livre précédent
Or, après avoir ainsi réduit toutes les lignes courbes à certains genres, il m'est aisé de poursuivre en la démonstration de la réponse que j'ai tantôt faite à la question de Pappus ; car premièrement, ayant fait voir ci-dessus que, lorsqu'il n'y a que trois ou quatre lignes droites données, l'équation qui sert à déterminer les points cherchés ne monte que jusqu'au carré, il est évident que la ligne courbe où se trouvent ces points est nécessairement quelqu'une de celles du premier genre, à cause que cette même équation explique le rapport qu'ont tous les points des lignes du premier genre à ceux d*une ligne droite ; et que lorsqu'il n'y a point plus de huit lignes droites données, cette équation ne monte que jusqu'au carré de carré tout au plus, et que par conséquent la ligne cherchée ne peut être que du second genre, ou au-dessous ; et que lorsqu'il n'y a point plus de douze lignes données, l'équation ne monte que jusqu'au carré de cube, et que par conséquent la ligne cherchée n'est que du troisième genre, ou au-dessous ; et ainsi des autres. £t même à cause que la position des lignes droites données peut varier en toutes sortes, et par conséquent faire changer tant les quantités connues que les signes -f- et — de l'équation, en toutes les façons imaginables, il est évident qu'il n'y a aucune ligne
LA GÉOMÉTRIK.
courbe du premier genre qui ue soit utile à cette question, quand elle est proposée en quatre lignes droites ; ni aucune du second qui n*y soit utile, quand elle est proposée en huit ; ni du troisième,quand elle est proposée en douze ; et ainsi des autres : en sorte qu'il n'ya pas une ligne courbe qui tombe sous le calcul et puisse être reçue en géométrie, qui n'y soit utile pour quelque nombre de lignes.
Solution de cette question quand elle n'est proposée qu'en
trois ou quatre lignes.
Mais il faut ici plus particulièrement que je détermine et donne la façon de trouver la ligne cherchée qui sert en chaque cas, lorsqu'il n'y a que trois ou quatre lignes droites données ; et on verra, par même moyen, que le premier genre des lignes courbes n'en contient aucunes autres que les trois sections coniques et le cercle.
Fig, 9,
Reprenons les quatre lignes AB, AD, EF et GH [fig. 9) données ci-dessus^ et qu'il faille trouver une autre ligne en laquelle il se recontre une infinité de points tels que C, duquel ayant tiré les quatre lignes CB, CD, CF et CH, à angles donnés sur
les données, CB multipliée par CF produit une somjsie égale à CD multipliée par CH ; c'est-à-dire, ayant fait
et CH = ^fLdlMll^, Téquation est
> __ (cfglz-- dekz^) y — (dez'^+cfgz — hcgz) xy-^-bcfglx—bcfgx^ ^"^ ez^ — cgz^ '
an moins en supposant ez plus grand que cg^ cai* s'il étoit
moindre il faudroit changer tous les signes -f- et — . Et si la
quantité y se trou voit nulle ou moindre que rien en cette
équation, lorsqu'on a supposé le point G en Tangle DA6, il
faudroit le supposer aussi en Tangle DAE, ou EAR, ou RAG,
en changeant les signes -|- et — selon qu'il seroit requis à cet
effet. Et si en toutes ces quatre positions la valeur de t/ se
trouvoit nulle, la question seroit impossible au cas proposé.
Mais supposons-la ici être possible, et pour en abréger les
cfoliZ ~^ dcJcz^
termes, au lieu des quantités -^^-^ — , écrivons ^w,
^ az' — cgz^
et an lieu de m ^ o — -^^ écrivons — : et ainsi nous
ez^ — cpz^ z
aurons
^ « ^n , bcflgx — bcfgx^
^ ^ ^ z ez^ — cgz^
dont la racine est
^^ , A / n 2mnx , n'a:* .
bcfqlx — bcfqx^ ez^ — cgz^
... 1. ^ ,. j ^^'^ . hcfql et derechef pour abréger, au lieu de — 1-
z ez^ — cgz*
71* bcfû f)
écrivons o ; et au lieu de —, ; — — — s, écrivons - ; car
s* ez^ — cgz^ m
ces quantités étant toutes données, nous les pouvons nommer comme il nous plaît : et ainsi nous avons
jî ' V m
qui doit être la longueur de la ligne BC, en laissant AB ou x indéterminée. Et il est évident que la question n'étant proposée qu*en trois ou quatre lignes, on peut toujours avoir de tels termes, excepté que quelques-uns d'eux peuvent être nuls, et que les signes + et — peuvent diversement être changés. Après cela je fais Kl égale et parallèle à BA, en sorte qu^elle coupe de BC la partie BK égale à m, à cause qu'il y a ici -}- m ; et je Taurois ajoutée en tirant cette ligne IK de l'autre côté, s'il y avoit eu — m ; et je ne l'aurois point du tout tirée, si la quantité m eût été nulle. Puis je tire aussi IL, en sorte que la ligne IK est à KL comme z est an; c'est-à-dire
que IK étant x^ KL est - x. Et par même moyen je connois
aussi la proportion qui est entre KL et IL, que je pose comme
7ï CL
entre n et a ; si bien que KL étant - x^ IL est - x. Et je fais
fï
que le point K soit entre L et C, à cause qu'il y a ici x\
au lieu que j'aurois mis L entre K et G, si j'eusse eu
-f- - j: ; et je n'eusse point tiré cette ligne IL, si - a: eût été
nulle.
