DE LA NATURE DES LIGNES COURBES

Quelles eont les lignes courbes qu'on peut reoeroir en

géométrie.

Les anciens ont fort bien remarqué qu'entre les problèmes de géométrie, les uns sont plans, les autres solides et les autres linéaires, c'est-à-dire que les uns peuvent être construits en ne traçant que des lignes droites et des cercles; au lieu que les autres ne le peuvent être, qu'on n'y emploie pour le moins quelque section conique ; ni enfin les autres, qu'on n'y emploie quelque autre ligne plus composée. Mais je m'étonne de ce qu'ils n'ont point outre cela distingué divers degrés entre ces lignes plus composées, et je ne saurois comprendre pourquoi il les ont nommées mécaniques plutôt que géométriques. Car de dire que c'ait été à cause qu'il est besoin de se servir de quelque machine pour les décrire, il faudroit rejeter par même raison les cercles et les lignes droites, vu qu'on ne les décrit sur le papier qu'avec un compas et une règle, qu'on peut aussi nommer des machines. Ce n'est pas non plus à cause que les instruments qui servent à les tracer, étant plus composés que la règle et le compas, ne peuvent être si justes ; car il faudroit pour cette raison les rejeter des mécaniques, où la justesse des ouvrages qui sortent de la main est désirée, plutôt que de la géométrie, où c'est seulement la

justesse du raisbnûetnenl qu*on recherche, et qui peut sans doute être aussi parfaite touchant ces lignes que touchant les autres. J« ne dirai pas aussi que ce soit à cause qu'ils n'ont pas voulu augmenter le nombre de leurs demandes, et qu'ils se sont contentés qu'on leur accord&t qu'ils pussent joindre deux points donnés par une ligne droite, et décrire un cercle d'un centre donné qui passât par un point donné; car ils n*ont point fait de scrupule de supposer outre cela, pour traiter dés sections coniques, qu'on pût' couper tout cône donné par un plan donné. Et U n'est besoin de rien supposer pour tracer toutes les lignes courbes que je prétends ici d'introduire, sinon que deux ou plusieurs lignes puissent être mues l'une par l'autre, et que leure intersections en marquent d'autres ; ce qui ne me parolt en rien plus difficile. U est vrai qu'ils n'ont pas aussi entièrement reçu les sections coniques en leur géométrie, et je ne veux pas entreprendre de changer les noms qui ont été approuvés par l'usage; mais il est, ce me semble, très clair que, prenant comme on fait pour géométrique ce qui est précis et exact, et pour mécanique ce qui ne l'est pas, et considérant la géométrie comme une science qui enseigne généralement à connoitre les mesures de tous les corps, on n'en doit pas plutôt exclure les lignes les plus composées que les plus simples, pourvu qu'on les puisse imaginer ^tre décrites par un mouvement continu, ou par plusieurs qui s'entre-suivent, et dont les derniers soient entièrement réglés par ceux qui les précèdent; car par ce moyen on peut toujours avoir une connoissance exacte de leur mesure. Mais peut-être que ce qui a empêché les anciens géomètres de recevoir celles qui étoient plus composées que les sections coniques, c'est que les premières qu'ils ont considérées, ayant par hasard été la spirale, la quadratrice et semblables, qui n'appartiennent véritablement qu'aux mécaniques, et ne sont

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poiat dn nombre de celles que je pense devoir ici être reçues, i. cause qu'on les imagine décrites par deux mouvements séparés, et qui n'ont entre eux aucun rapport qu'on puisse mesurer exactement; bien qu'ils aient après examiné la coucboïde, la cissolde, et quelque peu d'autres qui en sont, toutefois h cause qu'ils n'ont peut-être pas assez remarqué leurs propriétés, ils n'en ont pas fait plus d'état que des premières ; ou bien c'est que, voyant qu'ils ne connoissoient encore que peu de cboses touchant les sections coniques, et qu'il leur en restoit même beaucoup, touchant ce qui se peut faire avec la règle et le compas, qu'ils ignoroient, ils ont cru ne devoir point entamer de matière plus dîRlcile. Hais pource que j'espère que dorénavant ceux qui auront l'adresse de se servir du calcul géométrique ici proposé, ne trouveront pas assez de quoi s'arrêter touchant les problèmes plans ou solides, je crois qu'il est à propos que je les invite k d'autres recherches, où ils ne manqueront jamais d'exercice.

