façon que, prenant une quantité connue pour y, il ne restera que a:^ =3 -|- ou — ax + ou — 6^; et ainsi on pourra trouver la quantité x avec la règle et le compas, en la façon tantôt expliquée. Môme, prenant successivement infinies diverses grandeurs pour la ligne y, on en trouvera aussi infinies pour la ligne x^ et ainsi on aura une infinité de divers points, tels que celui qui est marqué C, par le moyen desquels on décrira la ligne courbe demandée.

Il se peut faire aussi, la question étant proposée en six ou plus grand nombre de lignes, s'il y en a entre les données qui soient parallèles à AB ou BC, que l'une des deux quantités x ou y n'ait que deux dimensions en l'équation, et ainsi qu'on puisse trouver le point C avec la règle et le compas. Mais au contraire si elles sont toutes parallèles, encore que la question ne soit proposée qu'en cinq lignes, ce point C ne pourra ainsi être trouvé, à cause que la quantité x ne se trouvant point en