Or, cela fait, il ne me reste plus pour la ligne LC que ces termes
d'où je vois que s'ils étoient nuls, ce point G se trouveroit en la ligne droite IL ; et que s'ils étoient tels que la racine s'en
là
pût tirer, c'est-à-dire que m^ et - x* étant marqués d'un
même signe -f- ou — , o' fût égal à 4pmj ou bien que les
termes m' et ox, ou ox et - x^ fussent nuls, ce point C se
trouveroit en une autre ligne droite qui ne seroit pas plus malaisée à trouver que IL. Mais lorsque cela n'est pas, ce point C est toujours en Tune des trois sections ou en un cercle dont Tun des diamètres est en la ligne IL, et la ligne LC est Tune de celles qui s'appliquent par ordre à ce diamètre ; ou au contraire LC est parallèle audiamètre, auquel celle qui est en la ligne IL est appliquée par ordre ; à savoir si le terme
^ X* est nul, cette section conique est une parabole ; et. s'il
est marqué du signe -}-, c'est une hyperbole ; et enfin s'il est
marqué du signe — f c'est une ellipse, excepté seulement si la
quantité a^m est égale à pz^^ et que l'angle ILC soit droit,
auquel cas on a un cercle au lieu d'une eUipse. Que si cette
oz section est une parabole, son côté droit est égal à —, et son
diamètre est toujours en la ligne IL ; et pour trouver le point N, qui en est le sommet, il faut faire IN égale à — ; et
que le point I soit entre L et N, si les termes sont •^m^-^-ox] ou bien que le point L soit entre I et N, s'ils sont 4* ^' — ox; ou bien il faudroit que N fût entre I et L, s'il y avoit — m*-f- ox. Mais il ne peut jamais y avoir — m^, en la façon que les termes ont ici été posés. Et enfin le point N seroit le même que le point I si la quantité m} étoit nulle; au moyen de quoi il est aisé de trouver cette parabole par le premier problème do premier livre d'Apollonius.
Que si la ligne demandée est un cercle, ou une ellipse, ou une hyperbole, il faut premièrement chercher le point M qui
LA GÉOMETRTE.
en est le centre, et qui est toujours en la ligne droite IL; ou bn le troi{ye en prenant -^ — pour IM, en sort^ . que si laquantité 0 est nulle, ce centre est justement au point I. Et si la ligne cherchée est un cercle ou une ellipse, on doit prendre le point M du même côté que le point L, au respect du point I,' lorsqu'on a + ox; et lorsqu'on a — ox^ on le doit prendre de l'autre. Mais tout au contraire, en Thyperbole, si oli a — ox^ ce centre M doit être vérâ L; et si on a -|- ox^ il doit être de Tautre côté . Après cela le côté droit de la figure doit être
^ 4mpz*
lorsqu'on a + ^^^ ®l <1^® 1* \igne cherchée est un cercle ou une ellipse; ou bien lorsqu'on a — m*, et que c'est une hyperbole. Et il doit être •
4mpz^
(fl
si la ligne cherchée, étant un cercle ou une ellipse, on a — ni^\ ou bien si étant une hyperbole, et la quantité o^
étant plus grande que 4mp^ on a + m*. Que si la quantité
oz
m* est nulle, ce côté droit est — ; et si ox est nulle, il est
si
4mp£
Puis, pour le cùté traversant, il faut trouver une ligne qui soit à ce côté droit comme a^m est kpz^; k savoir si ce côté droit est
le traversant est
LITBE SECOND
Et en tous ces cas le diamètre de la section est en la ligne IM, et LC est l'une de celles qui lui est appliquée par ordre. Si bien que, faisant MN égale à la moitié du côté traversant, et le prenant du même cOlé du point M qu'est le point L, on a le point N pour le sommet de ce diamètre ; ensuite de quoi il est aisé de trouver la section par les second et troisième problèmes du premier livre d'Apollonius.
Mais quand cette section étant une hyperbole, on a -{- m% et que la quantité o^ est nulle ou plus petite que 4pm, on doit tirer du centre M la ligne MOP parallèle à LC, et CP parallèle à LM, et faire MO égale à
Fig, 10,
OU bien la faire égale à m si la quantité ox est nulle ; puis considérer le point 0 comme le sommet de cette hyperbole, dont le diamètre est OP, et CP la ligne qui lui est appliquée par ordre, et son cùté droit est
4(âm^ (àà^m^
et son côté traversant est
ohn
excepté quand ox est nulle, car alors le côté drojt est 5- ,
et le traversant est 2m ; et ainsi il est aisé de la trouver par le troisième problème du premier livre d^Âpollonius .
D^monatraiion de tout ce qai -vient d'être expliqué.
Et les démonstrations de tout ceci sont évidentes; car composant un espace des quantités que j*ai assignées pour le côté droit, et le traversant, et pour le segment dû diamètre NL ou OP, suivant la teneur du 11% du 12* et du 13" théorème du premier livre d'Apollonius, on trouvera tous les mêmes termes dont est composé le carré de la ligne CP, ou CL, qui est appliquée par ordre à ce diamètre. Comme en cet exemple,
ôtant IM qui est - — , de NM qui est
2pz
atn 2pz
V 0* -|- 4mp\
j'ai IN, à laquelle ajoutant IL qui est - Xy j'ai NL qui est
aom , am . .
et ceci étant multiplié par - V/ 0^ + 4mp, qui est le côté droit de la figure, il vient
xV 0^ + 4mp — jI^[/ o^ + 4mp + ^ + 2m^,
pour le rectangle, duquel il faut ôter un espace qui soit au carré de NL comme le côté droit est au traversant, et ce carré de NL est
à^om
pj5* pz^ ^ ' -^ • ifjoV ' pz^ a^om^.y ^ ■ ■
UTBE SECOND. 33
qa'i\ faut diviser par a'm et inultiplier par ps', à cause que ces termes expliquent la proportion qui est entre le c6té traversant et le droit, et il vient
^ir» — oa! + iv'o* + 4mp + ^ — ;^ v'''* + 4w»P + ">*i ce qa'il faut Ater du recUngle précédent, et on trouve
> le carré de CL, qui par conséquent est une ligne appU- : par ordre dans une ellipse, ou dans un cercle, au segt du diamètre NL.