Voyez les lignes AB, AD, AF et semblables {fîg. 7), que je suppose avoir été décrites par l'aide de l'instrument YZ,qui est composé de plusieurs règles tellement jointes que celle qui est

marquée YZ étant arrêté sur la ligne AN, on peut ouvrir et fermer l'angle XYZ, et que lorsqu'il est tout fermé, les points

fi, C, D, E, F, G, H sont tous assemblés au point A ; mais qu'à mesure qu'on Touvre, la règle BC, qui est jointe à angles droits avec XY au point B, pousse vers Z la règle CD, qui coule sur YZ en faisant toujours des angles droits avec elle ; et CD pousse DE, qui coule tout de même sur YX en demeurant parallèle à BC ; DE pousse EF, EF pousse F6, celle-ci pousse 6H, et on en peut concevoir une infinité d'autres qui se poussent consécutivement en même façon, et dont les unes fassent toujours les mêmes angles avec YX et les autres avec YZ. Or, pendant qu'on ouvre ainsi l'angle XYZ, le point B décrit la ligne ÂB, qui est un cercle ; et les autres points D, F, H, où se font les intersections des autres règles, décrivent d'autres lignes courbes AD, AF, AH, dont les dernières sont par ordre plus composées que la première, et celle-ci plus que le cercle; mais je ne vois pas ce qui peut empêcher qu'on ne conçoive aussi nettement et aussi distinctement la description de celte première que du cercle, ou du moins que des sections coniques ; ni ce qui peut empêcher qu'on ne conçoive la seconde, et la troisième, et toutes les autres qu'on peut décrire, aussi bien que la première ; ni par conséquent qu'on ne les reçoive toutes en même façon pour servir aux spéculations de géométrie .

La façon de distinguer toutes les lignes oourbes en certains genres, et de oonnottre le rapport qu'ont tous leurs points à oeuz des lignes droites.

Je pourrois mettre ici plusieurs autres moyens pour tracer et concevoir des lignes courbes qui seroient de plus en plus composées par degrés à l'infini ; mais pour comprendre ensemble toutes celles qui sont en la nature, et les distinguer par ordre en certains genres, je ne sache rien de meilleur que de dire que tous les points de celles qu'on peut nommer

géométriques, c'est-à-dire qui tombent sous quelque mesure précise etexacte, ont nécessairement quelque rapport à tous les points d'une ligne droite, qui peut être exprimée par quelque équation, en tous pai* une même ; et que, lorsque cette équation ne monte que jusqu'au rectangle de deux quantités indéterminées, ou bien au carré d'une même, la ligne courbe est du premier et plus simple genre, dans lequel il n'y a que le cercle, la parabole, l'hyperbole et l'ellipse qui soient comprises ; mais que lorsque l'équation monte jusqu'à la troisième ou quatrième dimension des deux, ou de l'une des deux quantités indéterminées (car il en faut deux pour expliquer ici le rapport d'un point à un autre), elle est du second ; et que lorsque l'équation monte jusqu'à la cinquième ou sixième dimension, elle est du troisième ; et ainsi des autres à rinfmi.

Comme si je veux savoir de quel genre est la ligne EC (fig.8).

que j'imagine être décrite par l'intersection de la règle 6L et du plan recti- Ugne CNKL, dont le côté KN est indéfiniment prolongé vers C, et qui, étanl mu sur le plan de dessous en ligne droite, c'est-à-dire en telle sorte que son diamètre KL se trouve toujours appliqué sur quelque endroit de la ligne B A prolongée de part et d'autre, fait mouvoir circulairement cette règle 6L autour du point G, à cause qu'elle lui çst tellement jointe qu'elle passe toujours par le point L. Je choisis une ligne droite comme AB, pour rapporter à ses divers points tous ceux de cette ligne courbe EC; et en cette ligne AB je choisis un point comme A, pour commencer par lui ce calcul. Je dis que je choisis et l'un et l'autre, à cause qu'il est libi*e de les prendre tels qu'on veut; car encore qu'il

