LIVRE PREMIER. \f

locum, hoc est unam ex Mbus conicis sectionibus. Et si ad quatuor rectos lineas positione datas in datis angiilis linesB ducantur; et rectanguli duabus ductis contenii ad eontentum duabus reliquis proportio data sit : similiter punctum datam coni sectionem positione cotitinget. Si quidem igiiur ad duas tantum locus planus ostensus est. Quod si ad plures quant quatuor^ punctum continget locos non adhuc cognitosy sed lineas tantum dictas; quales autem sint^ vel quam habeant proprietatem^ non constat : earum unam, neque primam, et quâs manifestissima videtur, composuerunt ostendentes utilem esse, Propositiones autem ipsdrum hœ sunt.

Si ab aîiquo puncto ad positione datas rectos lineas quinque ducantur rectse linem in datis angulis, et data sit proportio solidi parallelepipedi rectanguH, quod tribus ductis lineis continetur ad solidum parallelepipedum rectangulum, quod continetur reliquis duabus, et data quapiam linea^ punctum positione datam lineam con-' tinget. Si autem ad sex, et data sit proportio solidi tribus lineis contenti ad solidum, quod tribus reliquis continetur; rursus punctum continget positione datam lineam. Quod si ad plures quam sex, non adhuc habent dicere, an data sit proportio cujuspiam contenti quatuor lineis ad id quod reliquis continetur, quoniam non est aliquid eontentum pluribus quam tribus dimensionibus ,

Où je vous prie de remarquer en passant que le scrupule que faisoient les anciens d'user des termes de Tarithmétique en la géométrie, qui ne pouvoit procéder que de ce qu'ils ne voyoient pas assez clairement leur rapport^ causoit beaucoup d'obscurité et d'embarras en la façon dont ils s'expliquoient : car Pappus poursuit en cette sorte :

Acquiescuni autem his, qui paulo ante talia interpre-

tali sunt; neque unum aliquo pacto comprehensibile significantes quod his continetur. Licebit autem per conjunctas proportiones haec, et dicere^ et demonstrare universe in dictis proportionibus^ atque his in hune modum. Si ab aliquo puncto ad positione datas rectos lineas ducantur rectal lineœ in datis angulis, et data sitpropor* tio conjuncta ex ea, quant habet una ductarum ad unam, et altéra ad alteram, et alia ad aliam, et reliqua ad datant lineam^ si sint septem; si vero octo, et reliqua ad reliquam : punctum continget positione datas lineas. Et similiter quotcumque sint impares vel pares multitudine^ cum hœc^ ut dixi^ loco ad quatuor lineas respondeant^ nullum igitur posuerunt ita ut linea nota sit, etc. La question donc qui a.veit été commencée à résoudre par Euclide el poursuivie par Apollonius, sans avoir été achevée par personne, étoit telle : Ayant trois ou quatre, ou plus grand nombre de lignes droites données par position ; premièrement on demande un point duquel on puisse tirer autant d'autres lignes droites, une sur chacune des données, qui fassent avec elles des angles donnés, et que le rectangle contenu en deux de celles qui seront ainsi tirées d'un même point, ait la proportion donnée avec le carré de la troisième, s'il n*y en a que trois ; ou bien avec le rectangle des deux autres, s'il y en a quatre; ou bien,, s'il y en a cinq, que le parallélipipède composé de trois ait la proportion donnée avec le parallélipipède composé des deux qui restent, et d'une autre ligne donnée; ou s'il y en a six, que le parallélipipède composé de trois ait la proportion donnée avec le parallélipipède des trois autres ; ou s'il y en a sept, que ce qui se produit lorsqu'on en multiplie quatre l'une par l'autre, ait la raison donnée avec ce qui se produit par la multiplication des trois autres, et encore d'une autre ligne donnée;: ou s'il y en

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a huit, que le produit de la multiplication de quatre ait la proportion donnée avec le produit des quatre autres ; et ainsi cette question se peut étendre à tout autre nombre de lignes. Puis à cause qu'il y a toujours une infinité de divers points qui peuvent satisfaire à ce qui est ici demandé, il est aussi requis de connoltre et de tracer la ligne dans laquelle ils doivent tous se trouver. Et Pappus dit que lorsqu'il n'y a que trois ou quatre lignes droites données, c'est en une des trois sections coniques; mais il n'entreprend point de la déterminer ni de la décrire, non plus que d'expliquer celles où tous ces points se doivent trouver, lorsque la question est proposée en un plus grand nombre de lignes. Seulement il ajoute que les anciens en avoient imaginé une qu'ils montroient y être utile, mais qui sembloit la plus manifeste, et qui n'étoit pas toutefois la première.^ Ce qui m*a donné occasion d'essayer si, par la méthode dont je me sers, on peut aller aussi loin qu'ils ont été. .

Réponse à la question de Pappus.