si OD veut expliquer toutes les quantités données par bres, en faisant par exemple£A ^a 3, AG = 5j AB<bb BR, - I BE, GB — BT, CD = I CR, CF = 2CS, CH = | CT, je l'angle ABR soit de 60 degrés, et enfin que le rectangle deux CB et CF soit égal au rectangle des deux autres CD f ; car il faut avoir toutes ces choses aQn que la question entièrement déterminée ; et avec cela, supposant AB :=: x, ) ^ ^, on trouve par la façon ci-dessus expliquée tf* ='îy — xy + 6x — X*,
^i-.x+Ui + Ax-jX',
en que BK doit être 1, KL doit être la moitié de Kl; et ce que l'angle IKL ou ABR est de 60 degrés, et KIL qui 1 moitié de KIB ou IKL, de 30, ILK est droit. Et pource
IK ou AB est nommée x, KL est - ^, et IL est x v/- 1 quantité qui étoit tanlAt nommée z est i, celle qui a est t / -, celle qui étoit m est 1, celle qui éloit 0 est 4,
i*ct*iH. — GivmtlTit. B
M LA GÉOMéniBI.
et celle qui étoit /) est -, de façon qu'on & 1/ - pour DU,
pour NM; et pource que a'm, qui est -, est ici égal
à pz*, et que i^angle ILC est droit, on trouve que la ligne courbe NC est un cerde. Et on peut facilement examiner tous les autres cas en même sorte.
Quels sont les lieux plans et solides, et la façon de les
Au reste, à cause que les équations qui ne montent que jusqu'au carré sont toutes comprises en ce que je viens d*expBquer, non seulement le proMème des anciens en trots et qvratré lignes est ici entîèremeat achevé, mais aussi tout ce qpoî «i^iaritent à ce qu'ils nommoient la eomposkioD desUeax solides, et par conséquent aussi à celle des lieux plans, à cause qu'ils sont compris dans les solides : car ces lieux ne sont autre chose, sinon que, lorsqu'il est question de trouver quelque point auquel il manque une condition pour être entièrement déterminé, ainsi qu'il arrive en cet exemple, tous les points d'une même ligne peuvent être pris pour celui qui est demandé : et si cette ligne est droite ou circulaire, on la nomme un lieu plan ; mais si c'est une parabole, ou une hyperbole, ou une ellipse, on la nomme un lieu solide : et toutefois et quantes que cela est, on peut venir à une équation qui contient deux quantités inconnues, et est pareille à quelipi'une de celles que je viens de résoudre. Que si la ligne qui détermine ainsi le point cherché est d'un degré plus composée que les sections coniques, on la peut nommer, en même façon, un lieu sursoUde, et ainsi des antres. Et s'U manque deux conditions à la détermination de ce point, le lieu oti il se trouve est une superficie, laquelle peut être tout
de même ou plate, on sphéri^jne, cm pins eompoiée. Mais le plus bsvi bal qn'àieat e» les anciens en eelle matière a été de parvenir à la composition des lieux solides ; et il semble que tout ce qu'Apollonius a écrit des sections coniques n'a été qu'à dessein de la chercher.
De plus, on voit ici que ce que j'ai pris pour le premier genre des lignes courbes n'en peut comprendre aucunes autres que le cercle, la parabole^ Thyperbole et Tellipse, qui est tout ce que j'avois entrepris de prouver.
Qaelleest la première et la pine aliiipla Ae ioutea les lignes oonrbes qui servent en la qnestion des anciens quand elle est proposée en cinq lignes.
Que si la question des anciens est proposée en cinq lignes qui soient toutes parallèles, il est évident que le point eiierebé sera toujours en une ligne droite; mais si die est proposée en cinq lignes, dont il y en ait quatre qui soient parallèles, et qne la cinquième les coupe à angles droits, et même que to»tes les lignes tirées du point cherché les rencontre»! ausei à angles droits, et enfin que le par aUélipipède composé de trois des lignes ainsi tirées sur trois de ceUes qui sont parai'* lèles soil égal au parallélipipède composé des deux lignes tirées. Tune sur la quatrième de celles qui sont parallèles, et Tautre sur celle qui les coupe à angles droits, et d'une troî^ sième ligne donnée, ce qui esè, ce semUe, le plus simple cas ^'on puisse imaginer après le précédent, le point cherché ^ sera en la Hgne courbe qni est décrite par le mouvement
d^nne parabole, en la ia^on ci-dessus expliquée.