y ait beaucoup de choix pour rendre Téquation plus courte et plus aisée, toutefois en quelle façon qu'on les prenne, on peut toujours faire que la ligne paroisse de même genre, ainsi qull est aisé à démontrer. Après cela prenant un point à discrétion dans la courbe, comme Ç, sur lequel je suppose que rinstrument qui sert à la décrire est appliqué, je Ure de ce point C la ligne CB parallèle h GA, et pource que GB^t BA sont deux quantités indéterminées et inconnues, je les nomme Tune y et l'autre x; mais afin de trouver le rapport de Tune à Tautre, je considère aussi les quantités connues qui déterminent la description de cette ligne courbe, comme GA, que je nomme a, KL que je nomme A, et NL, parallèle ^ GA, que je nomme c ; puis je dis, comme NL est à LK, ou c à 6, ainsi

CB ou y est à BK, qui est par conséquent - y: et BL est

JL l

- y — i, et AL est a: + ^ y — *• ^^ flMs^ comme CB est à LB, ou y à - y — é, ainsi AG ou« est àLA ou a: + - y — 4;

de façon que, multipliant la seconde par la troisième on

nh h

produit — y — ai qui est égale à ay + - y" — iy, qui fie c c

produit en multipliant la première par la dernière : et ainsi Téquation qu'il falloit trouver est

ex

y^^cy— 1 y + ay — oc,

de laquelle on connoit que la ligne EC est du premier genre, comme en effet elle n'est autre qu'une hyperbole.

Que si, en l'instrument qui sert à la décrire, on fait qu'au lieu de la ligne droite CNK,cesoit cette hyperbole, ou quelque autre ligne courbe du premier genre, qui termine le plan CNKL, l'intersection de cette ligne et de la règle GL décrira,

au lieu de Thyperbole £C, une autre ligne courbe qui sera d'un second genre. Comme si GNK est un cercle dont L soit le centre, on décrira la première conciioïde des anciens ; et si c*est une parabole dont le diamètre soit KB, on décrira la ligne courbe que j'ai tantôt dit être la première et la plus simple pour la question de Pappus, lorsqu'il n'y a que cinq lignes droites données par position ; mais si au lieu d'une de ces lignes courbes du premier genre, c'en est une du second qui termine le plan CNKL, on en décrira, par son moyen, une du troisième, ou si c'en est une du troisième, on en décrira une du quatrième, et ainsi à l'infini, comme il est fort aisé à connoitre par le calcul. Et en quelque autre façon qu'on imagine la description d'une ligne courbe,pourvu qu elle soit du nombre de celles que je nomme géométriques, on pourra toujours trouver une équation pour déterminer tous ses points en cette, sorte.

Au reste, je mets les lignes courbes qui font monter celte équation jusqu'au carré de carré, au même genre que celles qui ne la font monter que jusqu'au cube; et celles dont l'équation monte au carré de cube, au même genre que celles dont elle ne monte qu'au sursolide^ et ainsi des autres : dont la raison est qu'il y a règle générale pour réduire au cube toutes les difiicultés qui vont au carré de carré, et au sursolide toutes celles qui vont au carré du cube ; de façon qu'on ne les doit point estimer plus composées.

Mais il est à remarquer qu'entre les lignes de chaque genre, encore que la plupart soient également composées, en sorte qu'elles peuvent servir à déterminer les mêmes points et construire les mêmes problèmes,il y en a toutefois aussi quelques-unes qui sont plus simples, et qui n'ont pas tant d'étendue en leur puissance ; comme entre celles dû premier genre, outre l'ellipse, l'hyperbole et la parabole, qui sont également

composées, le cercle y est aussi compris, qui manifestement est plus simple ; et entre celles du second genre, il y à la conchoîde vulgaire, qui a son origine du cercle ; et il y en a encore quelques autres qui, bien qu'elles n'aient pas tant d'étendue que la plupart de celles dû même genre, ne peuvent

toutefois être mises dans le premier.

Suite de rexplioatlon de la question de Pappus^ mise au