Et premièrement j'ai connu que cette question n'étant proposée qu'en trois, ou quatre^ ou cinq lignes, on peut toujours trouver les points cherchés par la géométrie simple, c'est-àdire en ne se servant que de la règle et du compas, ni ne faisant autre chose que ce qui a déjà été dit; excepté seulement lorsqu'il y a cinq lignes données, si elles sont toutes parallèles : auquel cas, comme aussi lorsque la question est proposée en 6, ou 7, ou 8^ ou 9 lignes, on peut toujours trouver les points cherchés par la géométrie des solides, c'est-à-dii*e en y employant quelqu'une des trois sections coniques; excepté seulement lorsqu'il y a neuf lignes données, si elles sont toutes parallèles : auquel cas, derechef, et encore en 10,

11, 12 ou 13 lignes, on peut trouver les points cherchés le moyen d'une ligne courbe qui soit d'un degré plus co posée que les sections coniques; excepté en treize, si elîf sont toutes parallèles : auquel cas, et en 14, 15, 16 et 17, I faudra employer une ligne courbe encore d'un degré p composée que la précédente, et ainsi à l'infini.

Puis j'ai trouvé aussi que lorsqu'il n'y a que trois ou qué. lignes données, les points cherchés se rencontrent tous, seulement en l'une des trois sections coniques, mais quel fois aussi en la circonférence d'un cercle ou en une droite; et que lorsqu'il y en a cinq, ou six, ou sept, ou tous ces points se rencontrent en quelqu'une dès lignes sont d'un degré plus composées que les sections conique il est impossible d'en imaginer aucune qui ne soit utile à question ; mais ils peuvent aussi derechef se rencontre une section conique, ou en un cercle, ou en une ligne dr<. Et s'il y en a 9, ou 10, ou 11, ou 12, ces points se rencon en une ligne qui ne peut être que d'un degré plus com que les précédentes ; mais toutes celles qui sont d'un i plus composées y peuvent servir, et ainsi à l'infini.

Au reste, la première et la plus simple de toutes, apr sections coniques, est celle qu'on peut décrire par Tint tion d'une parabole et d'une ligne droite, en la façon qii tantôt expliquée. En sorte que je pense avoir entièrf* satisfait à ce que Pappus nous dit avoir été cherché e par les anciens ; et je tâcherai d'en mettre la démonst en peu de mots, car il m'ennuie déjà d'en tant écrire.

Soient {/îg. 5) AB, AD, EF, GH, etc ., plusieurs lign nées par position, et qu'il faille trouver un point, co duquel ayant tiré d'autres lignes droites sur les do comme CB, CD, CF et CH, en sorte que les angles CBA CFE, CHG, etc., soient donnés, et que ce qui est prod

- . En même façon AG

l / — a:, et à cause du 'T est aussi donnée, qui

z (IH est donnée à cause

me de i? à g^ on aura

re de lignes données par

s lignes tirées dessus du

teneur de la question, se

0 par trois termes, dont

iconnue y y multipliée ou

(4 l'autre de la quantité

ii visée par quelque autre

ilé toute connue; excepté

, ou l)ien à la ligne AB,

i quantité x sera nul, ou

ui qui est composé de la

trop manifeste pour que je

signes + et — qui se joi-

Hre changés en toutes les

iiltipliant plusieurs de ces lés a: et y qui se trouvent 'ir que chacune autant de > à lexplicalion desquelles illipliées ; en sorte qu elles lensions en ce qui ne sera (le deux lignes; ni plus de

Sfe..

à cause que le point B tombe entre G et R ; car si R tomboit

bx entre G et B, CR seroit y ; et si G tomboit entre B et R,

bx CR seroit — y H . Tout de même les trois angles du

triangle DRG sont donnés, et par conséquent aussi la proportion qui est entre les côtés CR et CD, que je pose comme

bx cy bcx

de >5 à c, de façon que CR étant y + • — ^ CD sera — + "tt*

Après cela, pource que les lignes AB, AD et EF sont données par position, la distance qui est entre les points A et Ë est aussi donnée, et si on la nomme A, on aura EB égal h k"\-x; mais ce seroit k — x si le point B tomboit entre Ë et A ; et — A: + x si Ë tomboit entre A et B. Et pource que les angles du triangle ESB sont tous donnés, la proportion de

Fig. €.

BE à BS est aussi donnée, et je la pose comme de z à (/, si

^r. , dk + dx , , , , ^^ zy-^-dk + dx

bien que BS est , et la toute CS est -^-^ ;

ÇJ7/ —^ dk • dx mais ce seroit -^ , si le point S tomboit entre

B et G; et ce seroit ?— 3l — IL — , si G tomboit entre

B et S. De plus les trois angles du triangle FSG sont donnés, et ensuite la proportion de CS à GF, qui soit comme de zke.