Soient par exemple les lignes données AB, IH, ED, GF^ et GA (fig. i /), et qu'on demande le point C^ en sorte que tirant CB, CF^. C^, CH et CM à angles droits sur les donnée», le pamdiélipipède de» troie CF, CD et CH soit égal à celui des
deux autres ÇB et CH, et d'une troisième qui Boit AI. Je pose CB » y, CH =• X, AI ou AË ou GE « a; de facoa que
le point C étsnt entre les lignes AB et DB, j'ai CF ■■ 2a — y, CD^a — y, etCH = ^H- a; et multipliant ces trois l'ime psr l'autre, j'ai y' — 2ay* — a*y + 2^* égal nu produit des trois autres, qui est ox^. Après cela je considère la ligue courbe CEG, que j'imagine être décrite par l'intersection de laparaboleCKN, qu'on fait mouvoir en telle sorte que son diamètre KL est toujours sur la ligne droite AB, et de la règle GL qui tourne cependant autour du point G en telle sorte qu'elle passe toujours dans le plan de celte parabole parle point L. Et je fais KL —1 a, et le câté droit principal, c'est-i-dire celui qui se rapporte à l'essieu de cette parabole, aussi égal à a, et GA «= 2o, et CB ou MA — y, et CM ou AB = x. Puis fc cause des triangles semblables GMC et GBL, GU qui est 2a — y, est h. MC qui est x, comme CB qui est y, est à BL
2a* — oy — ay
. Et enSn pource
que ce même BK, étant un segment du diamètre de la parabole, est à BC qui lui est appliquée par ordre, comme celle-ci est au côté droit qui est ez, le calcul montre que y* — lay^ — ah/ + 2a' est égal à axy ; et par conséquent que le point C est celui qui étoit demandé. £t il peut être pris en tel endroit de la ligne CEG qu'on veuille choisir^ ou aussi en son adjointe cEGc^ qui se décrit en même façon, excepté que le sommet de là parabole est tourné vers Tautre côté, ou enfin en leurs contreposées NIo, nlO, qui sont décrites par Tintersection que fait la ligne GL en l'autre côté de la parabole KN.
Or^ encore que les parallèles données AB, IH, ED et GF, ne fassent point également distantes, et que GA ne les coupât point à angles droits, ni aussi les lignes tirées du point C vers elles, ce point C ne laisseroit pas de se trouver toujours en une ligne courbe qui seroit de même nature : et il s'y peut aussi trouver quelquefois, encore qu'aucune des lignes données ne soient parallèles. Mais si lorsqu*il y en a quatre ainsi paraUèles, et une cinquième qui les traverse, et que le parailélipipède de trois des lignes tirées du point cherché. Tune sur cette cinquième, et les deux autres sur deux de celles qui sont parallèles, soit égal à celui des deux tirées sur les deux antres parallèles, et d'une autre ligne donnée : ce point cherché est en une ligne courbe d'une autre nature, à savoir en nne qui est telle, que toutes les lignes droites appliquées par ordre à son diamètre étant égales à celles d'une section conique, les segments de ce diamètre qui sont entre le sommet et ces lignes ont même proportion à une certaine ligne donnée, que cette ligne donnée a aux segments du diamètre de la section conique, auxquels les pareilles lignes sont appliquées par ordre. Et je ne saurois véritablement dire que cette ligne soit
moins simple que la précédente, laquelle j*ai cru toutefois
38 LA aÉOMÉTRtE.
devoir prendre pour la premlfere, à cauee que la descriptton et le ealcul en sont en quelque façon plus faciles. P; Pour les lignes qui servent aux autres cas, je ne m'arrêterai
point à les distinguer par espèces, car je n*ai pas entrepris de dire tout ; et, ayant expliqué la façon de trouver une infinité de points par où elles passent, je pense avoir assez donné le moyen de les décrire.
g QuellM aoat les lignes ooarbw iiu'on déorit ea trouvant plusieurs de leurs points, qui peuvent être reçues en géométrie.
Même il est à propos de remarquer qu'il y a grande différence entre cette façon de trouver plusieurs points pour tracer une ligne courbe, et celle dont on se sert pour la spirale et ses semblables; car par cette dernière on ne trouve pas indifféremment tous les points de la ligne qu'on cherche, mais seulement ceux qui peuvent être déterminés par quelque mesure plus simple que celle qui est requise pour la composer; et ainsi, à proprement parler, on ne trouve pas un de ses points, c'est-à-dire pas un de ceux qui lui sont tellement propres qu'ils ne puissent être trouvés que par elle ; au lieu qu'il n'y a aucun point dans les lignes qui servent à la question proposée, qui ne se puisse rencontrer entre ceux qui se déterminent par la façon tantôt expliquée. Etpource que. cette façon de tracer une ligne courbe, en trouvant indifféremment plusieurs de ses points, ne s'étend qu'à celles qui peuvent aussi être décrites par un mouvement régulier et continu, on ne la doit pas entièrement rejeter de la géométrie.
Ctaelles sont aussi eelles qu'on déorit aveo une oorde, qui
peuvent y être reçues.
Et on n'en doit pas rejeter non plus celle où on se sert d*un ta ou d'une corde repliée pour déterminer Tégalité ou la dif-
UyRB SKCOND. 38
férenee de deux oa plusieurs ligues droites qui peuvent être tirées d« chaque point de la courbe qu'on cherche, à certains autres points, ou sur certaines autres lignes à certains angles, ainsi que nous avons fait en la Dioptrique pour expliquer Fellipse et Thyperbole; car encore qu'on n'y puisse recevoir aucunes lignes qui semblent à des cordes, c'est-à-dire qui deviennent tantôt droites et tantôt courbes, à cause que la proportion qui est entre les droites et les courbes n'étant pas connue, et même, Je crois, ne le pouvant être par les hommes, on ne pourroit rien conclure de là qui fût exact et assuré. Toutefois à cause qu'on ne se sert de cordes en ces constructions que pour déterminer des lignes droites dont on eonnott parfaitement la longueur, cela ne doit point fidre qu'on les rejette.
One pour trouTar toutes les propri4]tès des lignes courbes Il suttlt de savoir le rapport qu-ont tous leurs points à cens des lignes droites, et la façon de tirer d'autres lignes tmi les coupent en tons ces points à angles droits.
Or de cela seul qu'on sait le rapport qu'ont tous les points d'une ligne courbe à tous ceux d'une ligne droite, en la façon que j'ai expliquée, il est aisé de trouver aussi le rapport qu'ils ont à tous les autres points et lignes données ; et ensuite de connottre les diamètres, les essieux, les centres et autres lignes ou points à qui chaque ligne courbe aura quelque rapport plus particulier ou plus simple qu'aux autres; et ainsi d'imaginer divers moyens pour les décrire, et d'en choisir les plus faciles ; et même on peut aussi, par cela seul, trouver quasi tout ce qui peut être déterminé touchant la grandeur de Tespace qu'elles comprennent, sans qu'il soit besoin que j'en donne plus d'ouverture. Et enfin pour ce qui est de toutes les autres propriétés qu'on peut attribuer aux lignes courbes,
elles ne dépendent que de la grandeur des angles qu'elles font avec quelques autres lignes. Mais lorsqu*on peut tirer des lignes droites qui les coupent à angles droits, aux points où elles sont rencontrées par celles avec qui elles font les angles qu'on veut mesurer, ou, ce que je prends ici pour le même, qui coupent leurs contingentes, la grandeur de ces angles n'est pas plus malaisée à trouver que s'ils étoient compris entre deux lignes droites. C'est pourquoi je croirai avoir mis ici
tout ce qui est requis pour les éléments des lignes courbes,
lorsque j'aurai généralement donné la façon de tirer des lignes droites qui tombent à angles droits sur tels de leurs points qu'on voudra choisir. Et j'ose dire que c'est ceci le probftme le plus utile et le plus général, non seulement que je sache, mais même que j'aie jamais désiré de savoir en géométrie.
Façon générale ponr trouTer daa lignes droitaa, qui eon« pant laa courbas données on lanrs oontingantaa, à ani^aa droita.
Soit CE {fig. 12) la ligne courbe, et quil faille tirer une
ligne droite par le point C, qui fasse avec elle des angles droits. Je suppose la chose déjà faite, et que la ligne cherchée est CP, laquelle je prolonge jusqu'au point P, où elle rencontre la ligne droite GA, que je suppose être celle aux points de laquelle on rapporte tous ceux de la ligne CE ; en sorte que faisant MA ou CB ai y, et CM ou BA •» x^ j'ai quel-
que équation qui explique le rapport qui est entre x eiy; puis jp. fais PC = s, et PA = v, ou PM = t; — y; et à cause du triangle rectangle PMC, j*ai 5^ qui est le carré de la base, égal à ar* + ^^ — 2t?y + y'i î^i sont les carrés des deux côtés ; c'est-à-dire j'ai
X «a y/5* — V* + 2vy — y*, ou bien
y = v + \/s^ — a^; et par le moyen de cette équation, j'ùte de Tautre équation, qui m'explique le rapport qu'ont tous les points de la courbe CE à ceux de la droite G A, l'une des deux quantités indéterminées X ony; ce qui est aisé à faire en mettant partout
v/^* — V* + 2tjy — y^ au lieu de. j?, et le carré de cette somme au lieu de x*, et son cube au lieu de a;', et ainsi des autres, si c'est x que je veuille 6ter ; ou bien si c'est y, en mettant en son lieu
elle carré ou le cube, etc., de cette somme au lieu de y^ ou y*, etc. De façon quïl reste toujours après cela une équation en laquelle il n'y a plus qu'une seule quantité indéterminée X ou y.
Gomme si ce CE est une ellipse, et que MA soit le segment de Bon diamètre, auquel CM soit appliquée par ordre, et qui ait r pour son côté droit et q pour le traversant, on a, par le treizième théorème du premier livre d'Apollonius,
a^^mry y*, d'où ôtant a:', il reste
^ — tj' -I- 2vy — y* = ry — - îf*, ou bien
42 I*A «ftOnfeTRIB.
car il est mieux en cet endroit de considérer ainsi ensemble tonte la somme qne d'en faire une partie égale à Vautre. Tout de même si CE \fig. 1 S) est la ligne courbe décrite
par le mouvement d'une parabole en la façon ci-dessus expliquée (page iâ), et qu'on ût posé b pour GA, c pour KL, et d pour le côté droit du diamètre KL en Ir parabole, Téquation qui explique le rapport qui est entre a: et j^ est
Fff. 19.
d'où ôtant jr on a y3 — jy« cdy + bcd+ dy y/s^ — 1?« + îvy — y* — 0;
et remettant en ordre ces termes par le moyen de la multiplication^ il vient
y* — 2*y» + (6» — îcrf + cP) y* + (46crf — Idh)) y» + (c«rfa — d^s^ + d}v^—Wcd) y* — 26c»ûPy + ô«c«rf«=0,
et ainsi des autres.
Même, encore que les points de la ligne courbe ne se rapportassent pas en la fagon que j*ai dit à ceux d'une ligne droite; mais en toute autre qu'on sauroit imaginer, on ne laisse pas de pouvoir toujours avoir une telle équation. Comme si CE [fig. 44) est une ligne qui ait tel rapport aux
trois points F, G et A, que les lignés droites tirées de chacun de ses points comme C jusques au point F, surpassent la
UTRB SBCOND. 43
ligne FA d*ime qpiantité qui ait certaine proportion donnée à une autre quantité dont Qk surpasse les' lignes tirées des mêmes points jusques i G. Faisons OA •=* i, 'AF mm c, et prenant à diserétion le point G dans la courbe, que la quantité dont CF surpasse FA, soit à celle dont GA surpasse GC, comme d ke; en sorte que si cette quantité qui est indéterminée se nomme s, GF est ^ + 'i
et GG est ft — ^ z. Puis posant MA «=> y, GM est 6 — y, et
FM est c + y^eik cause du triangle rectangle GMG, ôtant le carré de GM du carré de GC, on a le carré de CM, qui est
dP^ — 2 + 26y-y*;
puis Otant le carré de FM du carré de CF, on a encore le carré de CM en d*autres termes^ à savoir 2' -f- 2ez — 2cy — y^ ; et ces termes étant égaux aux précédents, ils font connottre y ou MA, qui est
et substituant cette somme au lieu de y dans le carré de GM, on trouve qu*il s'exprime en ces termes :
bdH^ 4- ceH^ + tbcdH — Jbcdez ^
bd^ + cd^ y •
Puis supposant que la ligne droite PC rencontre la courbe à angles droits au point G, et faisant PC =» 5 et PA a» v comme devant, PM est v — y\ et à cause du triangle rectangle PCM, on a ^ — v^ + îry — y* pour le carré de CM, ou derechef, ayant au lieu de y substitué la somme qui lui est égale, il vient
^ ôd« 4- ce» + eH -d«r
pour Téquation que nous cherchions.
Or après qu'on a trouvé une telle équation, au lieu de s*en servir pour connoltre les quantités x, ou y^ ou Zy qui sont déjà données, puisque le point C est donné, on la doit employer à trouver v ou s^ qui déterminent le point P qui est demandé. Et à cet effet il faut considérer que si ce point P est tel qu'on le désire, le cercle dont il sera le centre, et qui passera par le point C, y touchera la ligne courbe CE sans la couper; mais que si ce point P est tant soit peu plus proche ou plus éloigné du point A qu'il ne doit, ce cercle coupera la courbe, non seulement au point C, mais aussi nécessairement en quelque autre. Puis il faut aussi considérer que lorsque ce cercle coupe la ligne courbe CE, Téquation par laquelle on cherche la quantité x ou y, ou quelque autre semblable, en supposant PA et PC être connues, contient nécessairement deux racines qui sont inégales. Car par exemple, si ce cercle coupe la courbe aux points C et E (fig* i^), ayant tiré EQ
parallèle à CM, les noms des quantités indéterminées xeiy conviendront aussi bien aux lignes EQ et QA qu*à CM et MA; puis PE est égale à PC à cause du cercle, si bien que cherchant les lignes EQ et Q A, par PE et PA qu*on suppose comme données, on aura la même équation que si on cherchoit CM et MA par PC, PA; d'où il suit évidemment que la valeur de X ou de y, ou de telle autre quantité qu'on aura supposée.
UVR£ SECOND. 45
sera double en cette équation^ c'est-à-dire qu*il y aura deux racines inégales entre elles, et dont Tune sera CM, l'autre EQ, si c'est X qu'un cherche, ou bien l'une sera MA et l'autre QÂ, si c'est y*; et ainsi des autres. Il est vrai que si le point Ë ne se trouve pas du même côté de la courbe que le point G, il n'y aura que Tune de ces deux racines qui soit vraie, et l'autre sera renversée ou moindre que rien : mais plus ces deux points G et E sont proches l'un de l'autre, moins il y a de différence entre ces deux racines ; et enfln elles sont entière^ ment égales, s'ils sont tous deux joints en un, c'est-à-dire si le cercle qui passe par G y touche la courbe GE sans la couper.
De plus il faut considérer que lorsqu'il y a deux racines égales en une équation, elle a nécessairement la même forme que si on multiplie par soi-même la quantité qu'on y suppose être inconnue, moins la quantité connue qui lui est égale, et qu'après cela, si cette dernière somme n'a pas tant de dimensions que la précédente, on la multiplie par une autre somme qui en ait autant qu'il lui en manque, afin qu'il puisse y avoir séparément équation entre chacun des termes de l'une et chacun des termes de l'autre.
Gomme par exemple, je dis que la première équation trouvée ci-dessus, à savoir
... . gry — 2yt;y + yt;' — y5«
doit avoir la même forme que celle qui se produit en faisant € égal à y, et multipliant y — e par soi-même, d'où il vient y* — 2^y -|- e*, en sorte qu'on peut comparer séparément chacun de leurs termes, et dire que puisque le premier qui est }f', est tout le même en l'une qu'en Tautre, le second qui
est en Tune ïliLZ— i!l?, est égal au second de l'autre qui
46 LA fttOMÉTR».
ait ~ teg ; d'oA eberehont la quantité 9 qoi est ia Bgne PA,
onat? = e ^ + 5'*i ou bien à cause que nous avons
q 2 pourroit trouver ^ par le troisième terme é^ î= ? 2—;
mais ^urce qua la quantité v détermine aseez le point P^ qui est le cMiul que nans eberekiOBS, on n'a pas besoin de piMér PQlre*
Tout ât mèm« la seconde équation tfoorée ei^dessost à savoir
y« — 2éy« + (6' — 2crf + rf») y* + (46crf — 2rf»t?) y*
(îoît avoir même forme que la somme qui se produit lorsqu'on muKïpfie
y*— 2ey + e» par y* + /y* + yV + AV + A* qui est
y* + (/ - 2e) y5 + (ja- 2e/+ e^jy* +(A^ - "^9'+ eYïy" + (A* — 2cA» + eV^) y^ + (eW — 2eA*) y + e»*^ ;
de façon que de ces deux équations j'en tire six autres qui serrent à eonvoUre les six quantités f, y, h^k.t et s, B^oà il est fort aisé à entendre que, de quelque fsnre que puisse être la ligne courbe proposéSr il vient toujours par cette façon de procéder autant d'équations qu'on est obligé de supposer de quantités qui sont inconnues. Mais pour démêler par ordre ces équations^ et trouver enfm k quantité v<, qui est la seule dont on a besoin, et à roeeasioa de laquelle on cherche les autres, il faut premièrement par le second terme chercher /, la pve« mière des quantités inconnues de k dernière somaae, el es trouve
UVRB SECOND. 47
Pois {MOT le âenûer, il fftui ebercher k, la derni^ des quaiw tités inconnues de la même somme, et on trouve
Puis par le troisième terme, il faut chercher g^ la seconde quantité, et on a
Puis par la pénultième, il faut chercher A, la pénultième quantité, qui est
Et ainsi il faudroit continuer suivant ce même ordre jusques à la dernière, s'il y en avoit davantage en cette somme ; car c'est chose qu'on peut toujours faire en même façon.
; Puis, par le terme qui suit en ce même ordre, qui est ici
le quatrième, il faut chercher la quantité v, et on a
ou mettant y au lieu de e qui Ini est égal, on a
peur k ligne ÂP.
i Et ainsi la tr(Msième»équat!on, qni est
a la même forme que
en supposant / égal à z, si bien qu'il y a derechef équation entre — 2/ ou — 2z, et
26crfg — 2bcde — ^(Pv — ^bdev
d'où on connott que la quantité v est
bcd^ ^ bcde + àd^z + ce^z cd^ + bde — e^z + d^z
C'est pourquoi, composant la ligne AP (/îy. i6) de cette
somme égale à t;, dont toutes les quantités sont connues, et tirant du point P ainsi trouvé, une ligne droite vers C, elle y coupe la courbe CE à angles droits ; qui est ce qu'il falloit faire. Et je ne vois rien qui empêche qu'on n'étende ce problème en môme façon à toutes ]es lignes courbes qui tombent sous quelque calcul géométrique.
Même il est à remarquer, touchant la dernière somme, qu'on prend à discrétion pour remplir le nombre des dimensions de l'autre somme lorsqu'il y en manque, comme nous avons pris tantôt y* + /y* + g^y^ + h^y + A*, que les signes + et — y peuvent être supposés tels qu'on veut, sans que la ligne t' ou AP se trouve diverse pour cela,comme vous pourrez aisément voir par expérience ; car s'il falloit que je m'arrêtasse à démontrer tous les théorèmes dont je fais quelque mention, je serois contraint d'écrire un volume beaucoup plus gros que je ne désire. Mais je veux bien en passant vous
UYRE SECOND.
avertir que rinvention de supposer deux équations de même forme, pour comparer séparément tous les termes de Tune à ceux de Tautre, et ainsi en faire naître plusieurs d'une seule, dont vous avez vu ici un exemple, peut servir à une infinité d'autres problèmes, et n'est pas Tune des moindres de la méthode dont je me sers.
Je n'ajoute point les constructions par lesquelles on peut décrire les contingentes ou les perpendiculaires cherchées^ ensuite du calcul que je viens d'expliquer, à cause qu'il est toujours aisé de les trouver, bien que souvent on ait besoin d'un peu d'adresse pour les rendre courtes et simples.
Ezampla da la oonstmeiion de ce problème an la oon-
oholda.
Comme par exemple, si DC (fig. / 7) est la première con-
choîde des anciens, dont A soit le pôle et BH la règle, en sorte que toutes les lignes droites qui regardent vers A, et sont comprises entre la courbe CD et la droite BH, comme DB et CE, soient égales, et qu'on veuille trouver la ligne CG qui la coupe au point C à angles droits, on pourroit, en cherchant dans la ligne BH le point par où cette ligne CG doit passer, selon la méthode ici expliquée, s'engager dans un calcul autant ou plus long qu'aucun des précédents : et tou-
DncàATis. — Géométrie, 4
tefois la construction qui devroit après en être déduite est fort simple ; car il ne faut que prendre CF en la ligne droite CA, et la faire égale à CH qui est perpendiculaire sur HB ; puis du point F tirer FG parallèle & B A et égale à EA ; au moyen de quoi on a le point G, par lequel doit passer CG la ligne cherchée.
Explication de quatre nouveaux genres d'ovales qui
servent à l'optique.
Au reste^ afin que vous sachiez que la considération des lignes courbes ici proposée n'est pas sans usage, et qu'elles ont diverses propriétés qui ne cèdent en rien à celles des sections coniques, je veux encore ajouter ici l'explication de certaines ovales que vous verrez être très utiles pour la théorie de la catoptrique et de la dioptrique. Voici la façon dont je les décris :
Premièrement, ayant tiré les lignes droites FA et AR {fig. /j), qui s'entrecoupent au point A, sans qu'il importe
Fig. 48,
à quels angles, je prends en l'une le point F à discrétion, c'est-à-dire plus ou moins éloigné du point A, selon que je veux faire ces ovales plus ou moins grandes, et de ce point
F, comme centre, je décris un cercle qui passe quelque peu au delà du point A, comme par le point 5 ; puis de ce point 5 je tire la ligne droite 56, qui coupe l'autre au point 6, en sorte que A6 soit moindre que AS selon telle proportion donnée qu'on veut, à savoir selon celle qui mesure les réfractions si on s'en veut servir pour la dioptrique. Après cela je prends aussi le point G en la ligne FA du côté où est le point 5, à discrétion, c'est-à-dire en faisant que les lignes AF et GA ont entre elles telle proportion donnée qu'on veut. Puis je fais RA égale à GA en la ligne A6, et du centre G décrivant un cercle dont le rayon soit égal à R6^ il coupe l'autre cercle de part et d'autre au point 1, qui est l'un de ceux par où doit passer la première des ovales cherchées. Puis derechef du centre F je décris un cercle qui passe un peu au-deçà ou ou au delà du point 5, comme par le point 7, et ayant tiré la ligne droite 78 parallèle à 56, du centre G je décris un autre cercle dont le rayon est égal à la ligne R8, et ce cercle coupe celui qui passe par le point 7 au point 1, qui est encore l'un de ceux de la même ovale ; et ainsi on en peut trouver autant d'autres qu'on voudra, en tirant derechef d'autres lignes parallèles à 78, et d'autres cercles des centres F et G.
Pour la seconde ovale il n'y a point de différence, sinon qu'au lieu de AR {fig, y 9) il faut de l'autre côté du point A
Fig, 49.
prendre AS égal à AG,et que le rayon du cercle décrit du centre G, pour couper celui qui est décrit du centre F et qui passe par le point 5, soit égal à la ligne S6, ou qu'il soit égal à S8, si c'est pour couper celui qui passe par le point 7, et ainsi des autres ; au moyen de quoi ces cercles s*entre-coupent aux points marqués % 2, qui sont ceux de cette seconde ovale A2X.
Pour la troisième et la quatrième, au lieu de la ligne AG il faut prendre AH {fig. £i et 22) de Tautre côté du point A, à savoir du même qu'est le point F ; et il y a ici de plus à observer que cette ligne AH doit être plus grande que AF, laquelle peut même èlre nulle, en sorte que le point F se rencontre où est le point A en la description de toutes ces ovales. Après cela les lignes AR et AS étant égales à AH, pour décrire la troisième ovale A3Y, je fais un cercle du centre H, dont le rayon est égal à S6, qui coupe au point 3 celui du centre F, qui passe par le point 5; et un autre dont le rayon est égal à SS, qui coupe celui qui passe par le point 7 au point aussi marqué 3, et ainsi des autres. Enfin, pour la dernière ovale, je fais des cercles du centre H, dont les rayons sont égaux aux lignes R6, R8, et semblables, qui coupent les autres cercles aux points marqués 4.
On pourroit encore trouver une infinité d'autres moyens pour décrire ces mômes ovales ; comme par exemple, on peut tracer la première W {fig, 20)^ lorsqu'on suppose les
Fig, MO.
lignes FA et AG être égales, si on divise la toute FG au point L, en sorte que FL soit à LG comme A5 à A6, c'est-à-dire qu'elles aient la proportion qui mesure les réfraction^. Puis ayant divisé AL en deux parties égales au point. K, qu'on fasse tourner une règle comme EF autour du point F, en pressant du doigt G la corde £C, qui étant attachée au bout ^ de cette règle vers E, se replie de G vers K, puis de K de re-
I chef vers G, et de G vers G, où son autre bout soit attaché,
en sorte que la longueur de cette corde soit composée de celle des lignes GA,plus AL,plus FE, moins AF ; et ce sera le mouvement du point G qui décrira cette ovale, à limitation de ce qui a été dit en la dioptrique de Tellipse et de Thyperbole ; mais je ne veux point m'arrèter plus longtemps sur ce sujet.
Or, encore que toutes ces ovales semblent être quasi de même nature, elles sont néanmoins de quatre divers genres, chacun desquels contient sous soi une infinité d'autres genres, f * qui derechef contiennent chacun autant de diverses espèces que fait le genre des ellipses ou celui des hyperboles ; car selon que la proportion qui est entre les lignes A5, A6, ou semblables, est différente, le genre subalterne de ces ovales est différent ; puis selon que la proportion qui est entre les lignes AF et AG ou AH est changée, les ovales de chaque genre subalterne changent d'espèce ; et selon que AG ou AH est plus ou moins grande, elles sont diverses en grandeur ; et si les lignes A5 et A6 sont égales, au lieu des ovales du premier genre ou du troisième, on ne décrit que des lignes droites ; mais au lieu de celles du second on a toutes les hyperboles possibles, et au lieu de celles du dernier toutes les ellipses.
£•68 propriétés dé ces ovales toaohant les réflexions et les
réfractions.
Outre cela, en chacune de ces ovales, il faut considérer deux parties qui ont diverses propriétés ; à savoir en la première, la partie qui est vers A {fig, 1 5), fait que les rayons qui étant dans Tair viennent du point F, se retournent tous vers le point 6, lorsqu'ils rencontrent la superficie convexe d'un verre dont la superficie est lAi,etdans lequel les réfractions se font telles que,suivant ce qui a été dit en la dioptrique, elles peuvent toutes être mesurées par la proportion qui est entre les lignes A5 et A6 ou semblables, par Taide desquelles on a décrit cette ovale.
Mais la partie qui est vers Y fait que les rayons qui viennent du point. G se réfléchiroient tous vers F, s'ils y rencontroient la superficie concave d'un miroir dont la figure fût iVi, et qui fut de telle matière qu'il diminuât la force de ces rayons selon la proportion qui est entre les lignes A5 et A6 ; car de ce qui a été démontré en la dioptrique, il est évident que, cela posé, les angles de la réflexion seroient inégaux, aussi bien que sont ceux de la réfraction^ et pourroient être mesurés en même sorte.
En la seconde ovale la partie 2A2 [fig. 49) sert encore pour les réflexions dont on suppose les angles être inégaux ; car étant en la superficie d'un miroir composé de même matière que le précédent, elle feroit tellement réfléchir tous les rayons qui viendroient du point G, qu'ils sembleroient après être réfléchis venir du point F, Et il e&t à remarquer qu'ayant fait la ligne AG beaucoup plus grande que AF, ce miroir seroit convexe au milieu vers A, et concave aux extrémités; car telle est la figure de cette ligne, qui en cela représente plutôt un cœur qu'une ovale.
